Theorem polpmapN 40010

Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
polpmap.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polpmap.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem polpmapN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 39857	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		polpmap.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		polpmap.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 3, 7	polval2N 40004	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
9	4, 8	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
10		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3	pmapval 39855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
12	11	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
13		hlomcmat 39463	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
14	1, 10, 5, 2	atlatmstc 39417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
16	12, 15	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
17	16	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	17	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))
19	9, 18	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  occoc 17169  lubclub 18215  CLatccla 18404  OMLcoml 39273  Atomscatm 39361  AtLatcal 39362  HLchlt 39448  pmapcpmap 39595  ⊥_𝑃cpolN 40000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39274  df-ol 39276  df-oml 39277  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449  df-pmap 39602  df-polarityN 40001

This theorem is referenced by:  2polpmapN  40011  2polvalN  40012  3polN  40014  pmapj2N  40027  pmapocjN  40028  2polatN  40030  poml4N  40051  pmapojoinN  40066