Theorem hllatd 39345

Description: Deduction form of hllat 39344. A Hilbert lattice is a lattice. (Contributed by BJ, 14-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
hllatd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)

Assertion

Ref	Expression
hllatd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem hllatd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllatd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 39344	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Latclat 18488  HLchlt 39331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fv 6570  df-ov 7433  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332

This theorem is referenced by:  hlrelat  39384  hlrelat2  39385  exatleN  39386  intnatN  39389  hlrelat3  39394  cvrval3  39395  cvrexchlem  39401  lnnat  39409  2atlt  39421  atexchcvrN  39422  atbtwn  39428  4noncolr3  39435  athgt  39438  3dim0  39439  3dimlem3a  39442  3dimlem4a  39445  3dim3  39451  1cvratex  39455  1cvrjat  39457  hlatexch4  39463  ps-2b  39464  3atlem1  39465  3atlem2  39466  3atlem4  39468  3atlem5  39469  3atlem6  39470  2llnmat  39506  2at0mat0  39507  2atm  39509  ps-2c  39510  llnmlplnN  39521  lplnle  39522  2atmat  39543  lplnexllnN  39546  2llnjaN  39548  lvoli3  39559  lvoli2  39563  lvolnle3at  39564  islvol2aN  39574  4atlem3  39578  4atlem3a  39579  4atlem3b  39580  4atlem4a  39581  4atlem4b  39582  4atlem4c  39583  4atlem4d  39584  4atlem9  39585  4atlem10a  39586  4atlem10  39588  4atlem11a  39589  4atlem11b  39590  4atlem11  39591  4atlem12a  39592  4atlem12b  39593  4atlem12  39594  4at  39595  4at2  39596  lplncvrlvol2  39597  lplncvrlvol  39598  2lplnja  39601  dalemkelat  39606  lneq2at  39760  lncmp  39765  2lnat  39766  cdlema1N  39773  cdlemblem  39775  cdlemb  39776  paddasslem2  39803  paddasslem5  39806  paddasslem8  39809  paddasslem12  39813  paddasslem13  39814  paddasslem15  39816  pmodlem1  39828  pmodlem2  39829  atmod1i1m  39840  llnmod1i2  39842  llnmod2i2  39845  llnexchb2lem  39850  llnexchb2  39851  dalawlem1  39853  dalawlem2  39854  dalawlem3  39855  dalawlem4  39856  dalawlem5  39857  dalawlem6  39858  dalawlem7  39859  dalawlem8  39860  dalawlem9  39861  dalawlem11  39863  dalawlem12  39864  dalawlem15  39867  pclfinclN  39932  poml4N  39935  osumcllem5N  39942  osumcllem7N  39944  pexmidlem2N  39953  pexmidlem4N  39955  pl42lem1N  39961  pl42lem2N  39962  pl42lem4N  39964  pl42N  39965  lhp2lt  39983  lhpexle2lem  39991  lhpexle3lem  39993  lhpj1  40004  lhpmcvr3  40007  lhpmcvr4N  40008  lhpmcvr5N  40009  lhpmcvr6N  40010  lhp2at0  40014  lhp2atnle  40015  lhpelim  40019  lhpmod2i2  40020  lhpmod6i1  40021  lhprelat3N  40022  lhple  40024  lhpat3  40028  4atexlemkl  40039  ltrnm  40113  ltrnj  40114  ltrnel  40121  ltrncnvel  40124  trljat1  40148  trljat2  40149  trlval3  40169  arglem1N  40172  cdlemc1  40173  cdlemc2  40174  cdlemc4  40176  cdlemc5  40177  cdlemc6  40178  cdlemd2  40181  cdlemd3  40182  cdlemd4  40183  cdlemd7  40186  cdleme0aa  40192  cdleme0b  40194  cdleme0c  40195  cdleme0e  40199  cdleme0fN  40200  cdlemeulpq  40202  cdleme01N  40203  cdleme0ex1N  40205  cdleme3g  40216  cdleme3h  40217  cdleme3  40219  cdleme4a  40221  cdleme5  40222  cdleme7aa  40224  cdleme7c  40227  cdleme7d  40228  cdleme7e  40229  cdleme7ga  40230  cdleme7  40231  cdleme8  40232  cdleme9  40235  cdleme10  40236  cdleme11c  40243  cdleme11e  40245  cdleme11fN  40246  cdleme11g  40247  cdleme11k  40250  cdleme11  40252  cdleme13  40254  