MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funisfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funisfsupp 9363
Description: The property of a function to be finitely supported (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
funisfsupp ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Proof of Theorem funisfsupp
StepHypRef Expression
1 isfsupp 9361 . . 3 ((𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
213adant1 1127 . 2 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
3 ibar 528 . . . 4 (Fun 𝑅 → ((𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
43bicomd 222 . . 3 (Fun 𝑅 → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
543ad2ant1 1130 . 2 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
62, 5bitrd 279 1 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5138  Fun wfun 6527  (class class class)co 7401   supp csupp 8140  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-fsupp 9358
This theorem is referenced by:  fidmfisupp  9367  suppeqfsuppbi  9373  suppssfifsupp  9374  fsuppunbi  9380  0fsupp  9381  snopfsupp  9382  fsuppres  9384  resfsupp  9387  ffsuppbi  9389  sniffsupp  9391  fsuppco  9393  cantnfp1lem1  9669  fcdmnn0fsuppg  12528  mptnn0fsupp  13959  dprdfadd  19932  lcomfsupp  20738  frlmbas  21618  frlmphllem  21643  frlmsslsp  21659  mplsubglem2  21870  ltbwe  21909  pmatcollpw2lem  22601  rrxmval  25255  offinsupp1  32421  elrspunidl  33015  eulerpartgbij  33860  pwfi2f1o  42327  cantnfub  42560  finnzfsuppd  43450  lcoc0  47291
  Copyright terms: Public domain W3C validator