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Theorem evlselv 41851
Description: Evaluating a selection of variable assignments, then evaluating the rest of the variables, is the same as evaluating with all assignments. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlselv.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlselv.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlselv.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlselv.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
evlselv.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
evlselv.l 𝐿 = (algScβ€˜π‘ˆ)
evlselv.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlselv.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlselv.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
evlselv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlselv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlselv (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄))

Proof of Theorem evlselv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 𝑓 β„Ž 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
3 evlselv.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 evlselv.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 difssd 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
64, 5ssexd 5328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
7 evlselv.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
83, 6, 7mplcrngd 41810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
98crngringd 20193 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
11 evlselv.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
13 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
14 evlselv.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
15 evlselv.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
16 evlselv.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
17 evlselv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1814, 15, 3, 11, 12, 4, 7, 16, 17selvcl 41847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
1911, 1, 12, 13, 18mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2120ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
22 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrpβ€˜π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜π‘ˆ)
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))
244, 16ssexd 5328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
268ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
27 fvexd 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
28 evlselv.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2928fvexi 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐾 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
31 evlselv.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (algScβ€˜π‘ˆ)
327crngringd 20193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
333, 1, 28, 31, 6, 32mplasclf 22016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐿:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3427, 30, 33elmapdd 8866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐾))
35 evlselv.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3635, 16elmapssresd 41763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ (𝐾 ↑m 𝐽))
3734, 36mapcod 41764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
39 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
4013, 1, 22, 23, 25, 26, 38, 39evlsvvvallem 41825 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
411, 2, 10, 21, 40ringcld 20206 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
42 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))
43 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)))
44 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘))
4541, 42, 43, 44fmptco 7144 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘)))
4633ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐿:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
47 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4847, 28mgpbas 20087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
49 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5047ringmgp 20186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5132, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5251ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5313psrbagf 21858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
5453adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
5554ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (π‘’β€˜π‘—) ∈ β„•0)
56 elmapi 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
5735, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
5857, 16fssresd 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
6059ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
6148, 49, 52, 55, 60mulgnn0cld 19057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ 𝐾)
6246, 61cofmpt 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
633mplassa 21971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
646, 7, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
65 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6631, 65asclrhm 21830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ˆ ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
683, 6, 7mplsca 21962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
6968eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = 𝑅)
7069oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ) = (𝑅 RingHom π‘ˆ))
7167, 70eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
7247, 22rhmmhm 20425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7473ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7548, 49, 23mhmmulg 19077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘’β€˜π‘—) ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
7674, 55, 60, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
7758ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
78 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
7977, 78fvco3d 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—) = (πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
8079oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
8176, 80eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))
8281mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))
8362, 82eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))
8483oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))
85 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
86 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
8768, 7eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) ∈ CRing)
88 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
8988crngmgp 20188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Scalarβ€˜π‘ˆ) ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9222ringmgp 20186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
939, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
9588, 22rhmmhm 20425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9667, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9796ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9868fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
9928, 98eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10099ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10161, 100eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
102 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
10388, 102mgpbas 20087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
104101, 103eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
105104fmpttd 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢(Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
10654feqmptd 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)))
10713psrbagfsupp 21860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑒 finSupp 0)
108107adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 finSupp 0)
109106, 108eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) finSupp 0)
110 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
11148, 110, 49mulg0 19037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
112111adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
113 fvexd 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
114109, 112, 55, 60, 113fsuppssov1 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
115 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
11647, 115ringidval 20130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
117114, 116breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (1rβ€˜π‘…))
11868fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
119 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
12088, 119ringidval 20130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
121118, 120eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
123117, 122breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
12485, 86, 91, 94, 25, 97, 105, 123gsummhm 19900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = (πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
12584, 124eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))) = (πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
126125oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
12764ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
128101fmpttd 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
129123, 120breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
130103, 120, 91, 25, 128, 129gsumcl 19877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
131 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
13231, 65, 102, 1, 2, 131asclmul2 21827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ AssAlg ∧ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
133127, 130, 21, 132syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
134126, 133eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
135134fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘) = ((((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))β€˜π‘))
136 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
137 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
13899ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
139130, 138eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
