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Theorem evlselv 41156
Description: Evaluating a selection of variable assignments, then evaluating the rest of the variables, is the same as evaluating with all assignments. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlselv.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlselv.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlselv.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlselv.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
evlselv.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
evlselv.l 𝐿 = (algScβ€˜π‘ˆ)
evlselv.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlselv.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlselv.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
evlselv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlselv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlselv (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄))
Proof of Theorem evlselv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 𝑓 β„Ž 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
3 evlselv.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 evlselv.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 difssd 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
64, 5ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
7 evlselv.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
83, 6, 7mplcrngd 41115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
98crngringd 20062 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
11 evlselv.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
13 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
14 evlselv.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
15 evlselv.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
16 evlselv.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
17 evlselv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1814, 15, 3, 11, 12, 4, 7, 16, 17selvcl 41152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
1911, 1, 12, 13, 18mplelf 21548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2120ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
22 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrpβ€˜π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜π‘ˆ)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))
244, 16ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
268ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
27 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
28 evlselv.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2928fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐾 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
31 evlselv.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (algScβ€˜π‘ˆ)
327crngringd 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
333, 1, 28, 31, 6, 32mplasclf 21617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐿:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3427, 30, 33elmapdd 8831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐾))
35 evlselv.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3635, 16elmapssresd 41063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ (𝐾 ↑m 𝐽))
3734, 36mapcod 41064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
4013, 1, 22, 23, 25, 26, 38, 39evlsvvvallem 41130 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
411, 2, 10, 21, 40ringcld 20073 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
42 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))
43 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)))
44 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘))
4541, 42, 43, 44fmptco 7123 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘)))
4633ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐿:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
47 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4847, 28mgpbas 19987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5047ringmgp 20055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5132, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5251ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5313psrbagf 21462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
5554ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (π‘’β€˜π‘—) ∈ β„•0)
56 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
5735, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
5857, 16fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
6059ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
6148, 49, 52, 55, 60mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ 𝐾)
6246, 61cofmpt 7126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
633mplassa 21572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
646, 7, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
65 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6631, 65asclrhm 21435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ˆ ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
683, 6, 7mplsca 21563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
6968eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = 𝑅)
7069oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ) = (𝑅 RingHom π‘ˆ))
7167, 70eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
7247, 22rhmmhm 20250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7473ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7548, 49, 23mhmmulg 18989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘’β€˜π‘—) ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
7674, 55, 60, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
7758ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
7977, 78fvco3d 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—) = (πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
8079oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
8176, 80eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))
8281mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))
8362, 82eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))
85 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
86 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
8768, 7eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) ∈ CRing)
88 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
8988crngmgp 20057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Scalarβ€˜π‘ˆ) ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9222ringmgp 20055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
939, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
9588, 22rhmmhm 20250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9667, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9796ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9868fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
9928, 98eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10099ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10161, 100eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
102 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
10388, 102mgpbas 19987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
104101, 103eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
105104fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢(Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
10624mptexd 7222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
107106ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
108 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
109 funmpt 6583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
11154feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)))
11213psrbagfsupp 21464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑒 finSupp 0)
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 finSupp 0)
114111, 113eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) finSupp 0)
115 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) supp 0) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) supp 0))
116 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
11748, 116, 49mulg0 18951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
119 0zd 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
120115, 118, 55, 60, 119suppssov1 8179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) supp 0))
121107, 108, 110, 114, 120fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
122 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
12347, 122ringidval 20000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
124121, 123breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (1rβ€˜π‘…))
12568fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
126 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
12788, 126ringidval 20000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
128125, 127eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
129128ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
130124, 129breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
13185, 86, 91, 94, 25, 97, 105, 130gsummhm 19800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = (πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
13284, 131eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))) = (πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
133132oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
13464ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
135101fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
136130, 127breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
137103, 127, 91, 25, 135, 136gsumcl 19777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
138 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
13931, 65, 102, 1, 2, 138asclmul2 21432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ AssAlg ∧ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
140134, 137, 21, 139syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
141133, 140eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
142141fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘) = ((((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))β€˜π‘))
143 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
144 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
14599ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
146137, 145eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
147 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
1483, 138, 28, 1, 143, 144, 146, 21, 147mplvscaval 21566 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))β€˜π‘) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
149142, 148eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
