Theorem isfsuppd 9336

Description: Deduction form of isfsupp 9335. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfsuppd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
isfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
isfsuppd.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝑅)
isfsuppd.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
isfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝑅 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem isfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfsuppd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑅)
2		isfsuppd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		isfsuppd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		isfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
5		isfsupp 9335	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  Fun wfun 6527  (class class class)co 7413   supp csupp 8158  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  fczfsuppd  9356  selvvvval  22358  mhpmulcl  22377  psdmplcl  22390  mptiffisupp  33165  indfsd  33314  elrgspnlem2  33683  elrgspnlem4  33685  elrgspnsubrunlem1  33687  elrgspnsubrunlem2  33688  elrspunsn  33857  extvfvcl  34046  mplmulmvr  34049  psrmonprod  34062  evlselvlem  43434  evlselv  43435