140 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
1413, 131, 28, 1, 136, 137, 139, 21, 140mplvscaval 21965 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))β€˜π‘) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
142135, 141eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
143142mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))))
14445, 143eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))))
145144oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))))
14669fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜π‘…))
147146ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜π‘…))
148147oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
149148oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
1507ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
151148, 139eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
15219ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1533, 28, 1, 137, 152mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
154153ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
155154an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
15628, 136, 150, 151, 155crngcomd 20202 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
157149, 156eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
158157mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
159158oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))))
160145, 159eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))))
161160oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
162 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))
163 fveq1 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
164 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 eval π‘ˆ) = (𝐽 eval π‘ˆ)
165164, 11, 12, 13, 1, 22, 23, 2, 24, 8, 18, 37evlvvval 41837 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))
166164, 11, 12, 1, 24, 8, 18, 37evlcl 41836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
167165, 166eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
168167adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
169 fvexd 6917 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘) ∈ V)
170162, 163, 168, 169fvmptd3 7033 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))β€˜(π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
171 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
1729ringcmnd 20227 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CMnd)
173172adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CMnd)
1747crnggrpd 20194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
175174grpmndd 18910 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
176175adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
177 ovex 7459 . . . . . . . . . . . 12 (β„•0 ↑m 𝐽) ∈ V
178177rabex 5338 . . . . . . . . . . 11 {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
179178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
1806adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
181174adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
182 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
1833, 1, 137, 162, 180, 181, 182mplmapghm 41820 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ GrpHom 𝑅))
184 ghmmhm 19187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ GrpHom 𝑅) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑅))
185183, 184syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑅))
18641fmpttd 7130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
18724adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
1888adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
18918adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
19037adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
19113, 11, 12, 1, 22, 23, 2, 187, 188, 189, 190evlvvvallem 41838 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1921, 171, 173, 176, 179, 185, 186, 191gsummhm 19900 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))β€˜(π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))))
193165adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))
194193fveq1d 6904 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
195170, 192, 1943eqtr4rd 2779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘) = (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))))
196195oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
197 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
19832adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19947crngmgp 20188 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2007, 199syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
201200adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
20251ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
203137psrbagf 21858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
204203adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
205204ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
20657, 5fssresd 6769 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
207206adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
208207ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
20948, 49, 202, 205, 208mulgnn0cld 19057 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) ∈ 𝐾)
210209fmpttd 7130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
211204feqmptd 6972 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)))
212137psrbagfsupp 21860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐 finSupp 0)
213212adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 finSupp 0)
214211, 213eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) finSupp 0)
21548, 110, 49mulg0 19037 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝑣) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
216215adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝑣) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
217 fvexd 6917 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ V)
218 fvexd 6917 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
219214, 216, 217, 208, 218fsuppssov1 9415 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
22048, 110, 201, 180, 210, 219gsumcl 19877 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
22132ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22228, 136, 221, 155, 151ringcld 20206 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
223178mptex 7241 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) ∈ V
224223a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) ∈ V)
225 fvexd 6917 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
226 funmpt 6596 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))
227226a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
22811, 12, 171, 18, 8mplelsfi 21944 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
229228adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
230 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
231 fvexd 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
23220, 230, 179, 231suppssr 8207 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) = (0gβ€˜π‘ˆ))
233232fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) = ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘))
2343, 137, 197, 171, 6, 174mpl0 21955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
235234adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
236235fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘))
237 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
238237fvconst2 7222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
239238adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
240236, 239eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
241240adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
242233, 241eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
243242, 179suppss2 8212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
244224, 225, 227, 229, 243fsuppsssuppgd 9413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) finSupp (0gβ€˜π‘…))
24532ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
246 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
24728, 136, 197, 245, 246ringlzd 20238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (0gβ€˜π‘…))
248244, 247, 155, 151, 225fsuppssov1 9415 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
24928, 197, 136, 198, 179, 220, 222, 248gsummulc1 20259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
250161, 196, 2493eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
251 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))
252251adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))
253 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ 𝑏 = 𝑐)
254252, 253fveq12d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))
255 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘’β€˜π‘—))
256255adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘’β€˜π‘—))
257256oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
258257mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
259258oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
260254, 259oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
261 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
262261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
263262oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
264263mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
265264oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
266260, 265oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
267 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
268 ovex 7459 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ V
269266, 267, 268ovmpoa 7582 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
270269adantll 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
271270mpteq2dva 5252 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒)) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
272271oveq2d 7442 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
273250, 272eqtr4d 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))
274273mpteq2dva 5252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒)))))
275274oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
