Theorem hlpos 39359

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39356	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18397	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Posetcpo 18268  Latclat 18390  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-lat 18391  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39383  hl0lt1N  39384  cvrval3  39407  cvrexchlem  39413  cvratlem  39415  cvrat  39416  atlelt  39432  2atlt  39433  athgt  39450  1cvratex  39467  ps-2  39472  llnnleat  39507  llncmp  39516  2llnmat  39518  lplnnle2at  39535  llncvrlpln  39552  lplncmp  39556  lvolnle3at  39576  lplncvrlvol  39610  lvolcmp  39611  pmaple  39755  2lnat  39778  2atm2atN  39779  lhp2lt  39995  lhp0lt  39997  dia2dimlem2  41059  dia2dimlem3  41060  dih1  41280