Theorem extdgcl 34168

Description: Closure of the field extension degree operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdgcl	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem extdgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgval 34165	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))))
2		fldextfld1 34159	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ Field)
3		isfld 20907	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
5	4	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐸 ∈ DivRing)
6		fldextress 34163	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)))
7		fldextfld2 34160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
8		isfld 20907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	6, 10	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
13	12	fldextsubrg 34161	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸))
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))
15		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐸 ↾s (Base‘𝐹))
16	14, 15	sralvec 34097	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
17	5, 11, 13, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec)
18		dimcl 34115	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹)) ∈ LVec → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐹))) ∈ ℕ0*)
20	1, 19	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℕ₀^*cxnn0 12604  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  CRingccrg 20377  SubRingcsubrg 20735  DivRingcdr 20894  Fieldcfield 20895  LVecclvec 21290  subringAlg csra 21359  dimcldim 34111  /_FldExtcfldext 34150  [:]cextdg 34152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-reg 9567  ax-inf2 9623  ax-ac2 10468  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7727  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9485  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-ac 10122  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ocomp 17367  df-0g 17530  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-mri 17676  df-acs 17677  df-proset 18386  df-drs 18387  df-poset 18405  df-ipo 18620  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-subrg 20736  df-drng 20896  df-field 20897  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-lbs 21263  df-lvec 21291  df-sra 21361  df-dim 34112  df-fldext 34153  df-extdg 34154

This theorem is used by:  finexttrb  34177  fldextrspundglemul  34191  fldextrspundgdvdslem  34192  fldextrspundgdvds  34193  rtelextdg2  34239  constrext2chnlem  34262