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Theorem evlselv 41698
Description: Evaluating a selection of variable assignments, then evaluating the rest of the variables, is the same as evaluating with all assignments. (Contributed by SN, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlselv.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlselv.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlselv.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlselv.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
evlselv.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
evlselv.l 𝐿 = (algScβ€˜π‘ˆ)
evlselv.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlselv.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlselv.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
evlselv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlselv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlselv (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄))
Proof of Theorem evlselv
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 𝑓 β„Ž 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
3 evlselv.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 evlselv.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 difssd 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
64, 5ssexd 5317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
7 evlselv.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
83, 6, 7mplcrngd 41657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
98crngringd 20148 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
11 evlselv.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
13 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}
14 evlselv.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
15 evlselv.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
16 evlselv.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
17 evlselv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1814, 15, 3, 11, 12, 4, 7, 16, 17selvcl 41694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
1911, 1, 12, 13, 18mplelf 21894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2120ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrpβ€˜π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜π‘ˆ)
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))
244, 16ssexd 5317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
268ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
27 fvexd 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
28 evlselv.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2928fvexi 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐾 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
31 evlselv.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (algScβ€˜π‘ˆ)
327crngringd 20148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
333, 1, 28, 31, 6, 32mplasclf 21963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐿:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3427, 30, 33elmapdd 8834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐾))
35 evlselv.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3635, 16elmapssresd 41609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ (𝐾 ↑m 𝐽))
3734, 36mapcod 41610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
3837ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
4013, 1, 22, 23, 25, 26, 38, 39evlsvvvallem 41672 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
411, 2, 10, 21, 40ringcld 20159 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
42 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))
43 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)))
44 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘))
4541, 42, 43, 44fmptco 7122 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘)))
4633ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐿:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
47 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4847, 28mgpbas 20042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
5047ringmgp 20141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5132, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5251ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
5313psrbagf 21807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒:π½βŸΆβ„•0)
5554ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (π‘’β€˜π‘—) ∈ β„•0)
56 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
5735, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
5857, 16fssresd 6751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
6059ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
6148, 49, 52, 55, 60mulgnn0cld 19019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ 𝐾)
6246, 61cofmpt 7125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
633mplassa 21918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
646, 7, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
65 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6631, 65asclrhm 21779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ˆ ∈ AssAlg β†’ 𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
683, 6, 7mplsca 21909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
6968eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = 𝑅)
7069oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ) = (𝑅 RingHom π‘ˆ))
7167, 70eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ))
7247, 22rhmmhm 20378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ (𝑅 RingHom π‘ˆ) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7473ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
7548, 49, 23mhmmulg 19039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘’β€˜π‘—) ∈ β„•0 ∧ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
7674, 55, 60, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
7758ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐾)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
7977, 78fvco3d 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—) = (πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
8079oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))(πΏβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
8176, 80eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))
8281mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (πΏβ€˜((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))
8362, 82eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))
8483oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))
85 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
86 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
8768, 7eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) ∈ CRing)
88 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
8988crngmgp 20143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Scalarβ€˜π‘ˆ) ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9190ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∈ CMnd)
9222ringmgp 20141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
939, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
9493ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ˆ) ∈ Mnd)
9588, 22rhmmhm 20378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9667, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9796ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) MndHom (mulGrpβ€˜π‘ˆ)))
9868fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
9928, 98eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10099ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
10161, 100eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
102 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
10388, 102mgpbas 20042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
104101, 103eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
105104fmpttd 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢(Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
10624mptexd 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
107106ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
108 fvexd 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
109 funmpt 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
11154feqmptd 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)))
11213psrbagfsupp 21809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑒 finSupp 0)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑒 finSupp 0)
114111, 113eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) finSupp 0)
115 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) supp 0) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) supp 0))
116 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
11748, 116, 49mulg0 18999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
119 0zd 12571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
120115, 118, 55, 60, 119suppssov1 8180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (π‘’β€˜π‘—)) supp 0))
121107, 108, 110, 114, 120fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
122 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
12347, 122ringidval 20085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
124121, 123breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (1rβ€˜π‘…))
12568fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
126 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
12788, 126ringidval 20085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
128125, 127eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
129128ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
130124, 129breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
13185, 86, 91, 94, 25, 97, 105, 130gsummhm 19855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝐿 ∘ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = (πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
13284, 131eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))) = (πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
133132oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
