Theorem pmaplubN 41075

Description: The LUB of a projective map is the projective map's argument. (Contributed by NM, 13-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaplub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmaplubN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmaplub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		pmaplub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	pmapval 40908	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
6	5	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
7		hlomcmat 40516	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
8		pmaplub.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 8, 3	atlatmstc 40470	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
10	7, 9	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
11	6, 10	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441  lubclub 18489  CLatccla 18678  OMLcoml 40326  Atomscatm 40414  AtLatcal 40415  HLchlt 40501  pmapcpmap 40648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-lat 18612  df-clat 18679  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-pmap 40655

This theorem is used by: (None)