Theorem funisfsupp 9313

Description: The property of a function to be finitely supported (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 23-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funisfsupp	⊢ ((Fun 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Proof of Theorem funisfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfsupp 9311	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
2	1	3adant1 1143	. 2 ⊢ ((Fun 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
3		ibar 536	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅 → ((𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
4	3	bicomd 225	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅 → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
5	4	3ad2ant1 1146	. 2 ⊢ ((Fun 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
6	2, 5	bitrd 281	1 ⊢ ((Fun 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  Fun wfun 6515  (class class class)co 7396   supp csupp 8140  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-fsupp 9308

This theorem is referenced by:  fidmfisupp  9318  finnzfsuppd  9319  suppeqfsuppbi  9325  suppssfifsupp  9326  fsuppunbi  9335  0fsupp  9336  snopfsupp  9337  fsuppres  9339  resfsupp  9342  ffsuppbi  9344  sniffsupp  9346  fsuppco  9348  cantnfp1lem1  9633  fcdmnn0fsuppg  12541  mptnn0fsupp  14010  dprdfadd  20062  lcomfsupp  20966  frlmbas  21804  frlmphllem  21829  frlmsslsp  21845  mplsubglem2  22049  ltbwe  22094  pmatcollpw2lem  22834  rrxmval  25464  offinsupp1  32925  elrspunidl  33611  eulerpartgbij  34666  pwfi2f1o  43670  cantnfub  43895  lcoc0  49041