Theorem pol1N 40770

Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	polval2N 40766	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
8	1, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9		hlop 40222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 4	atbase 40149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
14	10, 12, 13	ople1 40051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
15	9, 11, 14	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
16	15	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17		rabid2 3447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
19	18	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20		hlomcmat 40225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
21	10, 13	op1cl 40045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
22	9, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
23	10, 12, 2, 4	atlatmstc 40179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
24	20, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
25	19, 24	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
26	25	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
28	27, 13, 3	opoc1 40062	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
29	9, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
30	26, 29	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
31	30	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32		hlatl 40220	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
33	27, 5	pmap0 40625	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	32, 33	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
35	8, 31, 34	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  lecple 17353  occoc 17354  lubclub 18401  0.cp0 18513  1.cp1 18514  CLatccla 18590  OPcops 40032  OMLcoml 40035  Atomscatm 40123  AtLatcal 40124  HLchlt 40210  pmapcpmap 40357  ⊥_𝑃cpolN 40762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-pmap 40364  df-polarityN 40763

This theorem is used by:  2pol0N  40771  1psubclN  40804