Theorem isfsuppd 9351

Description: Deduction form of isfsupp 9350. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfsuppd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
isfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
isfsuppd.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝑅)
isfsuppd.2	⊢ (𝜑 → (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
isfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝑅 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem isfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfsuppd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑅)
2		isfsuppd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		isfsuppd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		isfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
5		isfsupp 9350	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  Fun wfun 6531  (class class class)co 7418   supp csupp 8170  Fincfn 8966   finSupp cfsupp 9346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-fsupp 9347

This theorem is used by:  fczfsuppd  9371  selvvvval  22444  mhpmulcl  22463  psdmplcl  22476  mptiffisupp  33279  indfsd  33428  elrgspnlem2  33797  elrgspnlem4  33799  elrgspnsubrunlem1  33801  elrgspnsubrunlem2  33802  elrspunsn  33972  extvfvcl  34161  mplmulmvr  34164  psrmonprod  34177  evlselvlem  43596  evlselv  43597