Theorem polpmapN 41161

Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
polpmap.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polpmap.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem polpmapN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 41008	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		polpmap.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		polpmap.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 3, 7	polval2N 41155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
9	4, 8	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3	pmapval 41006	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
12	11	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
13		hlomcmat 40614	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
14	1, 10, 5, 2	atlatmstc 40568	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
16	12, 15	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
17	16	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	17	fveq2d 6912	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))
19	9, 18	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  lecple 17464  occoc 17465  lubclub 18512  CLatccla 18701  OMLcoml 40424  Atomscatm 40512  AtLatcal 40513  HLchlt 40599  pmapcpmap 40746  ⊥_𝑃cpolN 41151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-pmap 40753  df-polarityN 41152

This theorem is used by:  2polpmapN  41162  2polvalN  41163  3polN  41165  pmapj2N  41178  pmapocjN  41179  2polatN  41181  poml4N  41202  pmapojoinN  41217