Theorem gchdomtri 9739

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 9791. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 152	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 8201	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5363	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 9106	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 576	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl5ibr 238	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 890	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		cdadom3 9298	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
15	14	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
16		cdalepw 9306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 9737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 868	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		cdadom3 9298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴))
23		cdacomen 9291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)
24		domentr 8254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
25	22, 23, 24	sylancl 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
26		domen2 8345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
27	25, 26	syl5ibrcom 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
28	27	imp 396	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
29	28	olcd 901	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
30		simpl1 1243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
31		canth2g 8356	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
32		sdomdom 8223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34		simpl2 1245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
35		pwen 8375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37		enen2 8343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
38	37	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	36, 38	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
40		endom 8222	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
41		pwcdadom 9326	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43		domtr 8248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
44	33, 42, 43	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	44	orcd 900	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
46	29, 45	jaodan 981	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	20, 46	syldan 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	9, 47	pm2.61dan 848	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∨ wo 874   ∧ w3a 1108   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194  Fincfn 8195   +_𝑐 ccda 9277  GCHcgch 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-wdom 8706  df-card 9051  df-cda 9278  df-gch 9731

This theorem is referenced by:  gchaclem  9788