MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  engch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem engch 10666
Description: The property of being a GCH-set is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
engch (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Proof of Theorem engch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enfi 9225 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2 sdomen1 9160 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
3 pwen 9189 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
4 sdomen2 9161 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
62, 5anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
76notbid 318 . . . 4 (𝐴𝐵 → (¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
87albidv 1918 . . 3 (𝐴𝐵 → (∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
91, 8orbi12d 918 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
10 relen 8989 . . . 4 Rel ≈
1110brrelex1i 5745 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
12 elgch 10660 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
1410brrelex2i 5746 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
15 elgch 10660 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
1614, 15syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
179, 13, 163bitr4d 311 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wal 1535  wcel 2106  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cen 8981  csdm 8983  Fincfn 8984  GCHcgch 10658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-gch 10659
This theorem is referenced by:  gch2  10713
  Copyright terms: Public domain W3C validator