Theorem gchor 10670

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then either 𝐴 = 𝐵 or 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchor	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem gchor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		brdom2 9013	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
4		gchen1 10668	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	expr 455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	orim1d 963	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)))
8	3, 7	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2099  𝒫 cpw 4607   class class class wbr 5153   ≈ cen 8971   ≼ cdom 8972   ≺ csdm 8973  Fincfn 8974  GCHcgch 10663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-br 5154  df-opab 5216  df-xp 5688  df-rel 5689  df-f1o 6561  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-gch 10664

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10672  gchpwdom  10713