Theorem hlpos 39826

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39823	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18395	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Posetcpo 18264  Latclat 18388  HLchlt 39810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7363  df-lat 18389  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39849  hl0lt1N  39850  cvrval3  39873  cvrexchlem  39879  cvratlem  39881  cvrat  39882  atlelt  39898  2atlt  39899  athgt  39916  1cvratex  39933  ps-2  39938  llnnleat  39973  llncmp  39982  2llnmat  39984  lplnnle2at  40001  llncvrlpln  40018  lplncmp  40022  lvolnle3at  40042  lplncvrlvol  40076  lvolcmp  40077  pmaple  40221  2lnat  40244  2atm2atN  40245  lhp2lt  40461  lhp0lt  40463  dia2dimlem2  41525  dia2dimlem3  41526  dih1  41746