Theorem gchen1 10621

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 < 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then 𝐴 = 𝐵 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchen1	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem gchen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		gchi 10620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4	3	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
5	4	con3dimp 414	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	5	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
7	6	adantrl 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
8		bren2 8982	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	1, 7, 8	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5111   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943   ≺ csdm 8944  Fincfn 8945  GCHcgch 10616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-f1o 6547  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-gch 10617

This theorem is used by:  gchor  10623  gchdju1  10652  gchdjuidm  10664  gchxpidm  10665  gchhar  10675