Theorem polpmapN 37063

Description: The polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
polpmap.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polpmap.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem polpmapN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 36910	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		polpmap.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		polpmap.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 3, 7	polval2N 37057	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
9	4, 8	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))))
10		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3	pmapval 36908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) = {𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋})
12	11	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}))
13		hlomcmat 36516	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
14	1, 10, 5, 2	atlatmstc 36470	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
15	13, 14	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑝(le‘𝐾)𝑋}) = 𝑋)
16	12, 15	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
17	16	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
18	17	fveq2d 6674	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘( ⊥ ‘((lub‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋)))) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))
19	9, 18	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  lecple 16572  occoc 16573  lubclub 17552  CLatccla 17717  OMLcoml 36326  Atomscatm 36414  AtLatcal 36415  HLchlt 36501  pmapcpmap 36648  ⊥_𝑃cpolN 37053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-riotaBAD 36104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-undef 7939  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36327  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-pmap 36655  df-polarityN 37054

This theorem is referenced by:  2polpmapN  37064  2polvalN  37065  3polN  37067  pmapj2N  37080  pmapocjN  37081  2polatN  37083  poml4N  37104  pmapojoinN  37119