Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extdggt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extdggt0 31104
 Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
extdggt0 (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Proof of Theorem extdggt0
StepHypRef Expression
1 fldextfld1 31096 . . . . 5 (𝐸/FldExt𝐹𝐸 ∈ Field)
2 isfld 19502 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
32simplbi 501 . . . . 5 (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹𝐸 ∈ DivRing)
5 fldextress 31099 . . . . 5 (𝐸/FldExt𝐹𝐹 = (𝐸s (Base‘𝐹)))
6 fldextfld2 31097 . . . . . 6 (𝐸/FldExt𝐹𝐹 ∈ Field)
7 isfld 19502 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
87simplbi 501 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐸/FldExt𝐹𝐹 ∈ DivRing)
105, 9eqeltrrd 2915 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1211fldextsubrg 31098 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13 eqid 2822 . . . . 5 ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14 eqid 2822 . . . . 5 (𝐸s (Base‘𝐹)) = (𝐸s (Base‘𝐹))
1513, 14sralvec 31047 . . . 4 ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
164, 10, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
1817subrgss 19527 . . . . 5 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸) → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
1912, 18syl 17 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
2013, 17sradrng 31045 . . . 4 ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
214, 19, 20syl2anc 587 . . 3 (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
22 drngdimgt0 31073 . . 3 ((((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec ∧ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing) → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
2316, 21, 22syl2anc 587 . 2 (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
24 extdgval 31101 . 2 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
2523, 24breqtrrd 5070 1 (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526   < clt 10664  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  CRingccrg 19289  DivRingcdr 19493  Fieldcfield 19494  SubRingcsubrg 19522  LVecclvec 19865  subringAlg csra 19931  dimcldim 31056  /FldExtcfldext 31085  [:]cextdg 31088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-rpss 7434  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ocomp 16577  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-mri 16850  df-acs 16851  df-proset 17529  df-drs 17530  df-poset 17547  df-ipo 17753  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-field 19496  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lbs 19838  df-lvec 19866  df-sra 19935  df-nzr 20022  df-lindf 20493  df-linds 20494  df-dim 31057  df-fldext 31089  df-extdg 31090 This theorem is referenced by:  finexttrb  31109
 Copyright terms: Public domain W3C validator