Theorem hlpos 39367

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39364	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18483	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Posetcpo 18353  Latclat 18476  HLchlt 39351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lat 18477  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39391  hl0lt1N  39392  cvrval3  39415  cvrexchlem  39421  cvratlem  39423  cvrat  39424  atlelt  39440  2atlt  39441  athgt  39458  1cvratex  39475  ps-2  39480  llnnleat  39515  llncmp  39524  2llnmat  39526  lplnnle2at  39543  llncvrlpln  39560  lplncmp  39564  lvolnle3at  39584  lplncvrlvol  39618  lvolcmp  39619  pmaple  39763  2lnat  39786  2atm2atN  39787  lhp2lt  40003  lhp0lt  40005  dia2dimlem2  41067  dia2dimlem3  41068  dih1  41288