Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polpmapN 39087
Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polpmap.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
polpmap.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
polpmap.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
polpmap.p 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem polpmapN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polpmap.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2731 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
41, 2, 3pmapssat 38934 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
5 eqid 2731 . . . 4 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
6 polpmap.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
7 polpmap.p . . . 4 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
85, 6, 2, 3, 7polval2N 39081 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))))
94, 8syldan 590 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))))
10 eqid 2731 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
111, 10, 2, 3pmapval 38932 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = {𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋})
1211fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}))
13 hlomcmat 38539 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
141, 10, 5, 2atlatmstc 38493 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}) = 𝑋)
1513, 14sylan 579 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∣ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋}) = 𝑋)
1612, 15eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = 𝑋)
1716fveq2d 6896 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
1817fveq2d 6896 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
199, 18eqtrd 2771 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  lubclub 18267  CLatccla 18456  OMLcoml 38349  Atomscatm 38437  AtLatcal 38438  HLchlt 38524  pmapcpmap 38672  βŠ₯𝑃cpolN 39077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-pmap 38679  df-polarityN 39078
This theorem is referenced by:  2polpmapN  39088  2polvalN  39089  3polN  39091  pmapj2N  39104  pmapocjN  39105  2polatN  39107  poml4N  39128  pmapojoinN  39143
  Copyright terms: Public domain W3C validator