150149mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))))
15145, 150eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))))
152151oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))))
15369fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜π‘…))
154153ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜π‘…))
155154oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
156155oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
1577ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
158155, 146eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
15919ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1603, 28, 1, 144, 159mplelf 21548 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
161160ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
162161an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
16328, 143, 157, 158, 162crngcomd 41084 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
164156, 163eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
165164mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
166165oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))))
167152, 166eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))))
168167oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
169 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))
170 fveq1 6887 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
171 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 eval π‘ˆ) = (𝐽 eval π‘ˆ)
172171, 11, 12, 13, 1, 22, 23, 2, 24, 8, 18, 37evlvvval 41142 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))
173171, 11, 12, 1, 24, 8, 18, 37evlcl 41141 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
174172, 173eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
175174adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
176 fvexd 6903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘) ∈ V)
177169, 170, 175, 176fvmptd3 7018 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))β€˜(π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
178 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
1799ringcmnd 20094 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CMnd)
180179adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CMnd)
1817crnggrpd 20063 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
182181grpmndd 18828 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
183182adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
184 ovex 7438 . . . . . . . . . . . 12 (β„•0 ↑m 𝐽) ∈ V
185184rabex 5331 . . . . . . . . . . 11 {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
1876adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
188181adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
189 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
1903, 1, 144, 169, 187, 188, 189mplmapghm 41125 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ GrpHom 𝑅))
191 ghmmhm 19096 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ GrpHom 𝑅) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑅))
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑅))
19341fmpttd 7111 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
19424adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
1958adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
19618adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
19737adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
19813, 11, 12, 1, 22, 23, 2, 194, 195, 196, 197evlvvvallem 41143 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1991, 178, 180, 183, 186, 192, 193, 198gsummhm 19800 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))β€˜(π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))))
200172adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))
201200fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
202177, 199, 2013eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘) = (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))))
203202oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
204 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
20532adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20647crngmgp 20057 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2077, 206syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
208207adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
20951ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
210144psrbagf 21462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
212211ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
21357, 5fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
214213adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
215214ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
21648, 49, 209, 212, 215mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) ∈ 𝐾)
217216fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
2186mptexd 7222 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
219218adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
220 fvexd 6903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
221 funmpt 6583 . . . . . . . . . . 11 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
222221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
223211feqmptd 6957 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)))
224144psrbagfsupp 21464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐 finSupp 0)
225224adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 finSupp 0)
226223, 225eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) finSupp 0)
227 ssidd 4004 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) supp 0) βŠ† ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) supp 0))
22848, 116, 49mulg0 18951 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝑣) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
229228adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝑣) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
230 fvexd 6903 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ V)
231 0zd 12566 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
232227, 229, 230, 215, 231suppssov1 8179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) supp 0))
233219, 220, 222, 226, 232fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
23448, 116, 208, 187, 217, 233gsumcl 19777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
23532ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23628, 143, 235, 162, 158ringcld 20073 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
237185mptex 7221 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V
238237a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V)
239 fvexd 6903 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
240 funmpt 6583 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
241240a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
242185mptex 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) ∈ V
243242a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) ∈ V)
244 funmpt 6583 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))
245244a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
24611, 12, 178, 18, 8mplelsfi 21545 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
247246adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
248 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
249 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
25020, 248, 186, 249suppssr 8177 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) = (0gβ€˜π‘ˆ))
251250fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) = ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘))
2523, 144, 204, 178, 6, 181mpl0 21556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
253252adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
254253fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘))
255 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
256255fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
257256adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
258254, 257eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
259258adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
260251, 259eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
261260, 186suppss2 8181 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
262243, 239, 245, 247, 261fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) finSupp (0gβ€˜π‘…))
263 ssidd 4004 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)))
26432ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
265 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
26628, 143, 204, 264, 265ringlzd 41082 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (0gβ€˜π‘…))
267263, 266, 162, 158, 239suppssov1 8179 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)))
268238, 239, 241, 262, 267fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
26928, 204, 143, 205, 186, 234, 236, 268gsummulc1 20121 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
270168, 203, 2693eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
271 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))
272271adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))
273 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ 𝑏 = 𝑐)
274272, 273fveq12d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))
275 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘’β€˜π‘—))
276275adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘’β€˜π‘—))
277276oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
278277mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
279278oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
280274, 279oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
281 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
282281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
283282oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
284283mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
285284oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
286280, 285oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
287 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
288 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ V
289286, 287, 288ovmpoa 7559 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
290289adantll 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
291290mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒)) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
292291oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
293270, 292eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))
294293mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒)))))
295294oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
29632ringcmnd 20094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
