Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polpmapN 38869
Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polpmap.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
polpmap.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
polpmap.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
polpmap.p 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem polpmapN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polpmap.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
41, 2, 3pmapssat 38716 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
5 eqid 2732 . . . 4 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
6 polpmap.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
7 polpmap.p . . . 4 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
85, 6, 2, 3, 7polval2N 38863 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))))
94, 8syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))))
10 eqid 2732 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
111, 10, 2, 3pmapval 38714 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = {𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋})
1211fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}))
13 hlomcmat 38321 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
141, 10, 5, 2atlatmstc 38275 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}) = 𝑋)
1513, 14sylan 580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}) = 𝑋)
1612, 15eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = 𝑋)
1716fveq2d 6895 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
1817fveq2d 6895 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
199, 18eqtrd 2772 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206  occoc 17207  lubclub 18264  CLatccla 18453  OMLcoml 38131  Atomscatm 38219  AtLatcal 38220  HLchlt 38306  pmapcpmap 38454  βŠ₯𝑃cpolN 38859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-pmap 38461  df-polarityN 38860
This theorem is referenced by:  2polpmapN  38870  2polvalN  38871  3polN  38873  pmapj2N  38886  pmapocjN  38887  2polatN  38889  poml4N  38910  pmapojoinN  38925
  Copyright terms: Public domain W3C validator