Theorem extdggt0 34175

Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdggt0	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

Proof of Theorem extdggt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextfld1 34165	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
2		isfld 20909	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
3	2	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		fldextress 34169	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
6		fldextfld2 34166	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
7		isfld 20909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
8	7	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
10	5, 9	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	11	fldextsubrg 34167	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
15	13, 14	sralvec 34103	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
16	4, 10, 12, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	17	subrgss 20740	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸) → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
19	12, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
20	13, 17	sradrng 34100	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
21	4, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
22		drngdimgt0 34136	. . 3 ⊢ ((((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec ∧ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ DivRing) → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
23	16, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
24		extdgval 34171	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
25	23, 24	breqtrrd 5137	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128   < clt 11271  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  CRingccrg 20379  SubRingcsubrg 20737  DivRingcdr 20896  Fieldcfield 20897  LVecclvec 21292  subringAlg csra 21361  dimcldim 34117  /_FldExtcfldext 34156  [:]cextdg 34158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624  ax-ac2 10469  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-rpss 7728  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9872  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10123  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ocomp 17369  df-0g 17532  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-mri 17678  df-acs 17679  df-proset 18388  df-drs 18389  df-poset 18407  df-ipo 18622  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-nzr 20679  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-field 20899  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lbs 21265  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-lindf 22025  df-linds 22026  df-dim 34118  df-fldext 34159  df-extdg 34160

This theorem is used by:  finexttrb  34183  fldext2rspun  34200  rtelextdg2  34245  constrext2chnlem  34268