Theorem hlpos 39954

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39951	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18453	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Posetcpo 18322  Latclat 18446  HLchlt 39938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-lat 18447  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39977  hl0lt1N  39978  cvrval3  40001  cvrexchlem  40007  cvratlem  40009  cvrat  40010  atlelt  40026  2atlt  40027  athgt  40044  1cvratex  40061  ps-2  40066  llnnleat  40101  llncmp  40110  2llnmat  40112  lplnnle2at  40129  llncvrlpln  40146  lplncmp  40150  lvolnle3at  40170  lplncvrlvol  40204  lvolcmp  40205  pmaple  40349  2lnat  40372  2atm2atN  40373  lhp2lt  40589  lhp0lt  40591  dia2dimlem2  41653  dia2dimlem3  41654  dih1  41874