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Theorem gchpwdom 10593

Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
gchpwdom	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

**Proof of Theorem gchpwdom**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2	1	pwexd 5321	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4		djudoml 10107	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domen2 9058	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
8		djucomen 10100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
9	3, 2, 8	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
10		entr 8953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13		ensym 8950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14		endom 8926	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	12, 15	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17		domsdomtr 9050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18	17	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19		sdomnsym 9040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21		isfinite 9573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
22	20, 21	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23		gchdjuidm 10591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
24	3, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
25		pwen 9088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26		domen1 9057	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28		pwdjudom 10137	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29		canth2g 9069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30		sdomdomtr 9048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
31	30	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
32	3, 29, 31	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33		gchi 10547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	3expia 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
35	34	3ad2antl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
36		isfinite 9573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37		simpl1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38		domnsym 9041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
40	39	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
41	36, 40	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
42	32, 35, 41	3syld 60	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
43	28, 42	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
44	27, 43	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
45	16, 44	syld 47	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
46		djudoml 10107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
47	3, 2, 46	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48		domentr 8960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
49	47, 9, 48	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
50		sdomdom 8927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
52		pwdom 9067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54		djudom1 10105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
55	53, 3, 54	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
56		sdomdom 8927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
57	3, 29, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
58	3	pwexd 5321	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59		djudom2 10106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
60	57, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61		domtr 8954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63		pwdju1 10113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
64	3, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
65		gchdju1 10579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
66	3, 22, 65	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
67		pwen 9088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
69		entr 8953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
70	64, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71		domentr 8960	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
72	62, 70, 71	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73		gchor 10550	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
74	3, 22, 49, 72, 73	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
75	7, 45, 74	mpjaod 861	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
77		reldom 8899	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
78	77	brrelex1i 5687	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79		pwexb 7720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80		canth2g 9069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
81	79, 80	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82	78, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83		sdomdomtr 9048	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
84	82, 83	mpancom 689	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)
85	76, 84	impbid1 225	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 ∈ wcel 2114 Vcvv 3429 𝒫 cpw 4541 class class class wbr 5085 ωcom 7817 1_oc1o 8398 ≈ cen 8890 ≼ cdom 8891 ≺ csdm 8892 Fincfn 8893 ⊔ cdju 9822 GCHcgch 10543

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-supp 8111 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-seqom 8387 df-1o 8405 df-2o 8406 df-oadd 8409 df-omul 8410 df-oexp 8411 df-er 8643 df-map 8775 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fsupp 9275 df-oi 9425 df-har 9472 df-wdom 9480 df-cnf 9583 df-dju 9825 df-card 9863 df-fin4 10209 df-gch 10544

This theorem is referenced by: gchaleph2 10595 gchina 10622

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