Theorem pmaplubN 40560

Description: The LUB of a projective map is the projective map's argument. (Contributed by NM, 13-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaplub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmaplubN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmaplub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		pmaplub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 40393	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6	5	fveq2d 6875	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
7		hlomcmat 40001	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
8		pmaplub.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 8, 3	atlatmstc 39955	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
10	7, 9	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
11	6, 10	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  lecple 17307  lubclub 18355  CLatccla 18544  OMLcoml 39811  Atomscatm 39899  AtLatcal 39900  HLchlt 39986  pmapcpmap 40133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-pmap 40140

This theorem is referenced by: (None)