MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchdomtri 10039
Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10091. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdomtri ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8525 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
21con3i 157 . . . 4 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
3 reldom 8503 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelex1i 5601 . . . . . 6 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
543ad2ant3 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6 fidomtri2 9411 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
75, 6sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
82, 7syl5ibr 247 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
98orrd 857 . 2 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
10 simp1 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
1110adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13 djudoml 9598 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
1410, 5, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
1514adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
16 djulepw 9606 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17163adant1 1122 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19 gchor 10037 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
2011, 12, 15, 18, 19syl22anc 834 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21 djudoml 9598 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵𝐴))
225, 10, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵𝐴))
23 djucomen 9591 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵𝐴) ≈ (𝐴𝐵))
245, 10, 23syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵𝐴) ≈ (𝐴𝐵))
25 domentr 8556 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) ≈ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
27 domen2 8648 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≼ (𝐴𝐵)))
2826, 27syl5ibrcom 248 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) → 𝐵𝐴))
2928imp 407 . . . . 5 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐵)) → 𝐵𝐴)
3029olcd 870 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
31 simpl1 1183 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32 canth2g 8659 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33 sdomdom 8525 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35 simpl2 1184 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)
36 pwen 8678 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38 enen2 8646 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
4037, 39mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵))
41 endom 8524 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
42 pwdjudom 9626 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵)
44 domtr 8550 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4534, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴𝐵)
4645orcd 869 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4730, 46jaodan 951 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4820, 47syldan 591 . 2 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
499, 48pm2.61dan 809 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079  wcel 2105  Vcvv 3492  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496  Fincfn 8497  cdju 9315  GCHcgch 10030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-wdom 9011  df-dju 9318  df-card 9356  df-gch 10031
This theorem is referenced by:  gchaclem  10088
  Copyright terms: Public domain W3C validator