Theorem inlresf1 9996

Description: The left injection restricted to the left class of a disjoint union is an injective function from the left class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inlresf1	⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inlresf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1o 9993	. . 3 ⊢ inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
2		f1of1 6823	. . 3 ⊢ (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ inl:V–1-1→({∅} × V)
4		ssv 3955	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ V
5		inlresf 9995	. 2 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)
6		f1resf1 6788	. 2 ⊢ ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 𝐴 ⊆ V ∧ (inl ↾ 𝐴):𝐴⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1490	1 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537   ⊔ cdju 9979  inlcinl 9980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-dju 9982  df-inl 9983

This theorem is used by: (None)