Theorem gchhar 10665

Description: A "local" form of gchac 10667. If 𝐴 and 𝒫 𝐴 are GCH-sets, then the Hartogs number of 𝐴 is 𝒫 𝐴 (so 𝒫 𝐴 and a fortiori 𝐴 are well-orderable). The proof is due to Specker. Theorem 2.1 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchhar	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchhar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9522	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ∈ GCH)
3		djudoml 10169	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
5		domnsym 9092	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
7		isfinite 9622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
8	6, 7	sylnibr 332	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
9		pwfi 9279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	sylnib 331	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11		djudoml 10169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
12	2, 1, 11	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
13		fvexd 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ∈ V)
14		djuex 9895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V)
15	2, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V)
16		canth2g 9120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
18		pwdjuen 10166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
19	2, 1, 18	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
20	2	pwexd 5352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ∈ GCH)
22		harwdom 9554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
23		wdompwdom 9541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
25		xpdom2g 9062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
26	20, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
27	21, 21	xpexd 7751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
28	27	pwexd 5352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
29		pwdjuen 10166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
30	2, 28, 29	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
31	30	ensymd 9003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
32		enrefg 8982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
33	2, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
34		gchxpidm 10655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
35	21, 8, 34	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		djuen 10154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
39	33, 37, 38	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
40		gchdjuidm 10654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41	2, 10, 40	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
42		entr 9004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
43	39, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
44		pwen 9139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
46		entr 9004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
47	31, 45, 46	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
48		domentr 9011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
49	26, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
50		endomtr 9010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
51	19, 49, 50	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
52		sdomdomtr 9099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
53	17, 51, 52	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
54		gchen1 10611	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
55	2, 10, 12, 53, 54	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
56		djucomen 10162	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
57	2, 13, 56	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
58		entr 9004	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
59	55, 57, 58	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
60	59	ensymd 9003	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
61		domentr 9011	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
62	4, 60, 61	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
63		gchdjuidm 10654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
64	21, 8, 63	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
65		pwen 9139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
66	64, 65	syl 18	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
67		djudoml 10169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
68	21, 1, 67	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
69		harndom 9525	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
70		djudoml 10169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴))
71	1, 21, 70	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴))
72		djucomen 10162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
73	1, 21, 72	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
74		domentr 9011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
75	71, 73, 74	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
76		domen2 9109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))))
77	75, 76	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
78	69, 77	mtoi 202	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
79		brsdom 8972	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))))
80	68, 78, 79	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
81		canth2g 9120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82		sdomdom 8978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
83	21, 81, 82	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
84		djudom1 10167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
85	83, 1, 84	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
86		djudom2 10168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
87	62, 2, 86	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
88		domtr 9005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
89	85, 87, 88	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
90		domentr 9011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
91	89, 41, 90	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
92		gchen2 10612	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
93	21, 8, 80, 91, 92	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
94	93	ensymd 9003	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
95		entr 9004	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
96	66, 94, 95	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
97		endom 8977	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
98		pwdjudom 10199	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
99	96, 97, 98	3syl 19	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
100		sbth 9086	. 2 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
101	62, 99, 100	syl2anc 595	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110   × cxp 5661  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  ωcom 7863   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943  Fincfn 8944  harchar 9519   ≼^* cwdom 9527   ⊔ cdju 9885  GCHcgch 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-seqom 8436  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-har 9520  df-wdom 9528  df-cnf 9632  df-dju 9888  df-card 9926  df-fin4 10272  df-gch 10607

This theorem is referenced by:  gchacg  10666