Theorem inrresf1 9836

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is an injective function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf1	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9832	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1of1 6769	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
4		ssv 3940	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		inrresf 9835	. 2 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)
6		f1resf1 6734	. 2 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 𝐵 ⊆ V ∧ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1470	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:  Vcvv 3433   ⊆ wss 3884  {csn 4557   × cxp 5618   ↾ cres 5622  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  –1-1-onto→wf1o 6487  1_oc1o 8392   ⊔ cdju 9817  inrcinr 9819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8399  df-dju 9820  df-inr 9822

This theorem is referenced by: (None)