MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchhar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchhar 9783
Description: A "local" form of gchac 9785. If 𝐴 and 𝒫 𝐴 are GCH-sets, then the Hartogs number of 𝐴 is 𝒫 𝐴 (so 𝒫 𝐴 and a fortiori 𝐴 are well-orderable). The proof is due to Specker. Theorem 2.1 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchhar ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem gchhar
StepHypRef Expression
1 harcl 8702 . . . 4 (har‘𝐴) ∈ On
2 simp3 1161 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ∈ GCH)
3 cdadom3 9292 . . . 4 (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴))
41, 2, 3sylancr 577 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴))
5 domnsym 8322 . . . . . . . . 9 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
653ad2ant1 1156 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
7 isfinite 8793 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
86, 7sylnibr 320 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
9 pwfi 8497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
108, 9sylnib 319 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11 cdadom3 9292 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
122, 1, 11sylancl 576 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
13 ovex 6903 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∈ V
1413canth2 8349 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴))
15 pwcdaen 9289 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
162, 1, 15sylancl 576 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)))
172pwexd 5046 . . . . . . . . . 10 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
18 simp2 1160 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ∈ GCH)
19 harwdom 8731 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ GCH → (har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
20 wdompwdom 8719 . . . . . . . . . . 11 ((har‘𝐴) ≼* 𝒫 (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴))
22 xpdom2g 8292 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝒫 (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
2317, 21, 22syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
24 xpexg 7187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
2518, 18, 24syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
2625pwexd 5046 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
27 pwcdaen 9289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
282, 26, 27syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
2928ensymd 8240 . . . . . . . . . 10 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)))
30 enrefg 8221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
312, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴)
32 gchxpidm 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
3318, 8, 32syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
34 pwen 8369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
36 cdaen 9277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
3731, 35, 36syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
38 gchcdaidm 9772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
392, 10, 38syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
40 entr 8241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
4137, 39, 40syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
42 pwen 8369 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
44 entr 8241 . . . . . . . . . 10 (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
4529, 43, 44syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴)
46 domentr 8248 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 𝒫 (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
4723, 45, 46syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
48 endomtr 8247 . . . . . . . 8 ((𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝒫 𝐴 × 𝒫 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
4916, 47, 48syl2anc 575 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
50 sdomdomtr 8329 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∧ 𝒫 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
5114, 49, 50sylancr 577 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
52 gchen1 9729 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
532, 10, 12, 51, 52syl22anc 858 . . . . 5 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
54 cdacomen 9285 . . . . 5 (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴)
55 entr 8241 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴))
5653, 54, 55sylancl 576 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴))
5756ensymd 8240 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
58 domentr 8248 . . 3 (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
594, 57, 58syl2anc 575 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
60 gchcdaidm 9772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
6118, 8, 60syl2anc 575 . . . . 5 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
62 pwen 8369 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
6361, 62syl 17 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
64 cdadom3 9292 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (har‘𝐴) ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
6518, 1, 64sylancl 576 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
66 harndom 8705 . . . . . . . 8 ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
67 cdadom3 9292 . . . . . . . . . . 11 (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) +𝑐 𝐴))
681, 18, 67sylancr 577 . . . . . . . . . 10 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) +𝑐 𝐴))
69 cdacomen 9285 . . . . . . . . . 10 ((har‘𝐴) +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴))
70 domentr 8248 . . . . . . . . . 10 (((har‘𝐴) ≼ ((har‘𝐴) +𝑐 𝐴) ∧ ((har‘𝐴) +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴))) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
7168, 69, 70sylancl 576 . . . . . . . . 9 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
72 domen2 8339 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ (har‘𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴))))
7371, 72syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
7466, 73mtoi 190 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
75 brsdom 8212 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴))))
7665, 74, 75sylanbrc 574 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
77 canth2g 8350 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
78 sdomdom 8217 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
79 cdadom1 9290 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
8018, 77, 78, 794syl 19 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
81 cdadom2 9291 . . . . . . . . 9 ((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
8259, 81syl 17 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
83 domtr 8242 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
8480, 82, 83syl2anc 575 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
85 domentr 8248 . . . . . . 7 (((𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
8684, 39, 85syl2anc 575 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)
87 gchen2 9730 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ∧ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
8818, 8, 76, 86, 87syl22anc 858 . . . . 5 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) ≈ 𝒫 𝐴)
8988ensymd 8240 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
90 entr 8241 . . . 4 ((𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴))) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
9163, 89, 90syl2anc 575 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
92 endom 8216 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)))
93 pwcdadom 9320 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (har‘𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
9491, 92, 933syl 18 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴))
95 sbth 8316 . 2 (((har‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ (har‘𝐴)) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
9659, 94, 95syl2anc 575 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ GCH) → (har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1100  wcel 2158  Vcvv 3390  𝒫 cpw 4348   class class class wbr 4840   × cxp 5306  Oncon0 5933  cfv 6098  (class class class)co 6871  ωcom 7292  cen 8186  cdom 8187  csdm 8188  Fincfn 8189  harchar 8697  * cwdom 8698   +𝑐 ccda 9271  GCHcgch 9724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-seqom 7776  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-omul 7798  df-oexp 7799  df-er 7976  df-map 8091  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-oi 8651  df-har 8699  df-wdom 8700  df-cnf 8803  df-card 9045  df-cda 9272  df-fin4 9391  df-gch 9725
This theorem is referenced by:  gchacg  9784
  Copyright terms: Public domain W3C validator