Theorem extdgcl 34222

Description: Closure of the field extension degree operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdgcl	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem extdgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgval 34219	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
2		fldextfld1 34213	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
3		isfld 20955	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
5	4	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
6		fldextress 34217	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
7		fldextfld2 34214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
8		isfld 20955	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	6, 10	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	12	fldextsubrg 34215	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
16	14, 15	sralvec 34151	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17	5, 11, 13, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
18		dimcl 34169	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
20	1, 19	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℕ₀^*cxnn0 12649  Basecbs 17349   ↾_s cress 17370  CRingccrg 20422  SubRingcsubrg 20783  DivRingcdr 20942  Fieldcfield 20943  LVecclvec 21339  subringAlg csra 21408  dimcldim 34165  /_FldExtcfldext 34204  [:]cextdg 34206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10513  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9901  df-dju 9954  df-card 9992  df-acn 9995  df-ac 10167  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ocomp 17411  df-0g 17574  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-mri 17720  df-acs 17721  df-proset 18430  df-drs 18431  df-poset 18449  df-ipo 18664  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-subrg 20784  df-drng 20944  df-field 20945  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-lbs 21312  df-lvec 21340  df-sra 21410  df-dim 34166  df-fldext 34207  df-extdg 34208

This theorem is used by:  finexttrb  34231  fldextrspundglemul  34245  fldextrspundgdvdslem  34246  fldextrspundgdvds  34247  rtelextdg2  34293  constrext2chnlem  34316