297 ovex 7438 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
298297rabex 5331 . . . . . 6 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
299298a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
30032adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
30119adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
302 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3034adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
30416adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
305 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
306302, 13, 303, 304, 305psrbagres 41112 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
307301, 306ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
3083, 28, 1, 144, 307mplelf 21548 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
309 difssd 4131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
310302, 144, 303, 309, 305psrbagres 41112 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
311308, 310ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ 𝐾)
312207adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
31324adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
31451ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
315302psrbagf 21462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
316315adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
317316, 304fssresd 6755 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
318317ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ β„•0)
31958ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
320319adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
32148, 49, 314, 318, 320mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ 𝐾)
322321fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢𝐾)
32324mptexd 7222 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
324323adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
325 fvexd 6903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
326 funmpt 6583 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
327326a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
328302psrbagfsupp 21464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑 finSupp 0)
329328adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 finSupp 0)
330 0zd 12566 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
331329, 330fsuppres 9384 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) finSupp 0)
332 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0) βŠ† ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))
333317, 332, 313, 330suppssr 8177 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = 0)
334333oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
335 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
33648, 116, 49mulg0 18951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
337320, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
338335, 337sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
339334, 338eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
340339, 313suppss2 8181 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))
341324, 325, 327, 331, 340fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
34248, 116, 312, 313, 322, 341gsumcl 19777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
34328, 143, 300, 311, 342ringcld 20073 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
3446adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
34551ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
346316, 309fssresd 6755 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
347346ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
348213ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
349348adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
35048, 49, 345, 347, 349mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) ∈ 𝐾)
351350fmpttd 7111 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
352344mptexd 7222 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
353 funmpt 6583 . . . . . . . . . 10 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
354353a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
355329, 330fsuppres 9384 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) finSupp 0)
356 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0) βŠ† ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))
357346, 356, 344, 330suppssr 8177 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = 0)
358357oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
359 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
360359, 349sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
36148, 116, 49mulg0 18951 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
362360, 361syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
363358, 362eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
364363, 344suppss2 8181 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))
365352, 325, 354, 355, 364fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
36648, 116, 312, 344, 351, 365gsumcl 19777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
36728, 143, 300, 343, 366ringcld 20073 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
368367fmpttd 7111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
369298mptex 7221 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∈ V
370369a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∈ V)
371 fvexd 6903 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
372 funmpt 6583 . . . . . . 7 Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
373372a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
374298mptex 7221 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V
375374a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V)
376 funmpt 6583 . . . . . . . 8 Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
377376a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
3787adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
37917adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
380302, 14, 15, 303, 378, 304, 379, 305selvvvval 41154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (πΉβ€˜π‘‘))
381380mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
382 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
38314, 382, 15, 302, 17mplelf 21548 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
384383feqmptd 6957 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
38514, 15, 204, 17, 7mplelsfi 21545 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
386384, 385eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) finSupp (0gβ€˜π‘…))
387381, 386eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
388 ssidd 4004 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) supp (0gβ€˜π‘…)))
38932adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
390 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
39128, 143, 204, 389, 390ringlzd 41082 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (0gβ€˜π‘…))
392 fvexd 6903 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ V)
393388, 391, 392, 342, 371suppssov1 8179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) supp (0gβ€˜π‘…)))
394375, 371, 377, 387, 393fsuppsssuppgd 41061 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
395 ssidd 4004 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
396 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ V)
397395, 391, 396, 366, 371suppssov1 8179 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
398370, 371, 373, 394, 397fsuppsssuppgd 41061 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
399 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))
400302, 13, 144, 399, 4, 16evlselvlem 41155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1-ontoβ†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
40128, 204, 296, 299, 368, 398, 400gsumf1o 19778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))))
402144psrbagf 21462 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
403402ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
40413psrbagf 21462 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘Ž:π½βŸΆβ„•0)
405404ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž:π½βŸΆβ„•0)
406 disjdifr 4471 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
407406a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
408403, 405, 407fun2d 6752 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0)
409 undifr 4481 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
41016, 409sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
411410adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
412411feq2d 6700 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0 ↔ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0))
413408, 412mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0)
414 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
415 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 π‘Ž ∈ V
416414, 415unex 7729 . . . . . . . . . 10 (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V
417416a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V)
418 0zd 12566 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 0 ∈ β„€)
419413ffund 6718 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ Fun (𝑏 βˆͺ π‘Ž))
420144psrbagfsupp 21464 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏 finSupp 0)
421420ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 finSupp 0)
42213psrbagfsupp 21464 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘Ž finSupp 0)
423422ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž finSupp 0)
424421, 423fsuppun 9378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) supp 0) ∈ Fin)
425417, 418, 419, 424isfsuppd 9362 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0)
426 fcdmnn0fsuppg 12527 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V ∧ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin))
427417, 413, 426syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin))
428425, 427mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)
4294adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
430302psrbag 21461 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)))
431429, 430syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)))
432413, 428, 431mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
433 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))
434 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
435 reseq1 5973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) = ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))
436435fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)))
