![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > extdggt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
extdggt0 | โข (๐ธ/FldExt๐น โ 0 < (๐ธ[:]๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fldextfld1 32395 | . . . . 5 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ๐ธ โ Field) | |
2 | isfld 20208 | . . . . . 6 โข (๐ธ โ Field โ (๐ธ โ DivRing โง ๐ธ โ CRing)) | |
3 | 2 | simplbi 499 | . . . . 5 โข (๐ธ โ Field โ ๐ธ โ DivRing) |
4 | 1, 3 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ๐ธ โ DivRing) |
5 | fldextress 32398 | . . . . 5 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ๐น = (๐ธ โพs (Baseโ๐น))) | |
6 | fldextfld2 32396 | . . . . . 6 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ๐น โ Field) | |
7 | isfld 20208 | . . . . . . 7 โข (๐น โ Field โ (๐น โ DivRing โง ๐น โ CRing)) | |
8 | 7 | simplbi 499 | . . . . . 6 โข (๐น โ Field โ ๐น โ DivRing) |
9 | 6, 8 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ๐น โ DivRing) |
10 | 5, 9 | eqeltrrd 2835 | . . . 4 โข (๐ธ/FldExt๐น โ (๐ธ โพs (Baseโ๐น)) โ DivRing) |
11 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (Baseโ๐น) = (Baseโ๐น) | |
12 | 11 | fldextsubrg 32397 | . . . 4 โข (๐ธ/FldExt๐น โ (Baseโ๐น) โ (SubRingโ๐ธ)) |
13 | eqid 2733 | . . . . 5 โข ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) = ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) | |
14 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (๐ธ โพs (Baseโ๐น)) = (๐ธ โพs (Baseโ๐น)) | |
15 | 13, 14 | sralvec 32344 | . . . 4 โข ((๐ธ โ DivRing โง (๐ธ โพs (Baseโ๐น)) โ DivRing โง (Baseโ๐น) โ (SubRingโ๐ธ)) โ ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) โ LVec) |
16 | 4, 10, 12, 15 | syl3anc 1372 | . . 3 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) โ LVec) |
17 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐ธ) = (Baseโ๐ธ) | |
18 | 17 | subrgss 20237 | . . . . 5 โข ((Baseโ๐น) โ (SubRingโ๐ธ) โ (Baseโ๐น) โ (Baseโ๐ธ)) |
19 | 12, 18 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ธ/FldExt๐น โ (Baseโ๐น) โ (Baseโ๐ธ)) |
20 | 13, 17 | sradrng 32342 | . . . 4 โข ((๐ธ โ DivRing โง (Baseโ๐น) โ (Baseโ๐ธ)) โ ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) โ DivRing) |
21 | 4, 19, 20 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ธ/FldExt๐น โ ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) โ DivRing) |
22 | drngdimgt0 32370 | . . 3 โข ((((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) โ LVec โง ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)) โ DivRing) โ 0 < (dimโ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)))) | |
23 | 16, 21, 22 | syl2anc 585 | . 2 โข (๐ธ/FldExt๐น โ 0 < (dimโ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)))) |
24 | extdgval 32400 | . 2 โข (๐ธ/FldExt๐น โ (๐ธ[:]๐น) = (dimโ((subringAlg โ๐ธ)โ(Baseโ๐น)))) | |
25 | 23, 24 | breqtrrd 5134 | 1 โข (๐ธ/FldExt๐น โ 0 < (๐ธ[:]๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wcel 2107 โ wss 3911 class class class wbr 5106 โcfv 6497 (class class class)co 7358 0cc0 11056 < clt 11194 Basecbs 17088 โพs cress 17117 CRingccrg 19970 DivRingcdr 20197 Fieldcfield 20198 SubRingcsubrg 20232 LVecclvec 20578 subringAlg csra 20645 dimcldim 32353 /FldExtcfldext 32384 [:]cextdg 32387 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-reg 9533 ax-inf2 9582 ax-ac2 10404 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-rpss 7661 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-tpos 8158 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-oadd 8417 df-er 8651 df-map 8770 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-oi 9451 df-r1 9705 df-rank 9706 df-dju 9842 df-card 9880 df-acn 9883 df-ac 10057 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-xnn0 12491 df-z 12505 df-dec 12624 df-uz 12769 df-fz 13431 df-hash 14237 df-struct 17024 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-ip 17156 df-tset 17157 df-ple 17158 df-ocomp 17159 df-0g 17328 df-mre 17471 df-mrc 17472 df-mri 17473 df-acs 17474 df-proset 18189 df-drs 18190 df-poset 18207 df-ipo 18422 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-submnd 18607 df-grp 18756 df-minusg 18757 df-sbg 18758 df-subg 18930 df-cmn 19569 df-abl 19570 df-mgp 19902 df-ur 19919 df-ring 19971 df-oppr 20054 df-dvdsr 20075 df-unit 20076 df-invr 20106 df-drng 20199 df-field 20200 df-subrg 20234 df-lmod 20338 df-lss 20408 df-lsp 20448 df-lbs 20551 df-lvec 20579 df-sra 20649 df-nzr 20744 df-lindf 21228 df-linds 21229 df-dim 32354 df-fldext 32388 df-extdg 32389 |
This theorem is referenced by: finexttrb 32408 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |