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Theorem gchpwdom 10664

Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
gchpwdom	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

**Proof of Theorem gchpwdom**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2	1	pwexd 5377	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4		djudoml 10178	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domen2 9119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)))
7	5, 6	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
8		djucomen 10171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
9	3, 2, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
10		entr 9001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
11	10	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13		ensym 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14		endom 8974	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	12, 15	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17		domsdomtr 9111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18	17	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19		sdomnsym 9097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21		isfinite 9646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
22	20, 21	sylnibr 328	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23		gchdjuidm 10662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
24	3, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
25		pwen 9149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26		domen1 9118	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28		pwdjudom 10210	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29		canth2g 9130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30		sdomdomtr 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
31	30	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
32	3, 29, 31	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33		gchi 10618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
35	34	3ad2antl2 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
36		isfinite 9646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37		simpl1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38		domnsym 9098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
40	39	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
41	36, 40	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
42	32, 35, 41	3syld 60	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
43	28, 42	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
44	27, 43	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
45	16, 44	syld 47	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
46		djudoml 10178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
47	3, 2, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48		domentr 9008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
49	47, 9, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
50		sdomdom 8975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
51	50	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
52		pwdom 9128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54		djudom1 10176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
55	53, 3, 54	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
56		sdomdom 8975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
57	3, 29, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
58	3	pwexd 5377	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59		djudom2 10177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61		domtr 9002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63		pwdju1 10184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
64	3, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
65		gchdju1 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
66	3, 22, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
67		pwen 9149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
69		entr 9001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
70	64, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71		domentr 9008	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
72	62, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73		gchor 10621	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
74	3, 22, 49, 72, 73	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
75	7, 45, 74	mpjaod 858	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
76	75	ex 413	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
77		reldom 8944	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
78	77	brrelex1i 5732	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79		pwexb 7752	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80		canth2g 9130	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
81	79, 80	sylbir 234	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82	78, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83		sdomdomtr 9109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
84	82, 83	mpancom 686	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)
85	76, 84	impbid1 224	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 ∈ wcel 2106 Vcvv 3474 𝒫 cpw 4602 class class class wbr 5148 ωcom 7854 1_oc1o 8458 ≈ cen 8935 ≼ cdom 8936 ≺ csdm 8937 Fincfn 8938 ⊔ cdju 9892 GCHcgch 10614

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8146 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-seqom 8447 df-1o 8465 df-2o 8466 df-oadd 8469 df-omul 8470 df-oexp 8471 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-oi 9504 df-har 9551 df-wdom 9559 df-cnf 9656 df-dju 9895 df-card 9933 df-fin4 10281 df-gch 10615

This theorem is referenced by: gchaleph2 10666 gchina 10693

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