27632ringcmnd 20227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
277 ovex 7459 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
278277rabex 5338 . . . . . 6 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
279278a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
28032adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
28119adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
282 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
2834adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
28416adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
285 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
286282, 13, 283, 284, 285psrbagres 41807 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
287281, 286ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2883, 28, 1, 137, 287mplelf 21947 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
289 difssd 4133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
290282, 137, 283, 289, 285psrbagres 41807 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
291288, 290ffvelcdmd 7100 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ 𝐾)
292200adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
29324adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
29451ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
295282psrbagf 21858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
296295adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
297296, 284fssresd 6769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
298297ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ β„•0)
29958ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
300299adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
30148, 49, 294, 298, 300mulgnn0cld 19057 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ 𝐾)
302301fmpttd 7130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢𝐾)
30324mptexd 7242 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
304303adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
305 fvexd 6917 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
306 funmpt 6596 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
307306a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
308282psrbagfsupp 21860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑 finSupp 0)
309308adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 finSupp 0)
310 0zd 12608 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
311309, 310fsuppres 9424 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) finSupp 0)
312 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0) βŠ† ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))
313297, 312, 293, 310suppssr 8207 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = 0)
314313oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
315 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
31648, 110, 49mulg0 19037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
317300, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
318315, 317sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
319314, 318eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
320319, 293suppss2 8212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))
321304, 305, 307, 311, 320fsuppsssuppgd 9413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
32248, 110, 292, 293, 302, 321gsumcl 19877 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
32328, 136, 280, 291, 322ringcld 20206 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
3246adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
32551ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
326296, 289fssresd 6769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
327326ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
328206ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
329328adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
33048, 49, 325, 327, 329mulgnn0cld 19057 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) ∈ 𝐾)
331330fmpttd 7130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
332324mptexd 7242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
333 funmpt 6596 . . . . . . . . . 10 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
334333a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
335309, 310fsuppres 9424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) finSupp 0)
336 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0) βŠ† ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))
337326, 336, 324, 310suppssr 8207 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = 0)
338337oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
339 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
340339, 329sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
34148, 110, 49mulg0 19037 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
342340, 341syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
343338, 342eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
344343, 324suppss2 8212 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))
345332, 305, 334, 335, 344fsuppsssuppgd 9413 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
34648, 110, 292, 324, 331, 345gsumcl 19877 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
34728, 136, 280, 323, 346ringcld 20206 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
348347fmpttd 7130 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
3497adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
35017adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
351282, 14, 15, 283, 349, 284, 350, 285selvvvval 41849 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (πΉβ€˜π‘‘))
352351mpteq2dva 5252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
353 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
35414, 353, 15, 282, 17mplelf 21947 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
355354feqmptd 6972 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
35614, 15, 197, 17, 7mplelsfi 21944 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
357355, 356eqbrtrrd 5176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) finSupp (0gβ€˜π‘…))
358352, 357eqbrtrd 5174 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
35932adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
360 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
36128, 136, 197, 359, 360ringlzd 20238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (0gβ€˜π‘…))
362 fvexd 6917 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ V)
363 fvexd 6917 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
364358, 361, 362, 322, 363fsuppssov1 9415 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
365 ovexd 7461 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ V)
366364, 361, 365, 346, 363fsuppssov1 9415 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
367 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))
368282, 13, 137, 367, 4, 16evlselvlem 41850 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1-ontoβ†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
36928, 197, 276, 279, 348, 366, 368gsumf1o 19878 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))))
370137psrbagf 21858 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
371370ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
37213psrbagf 21858 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘Ž:π½βŸΆβ„•0)
373372ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž:π½βŸΆβ„•0)
374 disjdifr 4476 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
375374a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
376371, 373, 375fun2d 6766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0)
377 undifr 4486 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
37816, 377sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
379378adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
380379feq2d 6713 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0 ↔ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0))
381376, 380mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0)
382 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
383 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 π‘Ž ∈ V
384382, 383unex 7754 . . . . . . . . . 10 (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V
385384a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V)
386 0zd 12608 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 0 ∈ β„€)
387381ffund 6731 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ Fun (𝑏 βˆͺ π‘Ž))
388137psrbagfsupp 21860 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏 finSupp 0)
389388ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 finSupp 0)
39013psrbagfsupp 21860 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘Ž finSupp 0)
391390ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž finSupp 0)
392389, 391fsuppun 9418 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) supp 0) ∈ Fin)
393385, 386, 387, 392isfsuppd 9398 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0)
394 fcdmnn0fsuppg 12569 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V ∧ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin))
395385, 381, 394syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin))
396393, 395mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)
3974adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
398282psrbag 21857 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)))
399397, 398syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)))
400381, 396, 399mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
401 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))
402 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
403 reseq1 5983 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) = ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))
404403fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)))
405 reseq1 5983 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
406404, 405fveq12d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
407403fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))
408407oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
409408mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
410409oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
