Theorem hlpos 39322

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39319	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18508	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Posetcpo 18377  Latclat 18501  HLchlt 39306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-lat 18502  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39346  hl0lt1N  39347  cvrval3  39370  cvrexchlem  39376  cvratlem  39378  cvrat  39379  atlelt  39395  2atlt  39396  athgt  39413  1cvratex  39430  ps-2  39435  llnnleat  39470  llncmp  39479  2llnmat  39481  lplnnle2at  39498  llncvrlpln  39515  lplncmp  39519  lvolnle3at  39539  lplncvrlvol  39573  lvolcmp  39574  pmaple  39718  2lnat  39741  2atm2atN  39742  lhp2lt  39958  lhp0lt  39960  dia2dimlem2  41022  dia2dimlem3  41023  dih1  41243