Theorem hlomcmat 39864

Description: A Hilbert lattice is orthomodular, complete, and atomic. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hlomcmat	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))

Proof of Theorem hlomcmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hloml 39856	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
2		hlclat 39857	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3		hlatl 39859	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1, 2, 3	3jca 1134	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119  CLatccla 18462  OMLcoml 39674  AtLatcal 39763  HLchlt 39849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-cvlat 39821  df-hlat 39850

This theorem is referenced by:  hlatmstcOLDN  39896  hlatle  39897  hlrelat1  39899  pmaple  40260  pol1N  40409  polpmapN  40411  pmaplubN  40423