MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchhar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchhar 10674
Description: A "local" form of gchac 10676. If 𝐴 and 𝒫 𝐴 are GCH-sets, then the Hartogs number of 𝐴 is 𝒫 𝐴 (so 𝒫 𝐴 and a fortiori 𝐴 are well-orderable). The proof is due to Specker. Theorem 2.1 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchhar ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchhar
StepHypRef Expression
1 harcl 9554 . . . 4 (harβ€˜π΄) ∈ On
2 simp3 1139 . . . 4 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ GCH)
3 djudoml 10179 . . . 4 (((harβ€˜π΄) ∈ On ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴))
41, 2, 3sylancr 588 . . 3 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴))
5 domnsym 9099 . . . . . . . . 9 (Ο‰ β‰Ό 𝐴 β†’ Β¬ 𝐴 β‰Ί Ο‰)
653ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ Β¬ 𝐴 β‰Ί Ο‰)
7 isfinite 9647 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 β‰Ί Ο‰)
86, 7sylnibr 329 . . . . . . 7 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ Fin)
9 pwfi 9178 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
108, 9sylnib 328 . . . . . 6 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ Β¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11 djudoml 10179 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (harβ€˜π΄) ∈ On) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
122, 1, 11sylancl 587 . . . . . 6 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
13 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) ∈ V)
14 djuex 9903 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (harβ€˜π΄) ∈ V) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∈ V)
152, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∈ V)
16 canth2g 9131 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∈ V β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ί 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ί 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
18 pwdjuen 10176 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (harβ€˜π΄) ∈ On) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)))
192, 1, 18sylancl 587 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)))
202pwexd 5378 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
21 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝐴 ∈ GCH)
22 harwdom 9586 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ GCH β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό* 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴))
23 wdompwdom 9573 . . . . . . . . . . 11 ((harβ€˜π΄) β‰Ό* 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴) β†’ 𝒫 (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴))
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴))
25 xpdom2g 9068 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)))
2620, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)))
2721, 21xpexd 7738 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V)
2827pwexd 5378 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V)
29 pwdjuen 10176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)))
302, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)))
3130ensymd 9001 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)))
32 enrefg 8980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 𝐴 ∈ GCH β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ 𝒫 𝐴)
332, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ 𝒫 𝐴)
34 gchxpidm 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ GCH ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
3521, 8, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
36 pwen 9150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴 β†’ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
38 djuen 10164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 𝐴 β‰ˆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
3933, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
40 gchdjuidm 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ Β¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
412, 10, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
42 entr 9002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
4339, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
44 pwen 9150 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝒫 𝐴)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝒫 𝐴)
46 entr 9002 . . . . . . . . . 10 (((𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝒫 𝐴)
4731, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝒫 𝐴)
48 domentr 9009 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐴)) β‰ˆ 𝒫 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐴)
4926, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐴)
50 endomtr 9008 . . . . . . . 8 ((𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 Γ— 𝒫 (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐴) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐴)
5119, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐴)
52 sdomdomtr 9110 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ί 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ί 𝒫 𝒫 𝐴)
5317, 51, 52syl2anc 585 . . . . . 6 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ί 𝒫 𝒫 𝐴)
54 gchen1 10620 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ Β¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ί 𝒫 𝒫 𝐴)) β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
552, 10, 12, 53, 54syl22anc 838 . . . . 5 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
56 djucomen 10172 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (harβ€˜π΄) ∈ V) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴))
572, 13, 56syl2anc 585 . . . . 5 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴))
58 entr 9002 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴)) β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴))
5955, 57, 58syl2anc 585 . . . 4 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴))
6059ensymd 9001 . . 3 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
61 domentr 9009 . . 3 (((harβ€˜π΄) β‰Ό ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴) ∧ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝐴)
624, 60, 61syl2anc 585 . 2 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝐴)
63 gchdjuidm 10663 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
6421, 8, 63syl2anc 585 . . . . 5 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
65 pwen 9150 . . . . 5 ((𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ 𝐴 β†’ 𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
6664, 65syl 17 . . . 4 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
67 djudoml 10179 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (harβ€˜π΄) ∈ On) β†’ 𝐴 β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
6821, 1, 67sylancl 587 . . . . . . 7 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝐴 β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
69 harndom 9557 . . . . . . . 8 Β¬ (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝐴
70 djudoml 10179 . . . . . . . . . . 11 (((harβ€˜π΄) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝐴))
711, 21, 70sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝐴))
72 djucomen 10172 . . . . . . . . . . 11 (((harβ€˜π΄) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) β†’ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝐴) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
731, 21, 72sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝐴) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
74 domentr 9009 . . . . . . . . . 10 (((harβ€˜π΄) β‰Ό ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝐴) ∧ ((harβ€˜π΄) βŠ” 𝐴) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄))) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
7571, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
76 domen2 9120 . . . . . . . . 9 (𝐴 β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β†’ ((harβ€˜π΄) β‰Ό 𝐴 ↔ (harβ€˜π΄) β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄))))
7775, 76syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β†’ (harβ€˜π΄) β‰Ό 𝐴))
7869, 77mtoi 198 . . . . . . 7 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ Β¬ 𝐴 β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
79 brsdom 8971 . . . . . . 7 (𝐴 β‰Ί (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ↔ (𝐴 β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐴 β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄))))
8068, 78, 79sylanbrc 584 . . . . . 6 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝐴 β‰Ί (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
81 canth2g 9131 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ GCH β†’ 𝐴 β‰Ί 𝒫 𝐴)
82 sdomdom 8976 . . . . . . . . . 10 (𝐴 β‰Ί 𝒫 𝐴 β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐴)
8321, 81, 823syl 18 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐴)
84 djudom1 10177 . . . . . . . . 9 ((𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐴 ∧ (harβ€˜π΄) ∈ On) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
8583, 1, 84sylancl 587 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
86 djudom2 10178 . . . . . . . . 9 (((harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
8762, 2, 86syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
88 domtr 9003 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴)) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
8985, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . 7 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
90 domentr 9009 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝐴)
9189, 41, 90syl2anc 585 . . . . . 6 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝐴)
92 gchen2 10621 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 β‰Ί (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) ∧ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰Ό 𝒫 𝐴)) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
9321, 8, 80, 91, 92syl22anc 838 . . . . 5 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
9493ensymd 9001 . . . 4 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
95 entr 9002 . . . 4 ((𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄))) β†’ 𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
9666, 94, 95syl2anc 585 . . 3 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
97 endom 8975 . . 3 (𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β†’ 𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)))
98 pwdjudom 10211 . . 3 (𝒫 (𝐴 βŠ” 𝐴) β‰Ό (𝐴 βŠ” (harβ€˜π΄)) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό (harβ€˜π΄))
9996, 97, 983syl 18 . 2 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό (harβ€˜π΄))
100 sbth 9093 . 2 (((harβ€˜π΄) β‰Ό 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 β‰Ό (harβ€˜π΄)) β†’ (harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
10162, 99, 100syl2anc 585 1 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) β†’ (harβ€˜π΄) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  Fincfn 8939  harchar 9551   β‰Ό* cwdom 9559   βŠ” cdju 9893  GCHcgch 10615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-oexp 8472  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-har 9552  df-wdom 9560  df-cnf 9657  df-dju 9896  df-card 9934  df-fin4 10282  df-gch 10616
This theorem is referenced by:  gchacg  10675
  Copyright terms: Public domain W3C validator