MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  engch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem engch 10668
Description: The property of being a GCH-set is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
engch (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Proof of Theorem engch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enfi 9227 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2 sdomen1 9161 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
3 pwen 9190 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
4 sdomen2 9162 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
62, 5anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
76notbid 318 . . . 4 (𝐴𝐵 → (¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
87albidv 1920 . . 3 (𝐴𝐵 → (∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
91, 8orbi12d 919 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
10 relen 8990 . . . 4 Rel ≈
1110brrelex1i 5741 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
12 elgch 10662 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
1410brrelex2i 5742 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
15 elgch 10662 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
1614, 15syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
179, 13, 163bitr4d 311 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wal 1538  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cen 8982  csdm 8984  Fincfn 8985  GCHcgch 10660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-gch 10661
This theorem is referenced by:  gch2  10715
  Copyright terms: Public domain W3C validator