Theorem pmaplubN 39262

Description: The LUB of a projective map is the projective map's argument. (Contributed by NM, 13-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaplub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmaplubN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmaplub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		pmaplub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 39095	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6	5	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
7		hlomcmat 38702	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
8		pmaplub.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 8, 3	atlatmstc 38656	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
10	7, 9	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
11	6, 10	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  lubclub 18272  CLatccla 18461  OMLcoml 38512  Atomscatm 38600  AtLatcal 38601  HLchlt 38687  pmapcpmap 38835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-pmap 38842

This theorem is referenced by: (None)