Theorem gchhar 10719

Description: A "local" form of gchac 10721. If 𝐴 and 𝒫 𝐴 are GCH-sets, then the Hartogs number of 𝐴 is 𝒫 𝐴 (so 𝒫 𝐴 and a fortiori 𝐴 are well-orderable). The proof is due to Specker. Theorem 2.1 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchhar	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchhar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9599	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ∈ GCH)
3		djudoml 10225	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
5		domnsym 9139	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
7		isfinite 9692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
8	6, 7	sylnibr 329	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
9		pwfi 9357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	sylnib 328	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11		djudoml 10225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
12	2, 1, 11	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
13		fvexd 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ∈ V)
14		djuex 9948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V)
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V)
16		canth2g 9171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
18		pwdjuen 10222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
19	2, 1, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
20	2	pwexd 5379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ∈ GCH)
22		harwdom 9631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
23		wdompwdom 9618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
25		xpdom2g 9108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
26	20, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
27	21, 21	xpexd 7771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
28	27	pwexd 5379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
29		pwdjuen 10222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
30	2, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
31	30	ensymd 9045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
32		enrefg 9024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
34		gchxpidm 10709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
35	21, 8, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		djuen 10210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
40		gchdjuidm 10708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41	2, 10, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
42		entr 9046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
43	39, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
44		pwen 9190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
46		entr 9046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
47	31, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
48		domentr 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
49	26, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
50		endomtr 9052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
51	19, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
52		sdomdomtr 9150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
53	17, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
54		gchen1 10665	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
55	2, 10, 12, 53, 54	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
56		djucomen 10218	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
57	2, 13, 56	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
58		entr 9046	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
59	55, 57, 58	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
60	59	ensymd 9045	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
61		domentr 9053	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
62	4, 60, 61	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
63		gchdjuidm 10708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
64	21, 8, 63	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
65		pwen 9190	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
67		djudoml 10225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
68	21, 1, 67	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
69		harndom 9602	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
70		djudoml 10225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴))
71	1, 21, 70	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴))
72		djucomen 10218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
73	1, 21, 72	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
74		domentr 9053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
75	71, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
76		domen2 9160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))))
77	75, 76	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
78	69, 77	mtoi 199	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
79		brsdom 9015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))))
80	68, 78, 79	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
81		canth2g 9171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82		sdomdom 9020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
83	21, 81, 82	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
84		djudom1 10223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
85	83, 1, 84	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
86		djudom2 10224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
87	62, 2, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
88		domtr 9047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
89	85, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
90		domentr 9053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
91	89, 41, 90	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
92		gchen2 10666	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
93	21, 8, 80, 91, 92	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
94	93	ensymd 9045	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
95		entr 9046	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
96	66, 94, 95	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
97		endom 9019	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
98		pwdjudom 10255	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
99	96, 97, 98	3syl 18	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
100		sbth 9133	. 2 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
101	62, 99, 100	syl2anc 584	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985  harchar 9596   ≼^* cwdom 9604   ⊔ cdju 9938  GCHcgch 10660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-har 9597  df-wdom 9605  df-cnf 9702  df-dju 9941  df-card 9979  df-fin4 10327  df-gch 10661

This theorem is referenced by:  gchacg  10720