Theorem gchor 10314

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then either 𝐴 = 𝐵 or 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchor	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem gchor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		brdom2 8725	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
4		gchen1 10312	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	adantrr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	orim1d 962	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)))
8	3, 7	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690  Fincfn 8691  GCHcgch 10307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-f1o 6425  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-gch 10308

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10316  gchpwdom  10357