Theorem gchen2 10571

Description: If 𝐴 < 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchen2	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		gchi 10569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
4	3	con3dimp 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	an32s 650	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
6	5	adantrr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
7		bren2 8930	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
8	1, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888   ≺ csdm 8889  Fincfn 8890  GCHcgch 10565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5644  df-rel 5645  df-f1o 6508  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-gch 10566

This theorem is referenced by:  gchhar  10624