Theorem gchdomtri 10698

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10750. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 9040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 9009	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5756	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 10063	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 862	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		djudoml 10254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
16		djulepw 10262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 10696	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		djudoml 10254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
23		djucomen 10247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24	5, 10, 23	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25		domentr 9073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	22, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27		domen2 9186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
28	26, 27	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	29	olcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
31		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32		canth2g 9197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33		sdomdom 9040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		enen2 9184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
41		endom 9039	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
42		pwdjudom 10284	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
44		domtr 9067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	34, 43, 44	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
46	45	orcd 872	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	30, 46	jaodan 958	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	20, 47	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
49	9, 48	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003   ⊔ cdju 9967  GCHcgch 10689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-wdom 9634  df-dju 9970  df-card 10008  df-gch 10690

This theorem is referenced by:  gchaclem  10747