Theorem pol1N 39510

Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3999	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	polval2N 39506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
8	1, 7	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9		hlop 38961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 4	atbase 38888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
14	10, 12, 13	ople1 38790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
15	9, 11, 14	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
16	15	ralrimiva 3135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17		rabid2 3452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
18	16, 17	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
19	18	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20		hlomcmat 38964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
21	10, 13	op1cl 38784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
22	9, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
23	10, 12, 2, 4	atlatmstc 38918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
24	20, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
25	19, 24	eqtr2d 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
26	25	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
28	27, 13, 3	opoc1 38801	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
29	9, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
30	26, 29	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
31	30	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32		hlatl 38959	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
33	27, 5	pmap0 39365	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
35	8, 31, 34	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  {crab 3418   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  occoc 17244  lubclub 18304  0.cp0 18418  1.cp1 18419  CLatccla 18493  OPcops 38771  OMLcoml 38774  Atomscatm 38862  AtLatcal 38863  HLchlt 38949  pmapcpmap 39097  ⊥_𝑃cpolN 39502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-pmap 39104  df-polarityN 39503

This theorem is referenced by:  2pol0N  39511  1psubclN  39544