Theorem hlpos 39622

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39619	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18361	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Posetcpo 18230  Latclat 18354  HLchlt 39606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-lat 18355  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39645  hl0lt1N  39646  cvrval3  39669  cvrexchlem  39675  cvratlem  39677  cvrat  39678  atlelt  39694  2atlt  39695  athgt  39712  1cvratex  39729  ps-2  39734  llnnleat  39769  llncmp  39778  2llnmat  39780  lplnnle2at  39797  llncvrlpln  39814  lplncmp  39818  lvolnle3at  39838  lplncvrlvol  39872  lvolcmp  39873  pmaple  40017  2lnat  40040  2atm2atN  40041  lhp2lt  40257  lhp0lt  40259  dia2dimlem2  41321  dia2dimlem3  41322  dih1  41542