Theorem hlomcmat 40515

Description: A Hilbert lattice is orthomodular, complete, and atomic. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hlomcmat	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))

Proof of Theorem hlomcmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hloml 40507	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
2		hlclat 40508	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3		hlatl 40510	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1, 2, 3	3jca 1146	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  CLatccla 18677  OMLcoml 40325  AtLatcal 40414  HLchlt 40500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-cvlat 40472  df-hlat 40501

This theorem is used by:  hlatmstcOLDN  40547  hlatle  40548  hlrelat1  40550  pmaple  40911  pol1N  41060  polpmapN  41062  pmaplubN  41074