Theorem gchor 10600

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then either 𝐴 = 𝐵 or 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchor	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem gchor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		brdom2 8967	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
4		gchen1 10598	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	adantrr 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	orim1d 981	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)))
8	3, 7	mpd 16	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930  Fincfn 8931  GCHcgch 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-rel 5659  df-f1o 6532  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-gch 10594

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10602  gchpwdom  10643