Theorem extdggt0 34056

Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdggt0	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Proof of Theorem extdggt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextfld1 34046	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
2		isfld 20849	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
3	2	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		fldextress 34050	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
6		fldextfld2 34047	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
7		isfld 20849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
8	7	simplbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
10	5, 9	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	11	fldextsubrg 34048	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
15	13, 14	sralvec 33984	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
16	4, 10, 12, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	17	subrgss 20680	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸) → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19	12, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
20	13, 17	sradrng 33981	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
21	4, 19, 20	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
22		drngdimgt0 34017	. . 3 ⊢ ((((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec ∧ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing) → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
23	16, 21, 22	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
24		extdgval 34052	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
25	23, 24	breqtrrd 5139	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104   < clt 11247  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294  CRingccrg 20320  SubRingcsubrg 20677  DivRingcdr 20836  Fieldcfield 20837  LVecclvec 21232  subringAlg csra 21301  dimcldim 33998  /_FldExtcfldext 34037  [:]cextdg 34039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10451  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10105  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ocomp 17335  df-0g 17498  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-mri 17644  df-acs 17645  df-proset 18354  df-drs 18355  df-poset 18373  df-ipo 18588  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-nzr 20619  df-subrg 20678  df-drng 20838  df-field 20839  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lbs 21205  df-lvec 21233  df-sra 21303  df-lindf 21965  df-linds 21966  df-dim 33999  df-fldext 34040  df-extdg 34041

This theorem is used by:  finexttrb  34064  fldext2rspun  34081  rtelextdg2  34126  constrext2chnlem  34149