Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldextress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldextress 32398
Description: Field extension implies a structure restriction relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
fldextress (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))

Proof of Theorem fldextress
StepHypRef Expression
1 fldextfld1 32395 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
2 fldextfld2 32396 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ Field)
3 brfldext 32393 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ Field โˆง ๐น โˆˆ Field) โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
41, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
54ibi 267 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)))
65simpld 496 1 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   โ†พs cress 17117  Fieldcfield 20198  SubRingcsubrg 20232  /FldExtcfldext 32384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-iota 6449  df-fv 6505  df-ov 7361  df-fldext 32388
This theorem is referenced by:  fldextsralvec  32401  extdgcl  32402  extdggt0  32403  extdg1id  32409  fldextchr  32411
  Copyright terms: Public domain W3C validator