Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pol1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pol1N 35717
Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pol1N (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3773 . . 3 𝐴𝐴
2 eqid 2771 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 eqid 2771 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 polssat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 eqid 2771 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6 polssat.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
72, 3, 4, 5, 6polval2N 35713 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴𝐴) → ( 𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
81, 7mpan2 671 . 2 (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9 hlop 35169 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 4atbase 35096 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
1410, 12, 13ople1 34998 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
159, 11, 14syl2an 583 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
1615ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17 rabid2 3267 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
1816, 17sylibr 224 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
1918fveq2d 6337 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20 hlomcmat 35172 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
2110, 13op1cl 34992 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
2310, 12, 2, 4atlatmstc 35126 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
2420, 22, 23syl2anc 573 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
2519, 24eqtr2d 2806 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
2625fveq2d 6337 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27 eqid 2771 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2827, 13, 3opoc1 35009 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
299, 28syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
3026, 29eqtr3d 2807 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
3130fveq2d 6337 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32 hlatl 35167 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3327, 5pmap0 35572 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3432, 33syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
358, 31, 343eqtrd 2809 1 (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4787  cfv 6030  Basecbs 16064  lecple 16156  occoc 16157  lubclub 17150  0.cp0 17245  1.cp1 17246  CLatccla 17315  OPcops 34979  OMLcoml 34982  Atomscatm 35070  AtLatcal 35071  HLchlt 35157  pmapcpmap 35304  𝑃cpolN 35709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34759
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-undef 7555  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-pmap 35311  df-polarityN 35710
This theorem is referenced by:  2pol0N  35718  1psubclN  35751
  Copyright terms: Public domain W3C validator