Theorem hlomcmat 39410

Description: A Hilbert lattice is orthomodular, complete, and atomic. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hlomcmat	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))

Proof of Theorem hlomcmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hloml 39402	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
2		hlclat 39403	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3		hlatl 39405	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1, 2, 3	3jca 1128	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  CLatccla 18404  OMLcoml 39220  AtLatcal 39309  HLchlt 39395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-cvlat 39367  df-hlat 39396

This theorem is referenced by:  hlatmstcOLDN  39442  hlatle  39443  hlrelat1  39445  pmaple  39806  pol1N  39955  polpmapN  39957  pmaplubN  39969