Theorem extdgcl 33680

Description: Closure of the field extension degree operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdgcl	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem extdgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgval 33677	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
2		fldextfld1 33671	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
3		isfld 20665	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
5	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
6		fldextress 33675	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
7		fldextfld2 33672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
8		isfld 20665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
9	7, 8	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	6, 10	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	12	fldextsubrg 33673	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
15		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
16	14, 15	sralvec 33608	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17	5, 11, 13, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
18		dimcl 33626	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
20	1, 19	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℕ₀^*cxnn0 12464  Basecbs 17130   ↾_s cress 17151  CRingccrg 20162  SubRingcsubrg 20494  DivRingcdr 20654  Fieldcfield 20655  LVecclvec 21046  subringAlg csra 21115  dimcldim 33622  /_FldExtcfldext 33662  [:]cextdg 33664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-reg 9488  ax-inf2 9541  ax-ac2 10364  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-rpss 7665  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-oi 9406  df-r1 9667  df-rank 9668  df-dju 9804  df-card 9842  df-acn 9845  df-ac 10017  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ocomp 17192  df-0g 17355  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-mri 17500  df-acs 17501  df-proset 18210  df-drs 18211  df-poset 18229  df-ipo 18444  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-subrg 20495  df-drng 20656  df-field 20657  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lbs 21019  df-lvec 21047  df-sra 21117  df-dim 33623  df-fldext 33665  df-extdg 33666

This theorem is referenced by:  finexttrb  33689  fldextrspundglemul  33703  fldextrspundgdvdslem  33704  fldextrspundgdvds  33705  rtelextdg2  33751  constrext2chnlem  33774