Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlselvlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlselvlem 41883
Description: Lemma for evlselv 41884. Used to re-index to and from bags of variables in 𝐼 and bags of variables in the subsets 𝐽 and 𝐼 βˆ– 𝐽. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlselvlem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlselvlem.e 𝐸 = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
evlselvlem.c 𝐢 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
evlselvlem.h 𝐻 = (𝑐 ∈ 𝐢, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 βˆͺ 𝑒))
evlselvlem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlselvlem.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlselvlem (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐢 Γ— 𝐸)–1-1-onto→𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝐼   𝑓,𝐽   𝐼,𝑐,𝑒,β„Ž   𝐽,𝑐,𝑒,𝑔   𝐢,𝑐,𝑒   𝐷,𝑐,𝑒   𝐸,𝑐,𝑒   πœ‘,𝑐,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐢(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐷(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐸(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑐)   𝐼(𝑔)   𝐽(β„Ž)   𝑉(𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑐)
Proof of Theorem evlselvlem
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlselvlem.h . 2 𝐻 = (𝑐 ∈ 𝐢, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 βˆͺ 𝑒))
2 evlselvlem.c . . . . . . 7 𝐢 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbagf 21853 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐢 β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
43ad2antrl 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
5 evlselvlem.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
65psrbagf 21853 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
76ad2antll 727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
8 disjdifr 4468 . . . . . 6 ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
98a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
104, 7, 9fun2d 6755 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0)
11 evlselvlem.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
12 undifr 4478 . . . . . . 7 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1413adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1514feq2d 6702 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0 ↔ (𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0))
1610, 15mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0)
17 unexg 7748 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ V)
1817adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ V)
19 0zd 12598 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 0 ∈ β„€)
2010ffund 6720 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ Fun (𝑐 βˆͺ 𝑒))
212psrbagfsupp 21855 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝐢 β†’ 𝑐 finSupp 0)
2221ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐 finSupp 0)
235psrbagfsupp 21855 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ 𝑒 finSupp 0)
2423ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 finSupp 0)
2522, 24fsuppun 9408 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) supp 0) ∈ Fin)
2618, 19, 20, 25isfsuppd 9388 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) finSupp 0)
27 fcdmnn0fsuppg 12559 . . . . 5 (((𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ V ∧ (𝑐 βˆͺ 𝑒):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin))
2818, 10, 27syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin))
2926, 28mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin)
30 evlselvlem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3130adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
32 evlselvlem.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3332psrbag 21852 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3431, 33syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3516, 29, 34mpbir2and 711 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐷)
3630adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
37 difssd 4125 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
38 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
3932, 2, 36, 37, 38psrbagres 41831 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ 𝐢)
4011adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
4132, 5, 36, 40, 38psrbagres 41831 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) ∈ 𝐸)
4232psrbagf 21853 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
4342adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
4443freld 6722 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ Rel 𝑑)
4543fdmd 6727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ dom 𝑑 = 𝐼)
4640, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
4745, 46eqtr4d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ dom 𝑑 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽))
488a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
49 reldisjun 6031 . . . . . 6 ((Rel 𝑑 ∧ dom 𝑑 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
5044, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
5150adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
52 uneq12 4151 . . . . 5 ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
5352eqeq2d 2736 . . . 4 ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) β†’ (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) ↔ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽))))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) β†’ 𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒)))
554ffnd 6717 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
567ffnd 6717 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 Fn 𝐽)
57 fnunres1 6660 . . . . . . . 8 ((𝑐 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ 𝑒 Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑐)
5855, 56, 9, 57syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑐)
5958eqcomd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
60 fnunres2 6661 . . . . . . . 8 ((𝑐 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ 𝑒 Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽) = 𝑒)
6155, 56, 9, 60syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽) = 𝑒)
6261eqcomd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽))
6359, 62jca 510 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽)))
6463adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽)))
65 reseq1 5973 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
6665eqeq2d 2736 . . . . 5 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ↔ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
67 reseq1 5973 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽))
6867eqeq2d 2736 . . . . 5 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽) ↔ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽)))
6966, 68anbi12d 630 . . . 4 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) ↔ (𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽))))
7064, 69syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽))))
7154, 70impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) ↔ 𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒)))
721, 35, 39, 41, 71f1o2d2 41779 1 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐢 Γ— 𝐸)–1-1-onto→𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Rel wrel 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  0cc0 11136  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587
This theorem is referenced by:  evlselv  41884
  Copyright terms: Public domain W3C validator