Theorem hlpos 40168

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40165	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18500	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  Posetcpo 18369  Latclat 18493  HLchlt 40152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-lat 18494  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153

This theorem is used by:  hlhgt2  40191  hl0lt1N  40192  cvrval3  40215  cvrexchlem  40221  cvratlem  40223  cvrat  40224  atlelt  40240  2atlt  40241  athgt  40258  1cvratex  40275  ps-2  40280  llnnleat  40315  llncmp  40324  2llnmat  40326  lplnnle2at  40343  llncvrlpln  40360  lplncmp  40364  lvolnle3at  40384  lplncvrlvol  40418  lvolcmp  40419  pmaple  40563  2lnat  40586  2atm2atN  40587  lhp2lt  40803  lhp0lt  40805  dia2dimlem2  41867  dia2dimlem3  41868  dih1  42088