Theorem gchdomtri 10615

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 10667. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 155	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 8950	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5719	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 9981	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 876	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		djudoml 10169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
16		djulepw 10177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 10613	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		djudoml 10169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴))
23		djucomen 10162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24	5, 10, 23	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25		domentr 9011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	22, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27		domen2 9109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
28	26, 27	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
29	28	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	29	olcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
31		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
32		canth2g 9120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
33		sdomdom 8978	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34	31, 32, 33	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
35		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
36		pwen 9139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
38		enen2 9107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	38	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
41		endom 8977	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
42		pwdjudom 10199	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43	40, 41, 42	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
44		domtr 9005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	34, 43, 44	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
46	45	orcd 886	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	30, 46	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∨ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	20, 47	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
49	9, 48	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943  Fincfn 8944   ⊔ cdju 9885  GCHcgch 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-wdom 9528  df-dju 9888  df-card 9926  df-gch 10607

This theorem is referenced by:  gchaclem  10664