13464ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
135101fmpttd 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
136130, 127breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
137103, 127, 91, 25, 135, 136gsumcl 19832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
138 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
13931, 65, 102, 1, 2, 138asclmul2 21776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ AssAlg ∧ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
140134, 137, 21, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
141133, 140eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)))
142141fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘) = ((((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))β€˜π‘))
143 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
144 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
14599ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
146137, 145eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
147 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
1483, 138, 28, 1, 143, 144, 146, 21, 147mplvscaval 21912 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))β€˜π‘) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
149142, 148eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
150149mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))))
15145, 150eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))))
152151oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))))
15369fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜π‘…))
154153ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜π‘…))
155154oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
156155oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
1577ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
158155, 146eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
15919ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
1603, 28, 1, 144, 159mplelf 21894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
161160ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
162161an32s 649 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
16328, 143, 157, 158, 162crngcomd 41628 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
164156, 163eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
165164mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
166165oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)(((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))))
167152, 166eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))))
168167oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
169 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))
170 fveq1 6883 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
171 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 eval π‘ˆ) = (𝐽 eval π‘ˆ)
172171, 11, 12, 13, 1, 22, 23, 2, 24, 8, 18, 37evlvvval 41684 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))
173171, 11, 12, 1, 24, 8, 18, 37evlcl 41683 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
174172, 173eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
175174adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
176 fvexd 6899 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘) ∈ V)
177169, 170, 175, 176fvmptd3 7014 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))β€˜(π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
178 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
1799ringcmnd 20180 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CMnd)
180179adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CMnd)
1817crnggrpd 20149 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
182181grpmndd 18873 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
183182adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
184 ovex 7437 . . . . . . . . . . . 12 (β„•0 ↑m 𝐽) ∈ V
185184rabex 5325 . . . . . . . . . . 11 {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
1876adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
188181adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
189 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
1903, 1, 144, 169, 187, 188, 189mplmapghm 41667 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ GrpHom 𝑅))
191 ghmmhm 19148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ GrpHom 𝑅) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑅))
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑅))
19341fmpttd 7109 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
19424adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
1958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
19618adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
19737adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((Baseβ€˜π‘ˆ) ↑m 𝐽))
19813, 11, 12, 1, 22, 23, 2, 194, 195, 196, 197evlvvvallem 41685 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1991, 178, 180, 183, 186, 192, 193, 198gsummhm 19855 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))) = ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘))β€˜(π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))))
200172adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = (π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))
201200fveq1d 6886 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘) = ((π‘ˆ Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))β€˜π‘))
202177, 199, 2013eqtr4rd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘) = (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—)))))))))
203202oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘’β€˜π‘)) ∘ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)(.rβ€˜π‘ˆ)((mulGrpβ€˜π‘ˆ) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ˆ))((𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘—))))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
204 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
20532adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20647crngmgp 20143 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2077, 206syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
208207adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
20951ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
210144psrbagf 21807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
211210adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
212211ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
21357, 5fssresd 6751 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
214213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
215214ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
21648, 49, 209, 212, 215mulgnn0cld 19019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) ∈ 𝐾)
217216fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
2186mptexd 7220 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
219218adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
220 fvexd 6899 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
221 funmpt 6579 . . . . . . . . . . 11 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
222221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
223211feqmptd 6953 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)))
224144psrbagfsupp 21809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐 finSupp 0)
225224adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑐 finSupp 0)
226223, 225eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) finSupp 0)
227 ssidd 4000 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) supp 0) βŠ† ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) supp 0))
22848, 116, 49mulg0 18999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝑣) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
229228adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝑣) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
230 fvexd 6899 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ V)
231 0zd 12571 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
232227, 229, 230, 215, 231suppssov1 8180 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘β€˜π‘˜)) supp 0))
233219, 220, 222, 226, 232fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
23448, 116, 208, 187, 217, 233gsumcl 19832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
23532ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23628, 143, 235, 162, 158ringcld 20159 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
237185mptex 7219 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V
238237a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V)
239 fvexd 6899 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
240 funmpt 6579 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
241240a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
242185mptex 7219 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) ∈ V
243242a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) ∈ V)
244 funmpt 6579 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))
245244a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)))
24611, 12, 178, 18, 8mplelsfi 21891 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
247246adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
248 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
249 fvexd 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
25020, 248, 186, 249suppssr 8178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’) = (0gβ€˜π‘ˆ))
251250fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) = ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘))
2523, 144, 204, 178, 6, 181mpl0 21902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
253252adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
254253fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘))
255 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
256255fvconst2 7200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
258254, 257eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
259258adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((0gβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
