Theorem hlpos 40002

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39999	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18484	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Posetcpo 18353  Latclat 18477  HLchlt 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-lat 18478  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987

This theorem is referenced by:  hlhgt2  40025  hl0lt1N  40026  cvrval3  40049  cvrexchlem  40055  cvratlem  40057  cvrat  40058  atlelt  40074  2atlt  40075  athgt  40092  1cvratex  40109  ps-2  40114  llnnleat  40149  llncmp  40158  2llnmat  40160  lplnnle2at  40177  llncvrlpln  40194  lplncmp  40198  lvolnle3at  40218  lplncvrlvol  40252  lvolcmp  40253  pmaple  40397  2lnat  40420  2atm2atN  40421  lhp2lt  40637  lhp0lt  40639  dia2dimlem2  41701  dia2dimlem3  41702  dih1  41922