MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funisfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funisfsupp 9405
Description: The property of a function to be finitely supported (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
funisfsupp ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Proof of Theorem funisfsupp
StepHypRef Expression
1 isfsupp 9403 . . 3 ((𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
213adant1 1129 . 2 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
3 ibar 528 . . . 4 (Fun 𝑅 → ((𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
43bicomd 223 . . 3 (Fun 𝑅 → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
543ad2ant1 1132 . 2 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
62, 5bitrd 279 1 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  Fun wfun 6557  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-fsupp 9400
This theorem is referenced by:  fidmfisupp  9410  finnzfsuppd  9411  suppeqfsuppbi  9417  suppssfifsupp  9418  fsuppunbi  9427  0fsupp  9428  snopfsupp  9429  fsuppres  9431  resfsupp  9434  ffsuppbi  9436  sniffsupp  9438  fsuppco  9440  cantnfp1lem1  9716  fcdmnn0fsuppg  12584  mptnn0fsupp  14035  dprdfadd  20055  lcomfsupp  20917  frlmbas  21793  frlmphllem  21818  frlmsslsp  21834  mplsubglem2  22039  ltbwe  22080  pmatcollpw2lem  22799  rrxmval  25453  offinsupp1  32745  elrspunidl  33436  eulerpartgbij  34354  pwfi2f1o  43085  cantnfub  43311  lcoc0  48268
  Copyright terms: Public domain W3C validator