Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extdgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extdgcl 31109
 Description: Closure of the field extension degree operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
extdgcl (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem extdgcl
StepHypRef Expression
1 extdgval 31107 . 2 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
2 fldextfld1 31102 . . . . . 6 (𝐸/FldExt𝐹𝐸 ∈ Field)
3 isfld 19514 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
42, 3sylib 221 . . . . 5 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
54simpld 498 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹𝐸 ∈ DivRing)
6 fldextress 31105 . . . . 5 (𝐸/FldExt𝐹𝐹 = (𝐸s (Base‘𝐹)))
7 fldextfld2 31103 . . . . . . 7 (𝐸/FldExt𝐹𝐹 ∈ Field)
8 isfld 19514 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
97, 8sylib 221 . . . . . 6 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
109simpld 498 . . . . 5 (𝐸/FldExt𝐹𝐹 ∈ DivRing)
116, 10eqeltrrd 2917 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
12 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1312fldextsubrg 31104 . . . 4 (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
14 eqid 2824 . . . . 5 ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
15 eqid 2824 . . . . 5 (𝐸s (Base‘𝐹)) = (𝐸s (Base‘𝐹))
1614, 15sralvec 31053 . . . 4 ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
175, 11, 13, 16syl3anc 1368 . . 3 (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
18 dimcl 31066 . . 3 (((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
1917, 18syl 17 . 2 (𝐸/FldExt𝐹 → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
201, 19eqeltrd 2916 1 (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℕ0*cxnn0 11967  Basecbs 16486   ↾s cress 16487  CRingccrg 19301  DivRingcdr 19505  Fieldcfield 19506  SubRingcsubrg 19534  LVecclvec 19877  subringAlg csra 19943  dimcldim 31062  /FldExtcfldext 31091  [:]cextdg 31094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-reg 9054  ax-inf2 9102  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-rpss 7444  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-oi 8972  df-r1 9191  df-rank 9192  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-hash 13699  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ocomp 16589  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-mri 16862  df-acs 16863  df-proset 17541  df-drs 17542  df-poset 17559  df-ipo 17765  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-drng 19507  df-field 19508  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lbs 19850  df-lvec 19878  df-sra 19947  df-dim 31063  df-fldext 31095  df-extdg 31096 This theorem is referenced by:  finexttrb  31115
 Copyright terms: Public domain W3C validator