Theorem inrresf1 10022

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is an injective function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf1	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶1-1(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 10018	. . 3 ⊢ inr:V⟶1-1onto({1o} × V)
2		f1of1 6842	. . 3 ⊢ (inr:V⟶1-1onto({1o} × V) → inr:V⟶1-1({1o} × V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ inr:V⟶1-1({1o} × V)
4		ssv 3937	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		inrresf 10021	. 2 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)
6		f1resf1 6807	. 2 ⊢ ((inr:V⟶1-1({1o} × V) ∧ 𝐵 ⊆ V ∧ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶1-1(𝐴 ⊔ 𝐵))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1491	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶1-1(𝐴 ⊔ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ⟶1-1ontowf1o 6554  1_oc1o 8494   ⊔ cdju 10003  inrcinr 10005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-1o 8501  df-dju 10006  df-inr 10008

This theorem is used by: (None)