411406, 410oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
412405fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))
413412oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
414413mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
415414oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
416411, 415oveq12d 7444 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
417384, 416csbie 3930 . . . . . . 7 ⦋(𝑏 βˆͺ π‘Ž) / π‘‘β¦Œ(((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
418370ffnd 6728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
419418ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
420373ffnd 6728 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž Fn 𝐽)
421 fnunres2 6672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ π‘Ž Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽) = π‘Ž)
422419, 420, 375, 421syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽) = π‘Ž)
423422fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž))
424 fnunres1 6671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ π‘Ž Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑏)
425419, 420, 375, 424syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑏)
426423, 425fveq12d 6909 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
427422fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π‘Žβ€˜π‘—))
428427oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
429428mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
430429oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
431426, 430oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
432425fveq1d 6904 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
433432oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
434433mpteq2dv 5254 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
435434oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
436431, 435oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
437417, 436eqtrid 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ⦋(𝑏 βˆͺ π‘Ž) / π‘‘β¦Œ(((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
438400, 401, 402, 437fmpocos 41756 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
439438oveq2d 7442 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
440 ovex 7459 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ V
441440rabex 5338 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
442441a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
443178a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
44432adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
44519ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4463, 28, 1, 137, 445mplelf 21947 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
447446ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
448447an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
449448anasss 465 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
45024adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝐽 ∈ V)
4517adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
45236adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ (𝐾 ↑m 𝐽))
453 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
45413, 28, 47, 49, 450, 451, 452, 453evlsvvvallem 41825 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
45528, 136, 444, 449, 454ringcld 20206 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
4566adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
45735, 5elmapssresd 41763 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ (𝐾 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)))
458457adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ (𝐾 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)))
459 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
460137, 28, 47, 49, 456, 451, 458, 459evlsvvvallem 41825 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
46128, 136, 444, 455, 460ringcld 20206 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
462461ralrimivva 3198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}βˆ€π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
463267fmpo 8078 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}βˆ€π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾 ↔ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})⟢𝐾)
464462, 463sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})⟢𝐾)
465 f1of1 6843 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1-ontoβ†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
466368, 465syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
467278mptex 7241 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∈ V
468467a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∈ V)
469366, 466, 363, 468fsuppco 9433 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
470438, 469eqbrtrrd 5176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
47128, 197, 276, 442, 443, 464, 470gsumxp 19938 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
472369, 439, 4713eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
47328, 136, 280, 291, 322, 346ringassd 20204 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)(((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
47447, 136mgpplusg 20085 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
47551ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
476296ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
47757adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
478477ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝐾)
47948, 49, 475, 476, 478mulgnn0cld 19057 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) ∈ 𝐾)
480479fmpttd 7130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))):𝐼⟢𝐾)
481296feqmptd 6972 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
482481, 309eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) finSupp 0)
483111adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
484482, 483, 476, 478, 305fsuppssov1 9415 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
485 disjdif 4475 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…
486485a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…)
487 undif 4485 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
48816, 487sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
489488eqcomd 2734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
490489adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 = (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
49148, 110, 474, 292, 283, 480, 484, 486, 490gsumsplit 19890 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
492284resmptd 6049 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽) = (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
493 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘—))
494 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
495493, 494oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) = ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
496495cbvmptv 5265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
497 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
498497fvresd 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π‘‘β€˜π‘—))
499497fvresd 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
500498, 499oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
501500eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)) = (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
502501mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
503496, 502eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
504492, 503eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
505504oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
506289resmptd 6049 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
507 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
508 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘˜))
509507, 508oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) = ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
510509cbvmptv 5265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
511 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
512511fvresd 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘˜))
513511fvresd 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
514512, 513oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
515514eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)) = (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
516515mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
517510, 516eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
518506, 517eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
519518oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
520505, 519oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
521491, 520eqtr2d 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))))
522351, 521oveq12d 7444 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)(((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))
523473, 522eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))
524523mpteq2dva 5252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))))))
525524oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
526275, 472, 5253eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
527 eqid 2728 . . 3 ((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅) = ((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)
528527, 3, 1, 137, 28, 47, 49, 136, 6, 7, 166, 457evlvvval 41837 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
529 eqid 2728 . . 3 (𝐼 eval 𝑅) = (𝐼 eval 𝑅)
530529, 14, 15, 282, 28, 47, 49, 136, 4, 7, 17, 35evlvvval 41837 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
531526, 528, 5303eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   supp csupp 8171   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970   finSupp cfsupp 9393  0cc0 11146  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  Grpcgrp 18897  .gcmg 19030   GrpHom cghm 19174  CMndccmn 19742  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415  AssAlgcasa 21791  algSccascl 21793   mPoly cmpl 21846   eval cevl 22024   selectVars cslv 22061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-evls 22025  df-evl 22026  df-selv 22065
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