MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchdomtri 10667
Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10719. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdomtri ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri
StepHypRef Expression
1 sdomdom 9019 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
21con3i 154 . . . 4 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
3 reldom 8990 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelex1i 5745 . . . . . 6 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
543ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6 fidomtri2 10032 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
75, 6sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
82, 7imbitrrid 246 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
98orrd 863 . 2 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
10 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
1110adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13 djudoml 10223 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
1410, 5, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
1514adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
16 djulepw 10231 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17163adant1 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
1817adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19 gchor 10665 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
2011, 12, 15, 18, 19syl22anc 839 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21 djudoml 10223 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵𝐴))
225, 10, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵𝐴))
23 djucomen 10216 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵𝐴) ≈ (𝐴𝐵))
245, 10, 23syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵𝐴) ≈ (𝐴𝐵))
25 domentr 9052 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) ≈ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
27 domen2 9159 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≼ (𝐴𝐵)))
2826, 27syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) → 𝐵𝐴))
2928imp 406 . . . . 5 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝐴)
3029olcd 874 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
31 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32 canth2g 9170 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33 sdomdom 9019 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)
36 pwen 9189 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38 enen2 9157 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3938adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
4037, 39mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵))
41 endom 9018 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
42 pwdjudom 10253 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵)
44 domtr 9046 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4534, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴𝐵)
4645orcd 873 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4730, 46jaodan 959 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4820, 47syldan 591 . 2 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
499, 48pm2.61dan 813 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wcel 2106  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984  cdju 9936  GCHcgch 10658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-wdom 9603  df-dju 9939  df-card 9977  df-gch 10659
This theorem is referenced by:  gchaclem  10716
  Copyright terms: Public domain W3C validator