Theorem fldextsralvec 33793

Description: The subring algebra associated with a field extension is a vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fldextsralvec	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)

Proof of Theorem fldextsralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextfld1 33785	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
2		isfld 20677	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
4	3	simpld 494	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		fldextress 33789	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
6		fldextfld2 33786	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
7		isfld 20677	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
9	8	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
10	5, 9	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	11	fldextsubrg 33787	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
15	13, 14	sralvec 33722	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
16	4, 10, 12, 15	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  CRingccrg 20173  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20666  Fieldcfield 20667  LVecclvec 21058  subringAlg csra 21127  /_FldExtcfldext 33776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-subg 19057  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-field 20669  df-lmod 20817  df-lvec 21059  df-sra 21129  df-fldext 33779

This theorem is referenced by:  extdg1id  33804