Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extdgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extdgcl 32723
Description: Closure of the field extension degree operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
extdgcl (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0*)

Proof of Theorem extdgcl
StepHypRef Expression
1 extdgval 32721 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ[:]๐น) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))))
2 fldextfld1 32716 . . . . . 6 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
3 isfld 20318 . . . . . 6 (๐ธ โˆˆ Field โ†” (๐ธ โˆˆ DivRing โˆง ๐ธ โˆˆ CRing))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ โˆˆ DivRing โˆง ๐ธ โˆˆ CRing))
54simpld 495 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ DivRing)
6 fldextress 32719 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))
7 fldextfld2 32717 . . . . . . 7 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ Field)
8 isfld 20318 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ Field โ†” (๐น โˆˆ DivRing โˆง ๐น โˆˆ CRing))
97, 8sylib 217 . . . . . 6 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐น โˆˆ DivRing โˆง ๐น โˆˆ CRing))
109simpld 495 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐น โˆˆ DivRing)
116, 10eqeltrrd 2834 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing)
12 eqid 2732 . . . . 5 (Baseโ€˜๐น) = (Baseโ€˜๐น)
1312fldextsubrg 32718 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))
14 eqid 2732 . . . . 5 ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) = ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))
15 eqid 2732 . . . . 5 (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น))
1614, 15sralvec 32663 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ DivRing โˆง (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)) โ†’ ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ LVec)
175, 11, 13, 16syl3anc 1371 . . 3 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ LVec)
18 dimcl 32676 . . 3 (((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) โˆˆ LVec โ†’ (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))) โˆˆ โ„•0*)
1917, 18syl 17 . 2 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))) โˆˆ โ„•0*)
201, 19eqeltrd 2833 1 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„•0*cxnn0 12540  Basecbs 17140   โ†พs cress 17169  CRingccrg 20050  DivRingcdr 20307  Fieldcfield 20308  SubRingcsubrg 20351  LVecclvec 20705  subringAlg csra 20773  dimcldim 32672  /FldExtcfldext 32705  [:]cextdg 32708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-r1 9755  df-rank 9756  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ocomp 17214  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528  df-acs 17529  df-proset 18244  df-drs 18245  df-poset 18262  df-ipo 18477  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lbs 20678  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-dim 32673  df-fldext 32709  df-extdg 32710
This theorem is referenced by:  finexttrb  32729
  Copyright terms: Public domain W3C validator