Theorem hlpos 39366

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39363	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18404	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Posetcpo 18275  Latclat 18397  HLchlt 39350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-lat 18398  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39390  hl0lt1N  39391  cvrval3  39414  cvrexchlem  39420  cvratlem  39422  cvrat  39423  atlelt  39439  2atlt  39440  athgt  39457  1cvratex  39474  ps-2  39479  llnnleat  39514  llncmp  39523  2llnmat  39525  lplnnle2at  39542  llncvrlpln  39559  lplncmp  39563  lvolnle3at  39583  lplncvrlvol  39617  lvolcmp  39618  pmaple  39762  2lnat  39785  2atm2atN  39786  lhp2lt  40002  lhp0lt  40004  dia2dimlem2  41066  dia2dimlem3  41067  dih1  41287