Theorem inrresf1 9936

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is an injective function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf1	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9932	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1of1 6822	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
4		ssv 3988	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		inrresf 9935	. 2 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)
6		f1resf1 6787	. 2 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 𝐵 ⊆ V ∧ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1463	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  1_oc1o 8478   ⊔ cdju 9917  inrcinr 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8485  df-dju 9920  df-inr 9922

This theorem is referenced by: (None)