Theorem hlatle 40658

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 33006 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmat 40625	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
2		hlatle.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		hlatle.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	atlatle 40580	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  lecple 17467  CLatccla 18704  OMLcoml 40435  Atomscatm 40523  AtLatcal 40524  HLchlt 40610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-lat 18638  df-clat 18705  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611

This theorem is used by:  hlateq  40659  trlord  41829