Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat1 38905
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 32193, with ∧ swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlrelat1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlrelat1.s < = (ltβ€˜πΎ)
hlrelat1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlrelat1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat1
StepHypRef Expression
1 hlomcmat 38869 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
2 hlrelat1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 hlrelat1.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 hlrelat1.s . . 3 < = (ltβ€˜πΎ)
5 hlrelat1.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5atlrelat1 38825 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
71, 6syl3an1 1160 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307  CLatccla 18497  OMLcoml 38679  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  hlrelat5N  38906  hlrelat  38907  hl2at  38910  hlrelat3  38917  cvrexchlem  38924  lhpexle3lem  39516
  Copyright terms: Public domain W3C validator