437 reseq1 5973 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
438436, 437fveq12d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
439435fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))
440439oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
441440mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
442441oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
443438, 442oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
444437fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))
445444oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
446445mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
447446oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
448443, 447oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
449416, 448csbie 3928 . . . . . . 7 ⦋(𝑏 βˆͺ π‘Ž) / π‘‘β¦Œ(((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
450402ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
451450ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
452405ffnd 6715 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž Fn 𝐽)
453 fnunres2 6659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ π‘Ž Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽) = π‘Ž)
454451, 452, 407, 453syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽) = π‘Ž)
455454fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž))
456 fnunres1 6658 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ π‘Ž Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑏)
457451, 452, 407, 456syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑏)
458455, 457fveq12d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
459454fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π‘Žβ€˜π‘—))
460459oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
461460mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
462461oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
463458, 462oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
464457fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
465464oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
466465mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
467466oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
468463, 467oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
469449, 468eqtrid 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ⦋(𝑏 βˆͺ π‘Ž) / π‘‘β¦Œ(((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
470432, 433, 434, 469fmpocos 41053 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
471470oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
472 ovex 7438 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ V
473472rabex 5331 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
474473a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
475185a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
47632adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47719ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4783, 28, 1, 144, 477mplelf 21548 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
479478ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
480479an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
481480anasss 467 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
48224adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝐽 ∈ V)
4837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
48436adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ (𝐾 ↑m 𝐽))
485 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
48613, 28, 47, 49, 482, 483, 484, 485evlsvvvallem 41130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
48728, 143, 476, 481, 486ringcld 20073 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
4886adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
48935, 5elmapssresd 41063 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ (𝐾 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)))
490489adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ (𝐾 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)))
491 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
492144, 28, 47, 49, 488, 483, 490, 491evlsvvvallem 41130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
49328, 143, 476, 487, 492ringcld 20073 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
494493ralrimivva 3200 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}βˆ€π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
495287fmpo 8050 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}βˆ€π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾 ↔ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})⟢𝐾)
496494, 495sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})⟢𝐾)
497 f1of1 6829 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1-ontoβ†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
498400, 497syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
499398, 498, 371, 370fsuppco 9393 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
500470, 499eqbrtrrd 5171 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
50128, 204, 296, 474, 475, 496, 500gsumxp 19838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
502401, 471, 5013eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
50328, 143, 300, 311, 342, 366ringassd 20072 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)(((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
50447, 143mgpplusg 19985 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
50551ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
506316ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
50757adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
508507ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝐾)
50948, 49, 505, 506, 508mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) ∈ 𝐾)
510509fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))):𝐼⟢𝐾)
5114mptexd 7222 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) ∈ V)
512511adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) ∈ V)
513 funmpt 6583 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))
514513a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
515316feqmptd 6957 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
516515, 329eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) finSupp 0)
517 ssidd 4004 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) supp 0) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) supp 0))
518117adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
519517, 518, 506, 508, 330suppssov1 8179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) supp 0))
520512, 325, 514, 516, 519fsuppsssuppgd 41061 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
521 disjdif 4470 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…
522521a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…)
523 undif 4480 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
52416, 523sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
525524eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
526525adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 = (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
52748, 116, 504, 312, 303, 510, 520, 522, 526gsumsplit 19790 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
528304resmptd 6038 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽) = (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
529 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘—))
530 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
531529, 530oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) = ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
532531cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
533 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
534533fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π‘‘β€˜π‘—))
535533fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
536534, 535oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
537536eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)) = (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
538537mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
539532, 538eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
540528, 539eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
541540oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
542309resmptd 6038 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
543 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
544 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘˜))
545543, 544oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) = ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
546545cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
547 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
548547fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘˜))
549547fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
550548, 549oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
551550eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)) = (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
552551mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
553546, 552eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
554542, 553eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
555554oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
556541, 555oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
557527, 556eqtr2d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))))
558380, 557oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)(((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))
559503, 558eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))
560559mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))))))
561560oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
562295, 502, 5613eqtr2d 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
563 eqid 2732 . . 3 ((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅) = ((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)
564563, 3, 1, 144, 28, 47, 49, 143, 6, 7, 173, 489evlvvval 41142 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
565 eqid 2732 . . 3 (𝐼 eval 𝑅) = (𝐼 eval 𝑅)
566565, 14, 15, 302, 28, 47, 49, 143, 4, 7, 17, 35evlvvval 41142 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
567562, 564, 5663eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  0cc0 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  Grpcgrp 18815  .gcmg 18944   GrpHom cghm 19083  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  AssAlgcasa 21396  algSccascl 21398   mPoly cmpl 21450   eval cevl 21625   selectVars cslv 21662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626  df-evl 21627  df-selv 21666
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