cdleme15b  40257  cdleme15d  40259  cdleme15  40260  cdleme16b  40261  cdleme16e  40264  cdleme16f  40265  cdleme17b  40269  cdleme17c  40270  cdleme22gb  40276  cdlemednpq  40281  cdleme19b  40286  cdleme19c  40287  cdleme19e  40289  cdleme20aN  40291  cdleme20bN  40292  cdleme20c  40293  cdleme20d  40294  cdleme20e  40295  cdleme20j  40300  cdleme20k  40301  cdleme20l2  40303  cdleme20l  40304  cdleme20m  40305  cdleme21c  40309  cdleme21ct  40311  cdleme22aa  40321  cdleme22b  40323  cdleme22cN  40324  cdleme22d  40325  cdleme22e  40326  cdleme22eALTN  40327  cdleme22f  40328  cdleme22g  40330  cdleme23a  40331  cdleme23b  40332  cdleme23c  40333  cdleme27N  40351  cdleme28a  40352  cdleme28b  40353  cdleme29ex  40356  cdleme30a  40360  cdlemefr29exN  40384  cdleme32b  40424  cdleme32c  40425  cdleme32e  40427  cdleme35a  40430  cdleme35fnpq  40431  cdleme35b  40432  cdleme35c  40433  cdleme35d  40434  cdleme35f  40436  cdleme42c  40454  cdleme42e  40461  cdleme42h  40464  cdleme42i  40465  cdleme42mgN  40470  cdleme48bw  40484  cdlemeg46frv  40507  cdlemeg46vrg  40509  cdlemeg46rgv  40510  cdlemeg46req  40511  cdleme50eq  40523  cdlemf1  40543  trlord  40551  cdlemg2fv2  40582  cdlemg2m  40586  cdlemg7fvbwN  40589  cdlemg4c  40594  cdlemg4  40599  cdlemg6c  40602  cdlemg8b  40610  cdlemg10bALTN  40618  cdlemg10c  40621  cdlemg10  40623  cdlemg11b  40624  cdlemg12f  40630  cdlemg12g  40631  cdlemg12  40632  cdlemg13a  40633  cdlemg17a  40643  cdlemg17dALTN  40646  cdlemg17  40659  cdlemg18b  40661  cdlemg19a  40665  cdlemg19  40666  cdlemg27a  40674  cdlemg27b  40678  cdlemg31a  40679  cdlemg31b  40680  cdlemg33b0  40683  cdlemg33a  40688  cdlemg35  40695  trlcolem  40708  cdlemg42  40711  cdlemg44a  40713  cdlemg46  40717  trljco  40722  trljco2  40723  tendococl  40754  tendopltp  40762  cdlemh1  40797  cdlemh2  40798  cdlemi1  40800  cdlemi  40802  cdlemk3  40815  cdlemk4  40816  cdlemkvcl  40824  cdlemk10  40825  cdlemk7  40830  cdlemk11  40831  cdlemk12  40832  cdlemkole  40835  cdlemk14  40836  cdlemk15  40837  cdlemk1u  40841  cdlemk5u  40843  cdlemk7u  40852  cdlemk11u  40853  cdlemk12u  40854  cdlemk37  40896  cdlemk39  40898  cdlemkid1  40904  cdlemkid2  40906  cdlemk48  40932  cdlemk50  40934  cdlemk51  40935  cdlemk52  40936  cdlemk39u  40950  dia11N  41030  dia2dimlem1  41046  dia2dimlem2  41047  dia2dimlem3  41048  dia2dimlem10  41055  dia2dimlem12  41057  cdlemm10N  41100  dib11N  41142  diblss  41152  cdlemn2  41177  cdlemn10  41188  dihjustlem  41198  dihord1  41200  dihord2a  41201  dihord2b  41202  dihord2cN  41203  dihord11b  41204  dihord11c  41206  dihord2pre  41207  dihord2pre2  41208  dib2dim  41225  dih2dimb  41226  dihvalcq2  41229  dihopelvalcpre  41230  dihord6apre  41238  dihord5b  41241  dihord6b  41242  dihord5apre  41244  dih11  41247  dihwN  41271  dihmeetlem1N  41272  dihglblem5apreN  41273  dihglblem2N  41276  dihglblem3N  41277  dihmeetlem2N  41281  dihglbcpreN  41282  dihmeetbclemN  41286  dihmeetlem3N  41287  dihmeetlem4preN  41288  dihmeetlem6  41291  dihmeetlem7N  41292  dihjatc1  41293  dihjatc2N  41294  dihjatc3  41295  dihmeetlem9N  41297  dihmeetlem10N  41298  dihmeetlem11N  41299  dihmeetlem15N  41303  dihmeetlem16N  41304  dihmeetlem17N  41305  dihmeetlem19N  41307  dihmeetlem20N  41308  dihmeetALTN  41309  dihmeet2  41328  djhljjN  41384  djhj  41386  dihjatcclem1  41400  dihjatcclem2  41401  dihjatcclem4  41403  dihprrnlem1N  41406  dihprrnlem2  41407  dihjat6  41416  dihjat5N  41419  dvh4dimat  41420