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Theorem gchpwdom 10357

Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
gchpwdom	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

**Proof of Theorem gchpwdom**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2	1	pwexd 5297	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4		djudoml 9871	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domen2 8856	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)))
7	5, 6	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
8		djucomen 9864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
9	3, 2, 8	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
10		entr 8747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13		ensym 8744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14		endom 8722	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	12, 15	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17		domsdomtr 8848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18	17	3ad2antl1 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19		sdomnsym 8838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21		isfinite 9340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
22	20, 21	sylnibr 328	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23		gchdjuidm 10355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
24	3, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
25		pwen 8886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26		domen1 8855	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28		pwdjudom 9903	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29		canth2g 8867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30		sdomdomtr 8846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
31	30	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
32	3, 29, 31	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33		gchi 10311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34	33	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
35	34	3ad2antl2 1184	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
36		isfinite 9340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37		simpl1 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38		domnsym 8839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
40	39	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
41	36, 40	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
42	32, 35, 41	3syld 60	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
43	28, 42	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
44	27, 43	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
45	16, 44	syld 47	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
46		djudoml 9871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
47	3, 2, 46	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48		domentr 8754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
49	47, 9, 48	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
50		sdomdom 8723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
52		pwdom 8865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54		djudom1 9869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
55	53, 3, 54	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵))
56		sdomdom 8723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
57	3, 29, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
58	3	pwexd 5297	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59		djudom2 9870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
60	57, 58, 59	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61		domtr 8748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
62	55, 60, 61	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63		pwdju1 9877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
64	3, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o))
65		gchdju1 10343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
66	3, 22, 65	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵)
67		pwen 8886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵)
69		entr 8747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1_o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
70	64, 68, 69	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71		domentr 8754	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
72	62, 70, 71	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73		gchor 10314	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
74	3, 22, 49, 72, 73	syl22anc 835	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
75	7, 45, 74	mpjaod 856	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
77		reldom 8697	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
78	77	brrelex1i 5634	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79		pwexb 7594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80		canth2g 8867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
81	79, 80	sylbir 234	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
82	78, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83		sdomdomtr 8846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
84	82, 83	mpancom 684	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)
85	76, 84	impbid1 224	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 843 ∧ w3a 1085 ∈ wcel 2108 Vcvv 3422 𝒫 cpw 4530 class class class wbr 5070 ωcom 7687 1_oc1o 8260 ≈ cen 8688 ≼ cdom 8689 ≺ csdm 8690 Fincfn 8691 ⊔ cdju 9587 GCHcgch 10307

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-se 5536 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-isom 6427 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-supp 7949 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-seqom 8249 df-1o 8267 df-2o 8268 df-oadd 8271 df-omul 8272 df-oexp 8273 df-er 8456 df-map 8575 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-fsupp 9059 df-oi 9199 df-har 9246 df-wdom 9254 df-cnf 9350 df-dju 9590 df-card 9628 df-fin4 9974 df-gch 10308

This theorem is referenced by: gchaleph2 10359 gchina 10386

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