Theorem hlpos 38142

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38139	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18378	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Posetcpo 18247  Latclat 18371  HLchlt 38126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-xp 5678  df-dm 5682  df-iota 6487  df-fv 6543  df-ov 7399  df-lat 18372  df-atl 38074  df-cvlat 38098  df-hlat 38127

This theorem is referenced by:  hlhgt2  38166  hl0lt1N  38167  cvrval3  38190  cvrexchlem  38196  cvratlem  38198  cvrat  38199  atlelt  38215  2atlt  38216  athgt  38233  1cvratex  38250  ps-2  38255  llnnleat  38290  llncmp  38299  2llnmat  38301  lplnnle2at  38318  llncvrlpln  38335  lplncmp  38339  lvolnle3at  38359  lplncvrlvol  38393  lvolcmp  38394  pmaple  38538  2lnat  38561  2atm2atN  38562  lhp2lt  38778  lhp0lt  38780  dia2dimlem2  39842  dia2dimlem3  39843  dih1  40063