Theorem bren2 9013

Description: Equinumerosity expressed in terms of dominance and strict dominance. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
bren2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem bren2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9009	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		sdomnen 9011	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
3	2	con2i 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4	1, 3	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5		brdom2 9012	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	orcanai 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
8	4, 7	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   class class class wbr 5102   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974   ≺ csdm 8975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-br 5103  df-opab 5167  df-f1o 6545  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979

This theorem is used by:  marypha1lem  9428  tskwe  10034  infxpenlem  10095  cdainflem  10269  axcclem  10538  alephsuc3  10668  gchen1  10713  gchen2  10714  inatsk  10866  lindsenlbs  22162  ufilen  24254  dirith2  27860  f1ocnt  33438  kardexen  35887  mblfinlem1  38668  axccdom  46328  axccd2  46335