Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldextress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldextress 33401
Description: Field extension implies a structure restriction relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
fldextress (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))

Proof of Theorem fldextress
StepHypRef Expression
1 fldextfld1 33398 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
2 fldextfld2 33399 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ Field)
3 brfldext 33396 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ Field โˆง ๐น โˆˆ Field) โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
41, 2, 3syl2anc 582 . . 3 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
54ibi 266 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)))
65simpld 493 1 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   โ†พs cress 17208  SubRingcsubrg 20510  Fieldcfield 20629  /FldExtcfldext 33387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5678  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7419  df-fldext 33391
This theorem is referenced by:  fldextsralvec  33404  extdgcl  33405  extdggt0  33406  extdg1id  33412  fldextchr  33414
  Copyright terms: Public domain W3C validator