MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchpwdom 9938
Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 1185 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
21pwexd 5171 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 simpl3 1186 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
4 djudoml 9456 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
6 domen2 8507 . . . . 5 (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴𝐵)))
75, 6syl5ibrcom 248 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵))
8 djucomen 9449 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵))
93, 2, 8syl2anc 584 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵))
10 entr 8409 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵) ∧ (𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
1110ex 413 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵))
13 ensym 8406 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
14 endom 8384 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
1612, 15syl6 35 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
17 domsdomtr 8499 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
18173ad2antl1 1178 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
19 sdomnsym 8489 . . . . . . . . . 10 (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
21 isfinite 8961 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
2220, 21sylnibr 330 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
23 gchdjuidm 9936 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐵) ≈ 𝐵)
243, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐵) ≈ 𝐵)
25 pwen 8537 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
26 domen1 8506 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
2724, 25, 263syl 18 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴)))
28 pwdjudom 9484 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
29 canth2g 8518 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
30 sdomdomtr 8497 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
3130ex 413 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
323, 29, 313syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
33 gchi 9892 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
34333expia 1114 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
35343ad2antl2 1179 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
36 isfinite 8961 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
37 simpl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ 𝐴)
38 domnsym 8490 . . . . . . . . . . 11 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
4039pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴𝐵))
4136, 40syl5bi 243 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴𝐵))
4232, 35, 413syld 60 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴𝐵))
4328, 42syl5 34 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4427, 43sylbird 261 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4516, 44syld 47 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
46 djudoml 9456 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
473, 2, 46syl2anc 584 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴))
48 domentr 8416 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
4947, 9, 48syl2anc 584 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
50 sdomdom 8385 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
5150adantl 482 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
52 pwdom 8516 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
54 djudom1 9454 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐵 ∈ GCH) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵𝐵))
5553, 3, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵𝐵))
56 sdomdom 8385 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
573, 29, 563syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
583pwexd 5171 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
59 djudom2 9455 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
61 domtr 8410 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵𝐵) ∧ (𝒫 𝐵𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
6255, 60, 61syl2anc 584 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵))
63 pwdju1 9462 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o))
643, 63syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o))
65 gchdju1 9924 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝐵)
663, 22, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝐵)
67 pwen 8537 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐵)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐵)
69 entr 8409 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐵 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
7064, 68, 69syl2anc 584 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
71 domentr 8416 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 ⊔ 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
7262, 70, 71syl2anc 584 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
73 gchor 9895 . . . . 5 (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴𝐵) ∧ (𝒫 𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) ∨ (𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
743, 22, 49, 72, 73syl22anc 835 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴𝐵) ∨ (𝒫 𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
757, 45, 74mpjaod 855 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
7675ex 413 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
77 reldom 8363 . . . . 5 Rel ≼
7877brrelex1i 5494 . . . 4 (𝒫 𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
79 pwexb 7345 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
80 canth2g 8518 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8179, 80sylbir 236 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8278, 81syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴𝐵𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
83 sdomdomtr 8497 . . 3 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8482, 83mpancom 684 . 2 (𝒫 𝐴𝐵𝐴𝐵)
8576, 84impbid1 226 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080  wcel 2081  Vcvv 3437  𝒫 cpw 4453   class class class wbr 4962  ωcom 7436  1oc1o 7946  cen 8354  cdom 8355  csdm 8356  Fincfn 8357  cdju 9173  GCHcgch 9888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-seqom 7935  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-oexp 7959  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-har 8868  df-wdom 8869  df-cnf 8971  df-dju 9176  df-card 9214  df-fin4 9555  df-gch 9889
This theorem is referenced by:  gchaleph2  9940  gchina  9967
  Copyright terms: Public domain W3C validator