Theorem engch 10706

Description: The property of being a GCH-set is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
engch	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

Proof of Theorem engch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 9195	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2		sdomen1 9133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ 𝐵 ≺ 𝑥))
3		pwen 9162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
4		sdomen2 9134	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))
6	2, 5	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
7	6	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
8	7	albidv 1953	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵)))
9	1, 8	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
10		relen 8971	. . . 4 ⊢ Rel ≈
11	10	brrelex1i 5707	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12		elgch 10700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
14	10	brrelex2i 5708	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15		elgch 10700	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐵 ∈ GCH ↔ (𝐵 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐵 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐵))))
17	9, 13, 16	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ GCH ↔ 𝐵 ∈ GCH))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ≈ cen 8963   ≺ csdm 8965  Fincfn 8966  GCHcgch 10698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-gch 10699

This theorem is used by:  gch2  10753