Theorem gchen2 10599

Description: If 𝐴 < 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchen2	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 784	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		gchi 10597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	3expia 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
4	3	con3dimp 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	an32s 664	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
6	5	adantrr 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
7		bren2 8968	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
8	1, 6, 7	sylanbrc 594	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930  Fincfn 8931  GCHcgch 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-rel 5659  df-f1o 6532  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-gch 10594

This theorem is referenced by:  gchhar  10652