Theorem extdggt0 31732

Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdggt0	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Proof of Theorem extdggt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextfld1 31724	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
2		isfld 20000	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
3	2	simplbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		fldextress 31727	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
6		fldextfld2 31725	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
7		isfld 20000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
8	7	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
10	5, 9	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	11	fldextsubrg 31726	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
15	13, 14	sralvec 31675	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
16	4, 10, 12, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	17	subrgss 20025	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸) → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
20	13, 17	sradrng 31673	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
21	4, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
22		drngdimgt0 31701	. . 3 ⊢ ((((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec ∧ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing) → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
23	16, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
24		extdgval 31729	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
25	23, 24	breqtrrd 5102	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   < clt 11009  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  CRingccrg 19784  DivRingcdr 19991  Fieldcfield 19992  SubRingcsubrg 20020  LVecclvec 20364  subringAlg csra 20430  dimcldim 31684  /_FldExtcfldext 31713  [:]cextdg 31716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rpss 7576  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-r1 9522  df-rank 9523  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ocomp 16983  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-mri 17297  df-acs 17298  df-proset 18013  df-drs 18014  df-poset 18031  df-ipo 18246  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lbs 20337  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-nzr 20529  df-lindf 21013  df-linds 21014  df-dim 31685  df-fldext 31717  df-extdg 31718

This theorem is referenced by:  finexttrb  31737