Theorem hlpos 36501

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 36498	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 17659	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Posetcpo 17549  Latclat 17654  HLchlt 36485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-xp 5560  df-dm 5564  df-iota 6313  df-fv 6362  df-ov 7158  df-lat 17655  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486

This theorem is referenced by:  hlhgt2  36524  hl0lt1N  36525  cvrval3  36548  cvrexchlem  36554  cvratlem  36556  cvrat  36557  atlelt  36573  2atlt  36574  athgt  36591  1cvratex  36608  ps-2  36613  llnnleat  36648  llncmp  36657  2llnmat  36659  lplnnle2at  36676  llncvrlpln  36693  lplncmp  36697  lvolnle3at  36717  lplncvrlvol  36751  lvolcmp  36752  pmaple  36896  2lnat  36919  2atm2atN  36920  lhp2lt  37136  lhp0lt  37138  dia2dimlem2  38200  dia2dimlem3  38201  dih1  38421