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Theorem gchpwdom 10558

Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
gchpwdom	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

**Proof of Theorem gchpwdom**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2	1	pwexd 5317	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4		djudoml 10073	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domen2 9033	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
8		djucomen 10066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
9	3, 2, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
10		entr 8928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13		ensym 8925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14		endom 8901	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	12, 15	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17		domsdomtr 9025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18	17	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19		sdomnsym 9015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21		isfinite 9542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
22	20, 21	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23		gchdjuidm 10556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
24	3, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
25		pwen 9063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26		domen1 9032	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28		pwdjudom 10103	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29		canth2g 9044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30		sdomdomtr 9023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
31	30	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
32	3, 29, 31	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33		gchi 10512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
35	34	3ad2antl2 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
36		isfinite 9542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37		simpl1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38		domnsym 9016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
40	39	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
41	36, 40	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
42	32, 35, 41	3syld 60	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
43	28, 42	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
44	27, 43	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
45	16, 44	syld 47	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
46		djudoml 10073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
47	3, 2, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48		domentr 8935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
49	47, 9, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
50		sdomdom 8902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
52		pwdom 9042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54		djudom1 10071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
55	53, 3, 54	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
56		sdomdom 8902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
57	3, 29, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
58	3	pwexd 5317	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59		djudom2 10072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61		domtr 8929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63		pwdju1 10079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
64	3, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
65		gchdju1 10544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
66	3, 22, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
67		pwen 9063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
69		entr 8928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
70	64, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71		domentr 8935	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
72	62, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73		gchor 10515	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
74	3, 22, 49, 72, 73	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
75	7, 45, 74	mpjaod 860	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
77		reldom 8875	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
78	77	brrelex1i 5672	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79		pwexb 7699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80		canth2g 9044	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
81	79, 80	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82	78, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83		sdomdomtr 9023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
84	82, 83	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)
85	76, 84	impbid1 225	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 ∈ wcel 2111 Vcvv 3436 𝒫 cpw 4550 class class class wbr 5091 ωcom 7796 1_oc1o 8378 ≈ cen 8866 ≼ cdom 8867 ≺ csdm 8868 Fincfn 8869 ⊔ cdju 9788 GCHcgch 10508

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5217 ax-sep 5234 ax-nul 5244 ax-pow 5303 ax-pr 5370 ax-un 7668 ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4476 df-pw 4552 df-sn 4577 df-pr 4579 df-tp 4581 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4898 df-iun 4943 df-br 5092 df-opab 5154 df-mpt 5173 df-tr 5199 df-id 5511 df-eprel 5516 df-po 5524 df-so 5525 df-fr 5569 df-se 5570 df-we 5571 df-xp 5622 df-rel 5623 df-cnv 5624 df-co 5625 df-dm 5626 df-rn 5627 df-res 5628 df-ima 5629 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-isom 6490 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8091 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-seqom 8367 df-1o 8385 df-2o 8386 df-oadd 8389 df-omul 8390 df-oexp 8391 df-er 8622 df-map 8752 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-fsupp 9246 df-oi 9396 df-har 9443 df-wdom 9451 df-cnf 9552 df-dju 9791 df-card 9829 df-fin4 10175 df-gch 10509

This theorem is referenced by: gchaleph2 10560 gchina 10587

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