Theorem hlpos 40247

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40244	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18532	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Posetcpo 18401  Latclat 18525  HLchlt 40231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-lat 18526  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232

This theorem is used by:  hlhgt2  40270  hl0lt1N  40271  cvrval3  40294  cvrexchlem  40300  cvratlem  40302  cvrat  40303  atlelt  40319  2atlt  40320  athgt  40337  1cvratex  40354  ps-2  40359  llnnleat  40394  llncmp  40403  2llnmat  40405  lplnnle2at  40422  llncvrlpln  40439  lplncmp  40443  lvolnle3at  40463  lplncvrlvol  40497  lvolcmp  40498  pmaple  40642  2lnat  40665  2atm2atN  40666  lhp2lt  40882  lhp0lt  40884  dia2dimlem2  41946  dia2dimlem3  41947  dih1  42167