Theorem polpmapN 40346

Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
polpmap.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polpmap.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem polpmapN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 40193	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		polpmap.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		polpmap.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 3, 7	polval2N 40340	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
9	4, 8	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
10		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3	pmapval 40191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
12	11	fveq2d 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
13		hlomcmat 39799	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
14	1, 10, 5, 2	atlatmstc 39753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
16	12, 15	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
17	16	fveq2d 6833	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	17	fveq2d 6833	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))
19	9, 18	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3387   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  Basecbs 17168  lecple 17216  occoc 17217  lubclub 18264  CLatccla 18453  OMLcoml 39609  Atomscatm 39697  AtLatcal 39698  HLchlt 39784  pmapcpmap 39931  ⊥_𝑃cpolN 40336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 39610  df-ol 39612  df-oml 39613  df-covers 39700  df-ats 39701  df-atl 39732  df-cvlat 39756  df-hlat 39785  df-pmap 39938  df-polarityN 40337

This theorem is referenced by:  2polpmapN  40347  2polvalN  40348  3polN  40350  pmapj2N  40363  pmapocjN  40364  2polatN  40366  poml4N  40387  pmapojoinN  40402