Theorem hlpos 39865

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39862	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18402	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Posetcpo 18271  Latclat 18395  HLchlt 39849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-lat 18396  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39888  hl0lt1N  39889  cvrval3  39912  cvrexchlem  39918  cvratlem  39920  cvrat  39921  atlelt  39937  2atlt  39938  athgt  39955  1cvratex  39972  ps-2  39977  llnnleat  40012  llncmp  40021  2llnmat  40023  lplnnle2at  40040  llncvrlpln  40057  lplncmp  40061  lvolnle3at  40081  lplncvrlvol  40115  lvolcmp  40116  pmaple  40260  2lnat  40283  2atm2atN  40284  lhp2lt  40500  lhp0lt  40502  dia2dimlem2  41564  dia2dimlem3  41565  dih1  41785