Theorem polpmapN 41012

Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
polpmap.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polpmap.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem polpmapN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 40859	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		polpmap.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		polpmap.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 3, 7	polval2N 41006	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
9	4, 8	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3	pmapval 40857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
12	11	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
13		hlomcmat 40465	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
14	1, 10, 5, 2	atlatmstc 40419	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
16	12, 15	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
17	16	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	17	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))
19	9, 18	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  occoc 17436  lubclub 18483  CLatccla 18672  OMLcoml 40275  Atomscatm 40363  AtLatcal 40364  HLchlt 40450  pmapcpmap 40597  ⊥_𝑃cpolN 41002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40276  df-ol 40278  df-oml 40279  df-covers 40366  df-ats 40367  df-atl 40398  df-cvlat 40422  df-hlat 40451  df-pmap 40604  df-polarityN 41003

This theorem is used by:  2polpmapN  41013  2polvalN  41014  3polN  41016  pmapj2N  41029  pmapocjN  41030  2polatN  41032  poml4N  41053  pmapojoinN  41068