Theorem gchdomtri 10550

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10602. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8924	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 8896	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5681	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 9916	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	imbitrrid 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 869	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		djudoml 10105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
16		djulepw 10113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 10548	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 844	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		djudoml 10105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
23		djucomen 10098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24	5, 10, 23	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25		domentr 8957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	22, 24, 25	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27		domen2 9055	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
28	26, 27	syl5ibrcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
29	28	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	29	olcd 880	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
31		simpl1 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32		canth2g 9066	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33		sdomdom 8924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35		simpl2 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		enen2 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
40	37, 39	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
41		endom 8923	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
42		pwdjudom 10135	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
44		domtr 8951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	34, 43, 44	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
46	45	orcd 879	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	30, 46	jaodan 965	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	20, 47	syldan 597	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
49	9, 48	pm2.61dan 818	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4536   class class class wbr 5079   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888   ≺ csdm 8889  Fincfn 8890   ⊔ cdju 9820  GCHcgch 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wdom 9477  df-dju 9823  df-card 9861  df-gch 10542

This theorem is referenced by:  gchaclem  10599