MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchpwdom 10614
Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
21pwexd 5338 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 simpl3 1194 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4 djudoml 10128 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
6 domen2 9070 . . . . 5 (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴𝐵)))
75, 6syl5ibrcom 247 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵))
8 djucomen 10121 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵))
93, 2, 8syl2anc 585 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵))
10 entr 8952 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵) ∧ (𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
1110ex 414 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13 ensym 8949 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14 endom 8925 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
1612, 15syl6 35 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17 domsdomtr 9062 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18173ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19 sdomnsym 9048 . . . . . . . . . 10 (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21 isfinite 9596 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
2220, 21sylnibr 329 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23 gchdjuidm 10612 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐵) ≈ 𝐵)
243, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐵) ≈ 𝐵)
25 pwen 9100 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26 domen1 9069 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
2724, 25, 263syl 18 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28 pwdjudom 10160 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29 canth2g 9081 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30 sdomdomtr 9060 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
3130ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
323, 29, 313syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33 gchi 10568 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34333expia 1122 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
35343ad2antl2 1187 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
36 isfinite 9596 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38 domnsym 9049 . . . . . . . . . . 11 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
4039pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴𝐵))
4136, 40biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴𝐵))
4232, 35, 413syld 60 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴𝐵))
4328, 42syl5 34 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4427, 43sylbird 260 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4516, 44syld 47 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
46 djudoml 10128 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
473, 2, 46syl2anc 585 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48 domentr 8959 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
4947, 9, 48syl2anc 585 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
50 sdomdom 8926 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
52 pwdom 9079 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54 djudom1 10126 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵𝐵))
5553, 3, 54syl2anc 585 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵𝐵))
56 sdomdom 8926 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
573, 29, 563syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
583pwexd 5338 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59 djudom2 10127 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
6057, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61 domtr 8953 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵𝐵) ∧ (𝒫 𝐵𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
6255, 60, 61syl2anc 585 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63 pwdju1 10134 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o))
643, 63syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o))
65 gchdju1 10600 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝐵)
663, 22, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝐵)
67 pwen 9100 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐵)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐵)
69 entr 8952 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
7064, 68, 69syl2anc 585 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71 domentr 8959 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
7262, 70, 71syl2anc 585 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73 gchor 10571 . . . . 5 (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴𝐵) ∧ (𝒫 𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) ∨ (𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
743, 22, 49, 72, 73syl22anc 838 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) ∨ (𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
757, 45, 74mpjaod 859 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
7675ex 414 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
77 reldom 8895 . . . . 5 Rel ≼
7877brrelex1i 5692 . . . 4 (𝒫 𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79 pwexb 7704 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80 canth2g 9081 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8179, 80sylbir 234 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8278, 81syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴𝐵𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83 sdomdomtr 9060 . . 3 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8482, 83mpancom 687 . 2 (𝒫 𝐴𝐵𝐴𝐵)
8576, 84impbid1 224 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5109  ωcom 7806  1oc1o 8409  cen 8886  cdom 8887  csdm 8888  Fincfn 8889  cdju 9842  GCHcgch 10564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-har 9501  df-wdom 9509  df-cnf 9606  df-dju 9845  df-card 9883  df-fin4 10231  df-gch 10565
This theorem is referenced by:  gchaleph2  10616  gchina  10643
  Copyright terms: Public domain W3C validator