Theorem isfsuppd 40143

Description: Deduction form of isfsupp 9062. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfsuppd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
isfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
isfsuppd.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝑅)
isfsuppd.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
isfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝑅 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem isfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfsuppd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑅)
2		isfsuppd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		isfsuppd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		isfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
5		isfsupp 9062	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  Fun wfun 6412  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  evlsbagval  40198  mhphf  40208