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Theorem gchpwdom 10684

Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
gchpwdom	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

**Proof of Theorem gchpwdom**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2	1	pwexd 5349	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4		djudoml 10199	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domen2 9134	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
8		djucomen 10192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
9	3, 2, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
10		entr 9020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13		ensym 9017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14		endom 8993	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	12, 15	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17		domsdomtr 9126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18	17	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19		sdomnsym 9112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21		isfinite 9666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
22	20, 21	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23		gchdjuidm 10682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
24	3, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
25		pwen 9164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26		domen1 9133	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28		pwdjudom 10229	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29		canth2g 9145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30		sdomdomtr 9124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
31	30	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
32	3, 29, 31	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33		gchi 10638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
35	34	3ad2antl2 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
36		isfinite 9666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37		simpl1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38		domnsym 9113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
40	39	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
41	36, 40	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
42	32, 35, 41	3syld 60	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
43	28, 42	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
44	27, 43	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
45	16, 44	syld 47	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
46		djudoml 10199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
47	3, 2, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48		domentr 9027	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
49	47, 9, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
50		sdomdom 8994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
52		pwdom 9143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54		djudom1 10197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
55	53, 3, 54	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
56		sdomdom 8994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
57	3, 29, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
58	3	pwexd 5349	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59		djudom2 10198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61		domtr 9021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63		pwdju1 10205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
64	3, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
65		gchdju1 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
66	3, 22, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
67		pwen 9164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
69		entr 9020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
70	64, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71		domentr 9027	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
72	62, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73		gchor 10641	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
74	3, 22, 49, 72, 73	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
75	7, 45, 74	mpjaod 860	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
77		reldom 8965	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
78	77	brrelex1i 5710	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79		pwexb 7760	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80		canth2g 9145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
81	79, 80	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82	78, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83		sdomdomtr 9124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
84	82, 83	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)
85	76, 84	impbid1 225	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 ∈ wcel 2108 Vcvv 3459 𝒫 cpw 4575 class class class wbr 5119 ωcom 7861 1_oc1o 8473 ≈ cen 8956 ≼ cdom 8957 ≺ csdm 8958 Fincfn 8959 ⊔ cdju 9912 GCHcgch 10634

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-tp 4606 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-se 5607 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8160 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-seqom 8462 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-omul 8485 df-oexp 8486 df-er 8719 df-map 8842 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-fin 8963 df-fsupp 9374 df-oi 9524 df-har 9571 df-wdom 9579 df-cnf 9676 df-dju 9915 df-card 9953 df-fin4 10301 df-gch 10635

This theorem is referenced by: gchaleph2 10686 gchina 10713

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