Theorem bren2 8726

Description: Equinumerosity expressed in terms of dominance and strict dominance. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
bren2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem bren2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8722	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		sdomnen 8724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
3	2	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4	1, 3	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5		brdom2 8725	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	orcanai 999	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
8	4, 7	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-f1o 6425  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  marypha1lem  9122  tskwe  9639  infxpenlem  9700  cdainflem  9874  axcclem  10144  alephsuc3  10267  gchen1  10312  gchen2  10313  inatsk  10465  ufilen  22989  dirith2  26581  f1ocnt  31025  lindsenlbs  35699  mblfinlem1  35741  axccdom  42651  axccd2  42658