Theorem inrresf1 9802

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is an injective function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf1	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9798	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1of1 6758	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
4		ssv 3957	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ V
5		inrresf 9801	. 2 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)
6		f1resf1 6723	. 2 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 𝐵 ⊆ V ∧ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1463	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  {csn 4574   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ⟶wf 6473  –1-1→wf1 6474  –1-1-onto→wf1o 6476  1_oc1o 8373   ⊔ cdju 9783  inrcinr 9785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-1o 8380  df-dju 9786  df-inr 9788

This theorem is referenced by: (None)