Theorem gchhar 10652

Description: A "local" form of gchac 10654. If 𝐴 and 𝒫 𝐴 are GCH-sets, then the Hartogs number of 𝐴 is 𝒫 𝐴 (so 𝒫 𝐴 and a fortiori 𝐴 are well-orderable). The proof is due to Specker. Theorem 2.1 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchhar	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchhar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9509	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ∈ GCH)
3		djudoml 10156	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
5		domnsym 9079	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
6	5	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
7		isfinite 9609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
8	6, 7	sylnibr 332	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
9		pwfi 9266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	sylnib 331	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11		djudoml 10156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
12	2, 1, 11	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
13		fvexd 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ∈ V)
14		djuex 9882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V)
15	2, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V)
16		canth2g 9107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
18		pwdjuen 10153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
19	2, 1, 18	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
20	2	pwexd 5341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
21		simp2 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ∈ GCH)
22		harwdom 9541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
23		wdompwdom 9528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
25		xpdom2g 9049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
26	20, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
27	21, 21	xpexd 7738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
28	27	pwexd 5341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
29		pwdjuen 10153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
30	2, 28, 29	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
31	30	ensymd 8990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
32		enrefg 8969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
33	2, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
34		gchxpidm 10642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
35	21, 8, 34	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		djuen 10141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
39	33, 37, 38	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
40		gchdjuidm 10641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41	2, 10, 40	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
42		entr 8991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
43	39, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
44		pwen 9126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
46		entr 8991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
47	31, 45, 46	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
48		domentr 8998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
49	26, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
50		endomtr 8997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
51	19, 49, 50	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
52		sdomdomtr 9086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
53	17, 51, 52	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
54		gchen1 10598	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
55	2, 10, 12, 53, 54	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
56		djucomen 10149	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
57	2, 13, 56	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
58		entr 8991	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
59	55, 57, 58	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴))
60	59	ensymd 8990	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
61		domentr 8998	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
62	4, 60, 61	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
63		gchdjuidm 10641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
64	21, 8, 63	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
65		pwen 9126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
66	64, 65	syl 18	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
67		djudoml 10156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
68	21, 1, 67	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
69		harndom 9512	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
70		djudoml 10156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴))
71	1, 21, 70	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴))
72		djucomen 10149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
73	1, 21, 72	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
74		domentr 8998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
75	71, 73, 74	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
76		domen2 9096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ (har‘𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))))
77	75, 76	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
78	69, 77	mtoi 202	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
79		brsdom 8959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))))
80	68, 78, 79	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
81		canth2g 9107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82		sdomdom 8965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
83	21, 81, 82	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
84		djudom1 10154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
85	83, 1, 84	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
86		djudom2 10155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
87	62, 2, 86	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
88		domtr 8992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
89	85, 87, 88	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
90		domentr 8998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
91	89, 41, 90	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
92		gchen2 10599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ∧ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
93	21, 8, 80, 91, 92	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
94	93	ensymd 8990	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
95		entr 8991	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴))) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
96	66, 94, 95	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
97		endom 8964	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)))
98		pwdjudom 10186	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (har‘𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
99	96, 97, 98	3syl 19	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
100		sbth 9073	. 2 ⊢ (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
101	62, 99, 100	syl2anc 595	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   × cxp 5650  Oncon0 6350  ‘cfv 6525  ωcom 7850   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930  Fincfn 8931  harchar 9506   ≼^* cwdom 9514   ⊔ cdju 9872  GCHcgch 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seqom 8423  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-oexp 8447  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-har 9507  df-wdom 9515  df-cnf 9619  df-dju 9875  df-card 9913  df-fin4 10259  df-gch 10594

This theorem is referenced by:  gchacg  10653