Theorem gchdomtri 10584

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10636. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8957	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 8929	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5701	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 9949	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	imbitrrid 248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 874	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		djudoml 10138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
16		djulepw 10146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 10582	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 849	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		djudoml 10138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
23		djucomen 10131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24	5, 10, 23	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25		domentr 8990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	22, 24, 25	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27		domen2 9088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
28	26, 27	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
29	28	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	29	olcd 885	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
31		simpl1 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32		canth2g 9099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33		sdomdom 8957	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35		simpl2 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		enen2 9086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	38	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
40	37, 39	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
41		endom 8956	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
42		pwdjudom 10168	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
44		domtr 8984	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	34, 43, 44	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
46	45	orcd 884	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	30, 46	jaodan 970	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	20, 47	syldan 600	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
49	9, 48	pm2.61dan 822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099   ≈ cen 8920   ≼ cdom 8921   ≺ csdm 8922  Fincfn 8923   ⊔ cdju 9853  GCHcgch 10575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-wdom 9510  df-dju 9856  df-card 9894  df-gch 10576

This theorem is referenced by:  gchaclem  10633