Theorem fldextsralvec 31866

Description: The subring algebra associated with a field extension is a vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fldextsralvec	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)

Proof of Theorem fldextsralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextfld1 31860	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
2		isfld 20078	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
4	3	simpld 495	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		fldextress 31863	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
6		fldextfld2 31861	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
7		isfld 20078	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
8	6, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
9	8	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
10	5, 9	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	11	fldextsubrg 31862	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
15	13, 14	sralvec 31811	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
16	4, 10, 12, 15	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5086  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  Basecbs 16986   ↾_s cress 17015  CRingccrg 19856  DivRingcdr 20067  Fieldcfield 20068  SubRingcsubrg 20099  LVecclvec 20444  subringAlg csra 20510  /_FldExtcfldext 31849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-subg 18825  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-field 20070  df-subrg 20101  df-lmod 20205  df-lvec 20445  df-sra 20514  df-fldext 31853

This theorem is referenced by:  extdg1id  31874