Theorem hlpos 39471

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39468	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18350	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Posetcpo 18219  Latclat 18343  HLchlt 39455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-dm 5629  df-iota 6443  df-fv 6495  df-ov 7355  df-lat 18344  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39494  hl0lt1N  39495  cvrval3  39518  cvrexchlem  39524  cvratlem  39526  cvrat  39527  atlelt  39543  2atlt  39544  athgt  39561  1cvratex  39578  ps-2  39583  llnnleat  39618  llncmp  39627  2llnmat  39629  lplnnle2at  39646  llncvrlpln  39663  lplncmp  39667  lvolnle3at  39687  lplncvrlvol  39721  lvolcmp  39722  pmaple  39866  2lnat  39889  2atm2atN  39890  lhp2lt  40106  lhp0lt  40108  dia2dimlem2  41170  dia2dimlem3  41171  dih1  41391