Theorem hlpos 38539

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38536	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18395	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Posetcpo 18264  Latclat 18388  HLchlt 38523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414  df-lat 18389  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524

This theorem is referenced by:  hlhgt2  38563  hl0lt1N  38564  cvrval3  38587  cvrexchlem  38593  cvratlem  38595  cvrat  38596  atlelt  38612  2atlt  38613  athgt  38630  1cvratex  38647  ps-2  38652  llnnleat  38687  llncmp  38696  2llnmat  38698  lplnnle2at  38715  llncvrlpln  38732  lplncmp  38736  lvolnle3at  38756  lplncvrlvol  38790  lvolcmp  38791  pmaple  38935  2lnat  38958  2atm2atN  38959  lhp2lt  39175  lhp0lt  39177  dia2dimlem2  40239  dia2dimlem3  40240  dih1  40460