Theorem hlpos 39348

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39345	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18496	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Posetcpo 18365  Latclat 18489  HLchlt 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-lat 18490  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39372  hl0lt1N  39373  cvrval3  39396  cvrexchlem  39402  cvratlem  39404  cvrat  39405  atlelt  39421  2atlt  39422  athgt  39439  1cvratex  39456  ps-2  39461  llnnleat  39496  llncmp  39505  2llnmat  39507  lplnnle2at  39524  llncvrlpln  39541  lplncmp  39545  lvolnle3at  39565  lplncvrlvol  39599  lvolcmp  39600  pmaple  39744  2lnat  39767  2atm2atN  39768  lhp2lt  39984  lhp0lt  39986  dia2dimlem2  41048  dia2dimlem3  41049  dih1  41269