Theorem hlpos 40615

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40612	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18641	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Posetcpo 18510  Latclat 18634  HLchlt 40599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ov 7446  df-lat 18635  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600

This theorem is used by:  hlhgt2  40638  hl0lt1N  40639  cvrval3  40662  cvrexchlem  40668  cvratlem  40670  cvrat  40671  atlelt  40687  2atlt  40688  athgt  40705  1cvratex  40722  ps-2  40727  llnnleat  40762  llncmp  40771  2llnmat  40773  lplnnle2at  40790  llncvrlpln  40807  lplncmp  40811  lvolnle3at  40831  lplncvrlvol  40865  lvolcmp  40866  pmaple  41010  2lnat  41033  2atm2atN  41034  lhp2lt  41250  lhp0lt  41252  dia2dimlem2  42314  dia2dimlem3  42315  dih1  42535