Theorem hlpos 39404

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39401	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 18341	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Posetcpo 18210  Latclat 18334  HLchlt 39388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-lat 18335  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389

This theorem is referenced by:  hlhgt2  39427  hl0lt1N  39428  cvrval3  39451  cvrexchlem  39457  cvratlem  39459  cvrat  39460  atlelt  39476  2atlt  39477  athgt  39494  1cvratex  39511  ps-2  39516  llnnleat  39551  llncmp  39560  2llnmat  39562  lplnnle2at  39579  llncvrlpln  39596  lplncmp  39600  lvolnle3at  39620  lplncvrlvol  39654  lvolcmp  39655  pmaple  39799  2lnat  39822  2atm2atN  39823  lhp2lt  40039  lhp0lt  40041  dia2dimlem2  41103  dia2dimlem3  41104  dih1  41324