Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polpmapN 38180
Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polpmap.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
polpmap.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
polpmap.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
polpmap.p 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem polpmapN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polpmap.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2736 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
41, 2, 3pmapssat 38027 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
5 eqid 2736 . . . 4 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
6 polpmap.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
7 polpmap.p . . . 4 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
85, 6, 2, 3, 7polval2N 38174 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))))
94, 8syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))))
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
111, 10, 2, 3pmapval 38025 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = {𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋})
1211fveq2d 6829 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}))
13 hlomcmat 37632 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
141, 10, 5, 2atlatmstc 37586 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}) = 𝑋)
1513, 14sylan 580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}) = 𝑋)
1612, 15eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = 𝑋)
1716fveq2d 6829 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
1817fveq2d 6829 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
199, 18eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   βŠ† wss 3898   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  lecple 17066  occoc 17067  lubclub 18124  CLatccla 18313  OMLcoml 37442  Atomscatm 37530  AtLatcal 37531  HLchlt 37617  pmapcpmap 37765  βŠ₯𝑃cpolN 38170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-pmap 37772  df-polarityN 38171
This theorem is referenced by:  2polpmapN  38181  2polvalN  38182  3polN  38184  pmapj2N  38197  pmapocjN  38198  2polatN  38200  poml4N  38221  pmapojoinN  38236
  Copyright terms: Public domain W3C validator