Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldextress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldextress 33249
Description: Field extension implies a structure restriction relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
fldextress (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))

Proof of Theorem fldextress
StepHypRef Expression
1 fldextfld1 33246 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
2 fldextfld2 33247 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ Field)
3 brfldext 33244 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ Field โˆง ๐น โˆˆ Field) โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
41, 2, 3syl2anc 583 . . 3 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
54ibi 267 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)))
65simpld 494 1 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  SubRingcsubrg 20469  Fieldcfield 20588  /FldExtcfldext 33235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-iota 6489  df-fv 6545  df-ov 7408  df-fldext 33239
This theorem is referenced by:  fldextsralvec  33252  extdgcl  33253  extdggt0  33254  extdg1id  33260  fldextchr  33262
  Copyright terms: Public domain W3C validator