Theorem hlpos 37307

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37304	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18071	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Posetcpo 17940  Latclat 18064  HLchlt 37291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-lat 18065  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292

This theorem is referenced by:  hlhgt2  37330  hl0lt1N  37331  cvrval3  37354  cvrexchlem  37360  cvratlem  37362  cvrat  37363  atlelt  37379  2atlt  37380  athgt  37397  1cvratex  37414  ps-2  37419  llnnleat  37454  llncmp  37463  2llnmat  37465  lplnnle2at  37482  llncvrlpln  37499  lplncmp  37503  lvolnle3at  37523  lplncvrlvol  37557  lvolcmp  37558  pmaple  37702  2lnat  37725  2atm2atN  37726  lhp2lt  37942  lhp0lt  37944  dia2dimlem2  39006  dia2dimlem3  39007  dih1  39227