Theorem hlpos 39384

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39381	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18448	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Posetcpo 18319  Latclat 18441  HLchlt 39368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fv 6539  df-ov 7408  df-lat 18442  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39408  hl0lt1N  39409  cvrval3  39432  cvrexchlem  39438  cvratlem  39440  cvrat  39441  atlelt  39457  2atlt  39458  athgt  39475  1cvratex  39492  ps-2  39497  llnnleat  39532  llncmp  39541  2llnmat  39543  lplnnle2at  39560  llncvrlpln  39577  lplncmp  39581  lvolnle3at  39601  lplncvrlvol  39635  lvolcmp  39636  pmaple  39780  2lnat  39803  2atm2atN  39804  lhp2lt  40020  lhp0lt  40022  dia2dimlem2  41084  dia2dimlem3  41085  dih1  41305