Theorem gchdomtri 10543

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10595. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 8892	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5680	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 9909	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 864	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		djudoml 10098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
16		djulepw 10106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 10541	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		djudoml 10098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
23		djucomen 10091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24	5, 10, 23	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25		domentr 8953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27		domen2 9051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
28	26, 27	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	29	olcd 875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
31		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32		canth2g 9062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33		sdomdom 8920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		enen2 9049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
41		endom 8919	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
42		pwdjudom 10128	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
44		domtr 8947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	34, 43, 44	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
46	45	orcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	30, 46	jaodan 960	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	20, 47	syldan 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
49	9, 48	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884   ≺ csdm 8885  Fincfn 8886   ⊔ cdju 9813  GCHcgch 10534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-wdom 9473  df-dju 9816  df-card 9854  df-gch 10535

This theorem is referenced by:  gchaclem  10592