MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  engch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem engch 10384
Description: The property of being a GCH-set is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
engch (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Proof of Theorem engch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enfi 8973 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2 sdomen1 8908 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
3 pwen 8937 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
4 sdomen2 8909 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
62, 5anbi12d 631 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
76notbid 318 . . . 4 (𝐴𝐵 → (¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
87albidv 1923 . . 3 (𝐴𝐵 → (∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
91, 8orbi12d 916 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
10 relen 8738 . . . 4 Rel ≈
1110brrelex1i 5643 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
12 elgch 10378 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
1410brrelex2i 5644 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
15 elgch 10378 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
1614, 15syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
179, 13, 163bitr4d 311 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  wal 1537  wcel 2106  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  cen 8730  csdm 8732  Fincfn 8733  GCHcgch 10376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-gch 10377
This theorem is referenced by:  gch2  10431
  Copyright terms: Public domain W3C validator