Theorem gchen1 10715

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 < 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then 𝐴 = 𝐵 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchen1	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem gchen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		gchi 10714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4	3	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
5	4	con3dimp 414	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	5	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
7	6	adantrl 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
8		bren2 9015	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	1, 7, 8	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   ≈ cen 8975   ≼ cdom 8976   ≺ csdm 8977  Fincfn 8978  GCHcgch 10710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-f1o 6548  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-gch 10711

This theorem is used by:  gchor  10717  gchdju1  10746  gchdjuidm  10758  gchxpidm  10759  gchhar  10769