Theorem hlpos 39736

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39733	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18373	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Posetcpo 18242  Latclat 18366  HLchlt 39720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-lat 18367  df-atl 39668  df-cvlat 39692  df-hlat 39721

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39759  hl0lt1N  39760  cvrval3  39783  cvrexchlem  39789  cvratlem  39791  cvrat  39792  atlelt  39808  2atlt  39809  athgt  39826  1cvratex  39843  ps-2  39848  llnnleat  39883  llncmp  39892  2llnmat  39894  lplnnle2at  39911  llncvrlpln  39928  lplncmp  39932  lvolnle3at  39952  lplncvrlvol  39986  lvolcmp  39987  pmaple  40131  2lnat  40154  2atm2atN  40155  lhp2lt  40371  lhp0lt  40373  dia2dimlem2  41435  dia2dimlem3  41436  dih1  41656