Theorem hlpos 39812

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39809	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18404	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Posetcpo 18273  Latclat 18397  HLchlt 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-lat 18398  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39835  hl0lt1N  39836  cvrval3  39859  cvrexchlem  39865  cvratlem  39867  cvrat  39868  atlelt  39884  2atlt  39885  athgt  39902  1cvratex  39919  ps-2  39924  llnnleat  39959  llncmp  39968  2llnmat  39970  lplnnle2at  39987  llncvrlpln  40004  lplncmp  40008  lvolnle3at  40028  lplncvrlvol  40062  lvolcmp  40063  pmaple  40207  2lnat  40230  2atm2atN  40231  lhp2lt  40447  lhp0lt  40449  dia2dimlem2  41511  dia2dimlem3  41512  dih1  41732