Theorem pol1N 40353

Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3945	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	polval2N 40349	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
8	1, 7	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9		hlop 39805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 4	atbase 39732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
14	10, 12, 13	ople1 39634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
15	9, 11, 14	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
16	15	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17		rabid2 3423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
19	18	fveq2d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20		hlomcmat 39808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
21	10, 13	op1cl 39628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
22	9, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
23	10, 12, 2, 4	atlatmstc 39762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
24	20, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
25	19, 24	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
26	25	fveq2d 6842	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
28	27, 13, 3	opoc1 39645	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
29	9, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
30	26, 29	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
31	30	fveq2d 6842	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32		hlatl 39803	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
33	27, 5	pmap0 40208	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
35	8, 31, 34	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  Basecbs 17176  lecple 17224  occoc 17225  lubclub 18272  0.cp0 18384  1.cp1 18385  CLatccla 18461  OPcops 39615  OMLcoml 39618  Atomscatm 39706  AtLatcal 39707  HLchlt 39793  pmapcpmap 39940  ⊥_𝑃cpolN 40345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-proset 18257  df-poset 18276  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 39619  df-ol 39621  df-oml 39622  df-covers 39709  df-ats 39710  df-atl 39741  df-cvlat 39765  df-hlat 39794  df-pmap 39947  df-polarityN 40346

This theorem is referenced by:  2pol0N  40354  1psubclN  40387