Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extdggt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extdggt0 33254
Description: Degrees of field extension are greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
extdggt0 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ 0 < (๐ธ[:]๐น))

Proof of Theorem extdggt0
StepHypRef Expression
1 fldextfld1 33246 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
2 isfld 20598 . . . . . 6 (๐ธ โˆˆ Field โ†” (๐ธ โˆˆ DivRing โˆง ๐ธ โˆˆ CRing))
32simplbi 497 . . . . 5 (๐ธ โˆˆ Field โ†’ ๐ธ โˆˆ DivRing)
41, 3syl 17 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ DivRing)
5 fldextress 33249 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))
6 fldextfld2 33247 . . . . . 6 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ Field)
7 isfld 20598 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ Field โ†” (๐น โˆˆ DivRing โˆง ๐น โˆˆ CRing))
87simplbi 497 . . . . . 6 (๐น โˆˆ Field โ†’ ๐น โˆˆ DivRing)
96, 8syl 17 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ DivRing)
105, 9eqeltrrd 2828 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing)
11 eqid 2726 . . . . 5 (Baseโ€˜๐น) = (Baseโ€˜๐น)
1211fldextsubrg 33248 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))
13 eqid 2726 . . . . 5 ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) = ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))
14 eqid 2726 . . . . 5 (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น))
1513, 14sralvec 33190 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ DivRing โˆง (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)) โ†’ ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ LVec)
164, 10, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ LVec)
17 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ธ) = (Baseโ€˜๐ธ)
1817subrgss 20474 . . . . 5 ((Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ) โ†’ (Baseโ€˜๐น) โІ (Baseโ€˜๐ธ))
1912, 18syl 17 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (Baseโ€˜๐น) โІ (Baseโ€˜๐ธ))
2013, 17sradrng 33188 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ DivRing โˆง (Baseโ€˜๐น) โІ (Baseโ€˜๐ธ)) โ†’ ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing)
214, 19, 20syl2anc 583 . . 3 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing)
22 drngdimgt0 33221 . . 3 ((((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ LVec โˆง ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing) โ†’ 0 < (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))))
2316, 21, 22syl2anc 583 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ 0 < (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))))
24 extdgval 33251 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ[:]๐น) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))))
2523, 24breqtrrd 5169 1 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ 0 < (๐ธ[:]๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   < clt 11252  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  CRingccrg 20139  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  Fieldcfield 20588  LVecclvec 20950  subringAlg csra 21019  dimcldim 33201  /FldExtcfldext 33235  [:]cextdg 33238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-r1 9761  df-rank 9762  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18278  df-ipo 18493  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lbs 20923  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-lindf 21701  df-linds 21702  df-dim 33202  df-fldext 33239  df-extdg 33240
This theorem is referenced by:  finexttrb  33259
  Copyright terms: Public domain W3C validator