Theorem inrresf1 9877

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is an injective function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf1	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9873	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1of1 6807	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
4		ssv 3962	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		inrresf 9876	. 2 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)
6		f1resf1 6772	. 2 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 𝐵 ⊆ V ∧ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1484	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  {csn 4584   × cxp 5647   ↾ cres 5651  ⟶wf 6519  –1-1→wf1 6520  –1-1-onto→wf1o 6522  1_oc1o 8432   ⊔ cdju 9858  inrcinr 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-1o 8439  df-dju 9861  df-inr 9863

This theorem is referenced by: (None)