Theorem engch 10542

Description: The property of being a GCH-set is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
engch	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Proof of Theorem engch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 9111	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2		sdomen1 9049	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ 𝐵 ≺ 𝑥))
3		pwen 9078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
4		sdomen2 9050	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
6	2, 5	anbi12d 638	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
7	6	notbid 319	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
8	7	albidv 1927	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
9	1, 8	orbi12d 924	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
10		relen 8888	. . . 4 ⊢ Rel ≈
11	10	brrelex1i 5674	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12		elgch 10536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
14	10	brrelex2i 5675	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15		elgch 10536	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
17	9, 13, 16	3bitr4d 312	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853  ∀wal 1545   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  𝒫 cpw 4529   class class class wbr 5072   ≈ cen 8880   ≺ csdm 8882  Fincfn 8883  GCHcgch 10534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-gch 10535

This theorem is referenced by:  gch2  10589