Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlselvlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlselvlem 41720
Description: Lemma for evlselv 41721. Used to re-index to and from bags of variables in 𝐼 and bags of variables in the subsets 𝐽 and 𝐼 βˆ– 𝐽. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlselvlem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlselvlem.e 𝐸 = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
evlselvlem.c 𝐢 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
evlselvlem.h 𝐻 = (𝑐 ∈ 𝐢, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 βˆͺ 𝑒))
evlselvlem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlselvlem.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlselvlem (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐢 Γ— 𝐸)–1-1-onto→𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝐼   𝑓,𝐽   𝐼,𝑐,𝑒,β„Ž   𝐽,𝑐,𝑒,𝑔   𝐢,𝑐,𝑒   𝐷,𝑐,𝑒   𝐸,𝑐,𝑒   πœ‘,𝑐,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐢(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐷(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐸(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑐)   𝐼(𝑔)   𝐽(β„Ž)   𝑉(𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑐)
Proof of Theorem evlselvlem
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlselvlem.h . 2 𝐻 = (𝑐 ∈ 𝐢, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 βˆͺ 𝑒))
2 evlselvlem.c . . . . . . 7 𝐢 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbagf 21812 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐢 β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
43ad2antrl 725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
5 evlselvlem.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
65psrbagf 21812 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
76ad2antll 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
8 disjdifr 4467 . . . . . 6 ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
98a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
104, 7, 9fun2d 6749 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0)
11 evlselvlem.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
12 undifr 4477 . . . . . . 7 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1413adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1514feq2d 6697 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0 ↔ (𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0))
1610, 15mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0)
17 unexg 7733 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ V)
1817adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ V)
19 0zd 12574 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 0 ∈ β„€)
2010ffund 6715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ Fun (𝑐 βˆͺ 𝑒))
212psrbagfsupp 21814 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝐢 β†’ 𝑐 finSupp 0)
2221ad2antrl 725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐 finSupp 0)
235psrbagfsupp 21814 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ 𝑒 finSupp 0)
2423ad2antll 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 finSupp 0)
2522, 24fsuppun 9384 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) supp 0) ∈ Fin)
2618, 19, 20, 25isfsuppd 9368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) finSupp 0)
27 fcdmnn0fsuppg 12535 . . . . 5 (((𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ V ∧ (𝑐 βˆͺ 𝑒):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin))
2818, 10, 27syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin))
2926, 28mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin)
30 evlselvlem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3130adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
32 evlselvlem.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3332psrbag 21811 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3431, 33syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑐 βˆͺ 𝑒):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑐 βˆͺ 𝑒) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3516, 29, 34mpbir2and 710 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) ∈ 𝐷)
3630adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
37 difssd 4127 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
38 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
3932, 2, 36, 37, 38psrbagres 41677 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ 𝐢)
4011adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
4132, 5, 36, 40, 38psrbagres 41677 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) ∈ 𝐸)
4232psrbagf 21812 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
4443freld 6717 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ Rel 𝑑)
4543fdmd 6722 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ dom 𝑑 = 𝐼)
4640, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
4745, 46eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ dom 𝑑 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽))
488a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
49 reldisjun 6026 . . . . . 6 ((Rel 𝑑 ∧ dom 𝑑 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
5044, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
5150adantrl 713 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
52 uneq12 4153 . . . . 5 ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑒) = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽)))
5352eqeq2d 2737 . . . 4 ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) β†’ (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) ↔ 𝑑 = ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) βˆͺ (𝑑 β†Ύ 𝐽))))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) β†’ 𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒)))
554ffnd 6712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
567ffnd 6712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 Fn 𝐽)
57 fnunres1 6655 . . . . . . . 8 ((𝑐 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ 𝑒 Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑐)
5855, 56, 9, 57syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑐)
5958eqcomd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
60 fnunres2 6656 . . . . . . . 8 ((𝑐 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ 𝑒 Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽) = 𝑒)
6155, 56, 9, 60syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽) = 𝑒)
6261eqcomd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽))
6359, 62jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽)))
6463adantrr 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽)))
65 reseq1 5969 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
6665eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ↔ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
67 reseq1 5969 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽))
6867eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽) ↔ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽)))
6966, 68anbi12d 630 . . . 4 (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) ↔ (𝑐 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = ((𝑐 βˆͺ 𝑒) β†Ύ 𝐽))))
7064, 69syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽))))
7154, 70impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑐 ∈ 𝐢 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑒 = (𝑑 β†Ύ 𝐽)) ↔ 𝑑 = (𝑐 βˆͺ 𝑒)))
721, 35, 39, 41, 71f1o2d2 41621 1 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐢 Γ— 𝐸)–1-1-onto→𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Rel wrel 5674   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563
This theorem is referenced by:  evlselv  41721
  Copyright terms: Public domain W3C validator