Theorem gchen1 10548

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 < 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then 𝐴 = 𝐵 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchen1	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem gchen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		gchi 10547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	3com23 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4	3	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
5	4	con3dimp 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	5	an32s 653	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
7	6	adantrl 717	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
8		bren2 8932	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	1, 7, 8	sylanbrc 584	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895  GCHcgch 10543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-f1o 6507  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-gch 10544

This theorem is referenced by:  gchor  10550  gchdju1  10579  gchdjuidm  10591  gchxpidm  10592  gchhar  10602