260251, 259eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘) = (0gβ€˜π‘…))
261260, 186suppss2 8183 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
262243, 239, 245, 247, 261fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) finSupp (0gβ€˜π‘…))
263 ssidd 4000 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)))
26432ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
265 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
26628, 143, 204, 264, 265ringlzd 20191 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (0gβ€˜π‘…))
267263, 266, 162, 158, 239suppssov1 8180 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)) supp (0gβ€˜π‘…)))
268238, 239, 241, 262, 267fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
26928, 204, 143, 205, 186, 234, 236, 268gsummulc1 20212 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
270168, 203, 2693eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
271 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))
272271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’))
273 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ 𝑏 = 𝑐)
274272, 273fveq12d 6891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘))
275 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘’β€˜π‘—))
276275adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘Žβ€˜π‘—) = (π‘’β€˜π‘—))
277276oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
278277mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
279278oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
280274, 279oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
281 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
282281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
283282oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
284283mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
285284oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
286280, 285oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑐 ∧ π‘Ž = 𝑒) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
287 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
288 ovex 7437 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ V
289286, 287, 288ovmpoa 7558 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
290289adantll 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
291290mpteq2dva 5241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒)) = (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
292291oveq2d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘’)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘’β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
293270, 292eqtr4d 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))
294293mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒)))))
295294oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
29632ringcmnd 20180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
297 ovex 7437 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
298297rabex 5325 . . . . . 6 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
299298a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
30032adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
30119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ):{𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
302 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3034adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
30416adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
305 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
306302, 13, 303, 304, 305psrbagres 41654 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
307301, 306ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
3083, 28, 1, 144, 307mplelf 21894 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
309 difssd 4127 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
310302, 144, 303, 309, 305psrbagres 41654 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
311308, 310ffvelcdmd 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ 𝐾)
312207adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
31324adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐽 ∈ V)
31451ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
315302psrbagf 21807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
316315adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
317316, 304fssresd 6751 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
318317ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ β„•0)
31958ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
320319adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾)
32148, 49, 314, 318, 320mulgnn0cld 19019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) ∈ 𝐾)
322321fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))):𝐽⟢𝐾)
32324mptexd 7220 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
324323adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) ∈ V)
325 fvexd 6899 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∈ V)
326 funmpt 6579 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
327326a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
328302psrbagfsupp 21809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑 finSupp 0)
329328adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 finSupp 0)
330 0zd 12571 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 0 ∈ β„€)
331329, 330fsuppres 9387 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) finSupp 0)
332 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0) βŠ† ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))
333317, 332, 313, 330suppssr 8178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = 0)
334333oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
335 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
33648, 116, 49mulg0 18999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
337320, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
338335, 337sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
339334, 338eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 βˆ– ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
340339, 313suppss2 8183 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑑 β†Ύ 𝐽) supp 0))
341324, 325, 327, 331, 340fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
34248, 116, 312, 313, 322, 341gsumcl 19832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
34328, 143, 300, 311, 342ringcld 20159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
3446adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
34551ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
346316, 309fssresd 6751 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)):(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
347346ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
348213ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
349348adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
35048, 49, 345, 347, 349mulgnn0cld 19019 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) ∈ 𝐾)
351350fmpttd 7109 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢𝐾)
352344mptexd 7220 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) ∈ V)
353 funmpt 6579 . . . . . . . . . 10 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
354353a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
355329, 330fsuppres 9387 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) finSupp 0)
356 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0) βŠ† ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))
357346, 356, 344, 330suppssr 8178 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = 0)
358357oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
359 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
360359, 349sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
36148, 116, 49mulg0 18999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) ∈ 𝐾 β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
362360, 361syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
363358, 362eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆ– ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
364363, 344suppss2 8183 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) supp 0))
365352, 325, 354, 355, 364fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
36648, 116, 312, 344, 351, 365gsumcl 19832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
36728, 143, 300, 343, 366ringcld 20159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
368367fmpttd 7109 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
369298mptex 7219 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∈ V
370369a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∈ V)
371 fvexd 6899 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
372 funmpt 6579 . . . . . . 7 Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
373372a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
374298mptex 7219 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V
375374a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) ∈ V)
376 funmpt 6579 . . . . . . . 8 Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
377376a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))))
3787adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
37917adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
380302, 14, 15, 303, 378, 304, 379, 305selvvvval 41696 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (πΉβ€˜π‘‘))
381380mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
382 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
38314, 382, 15, 302, 17mplelf 21894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
384383feqmptd 6953 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
38514, 15, 204, 17, 7mplelsfi 21891 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
386384, 385eqbrtrrd 5165 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) finSupp (0gβ€˜π‘…))
387381, 386eqbrtrd 5163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
388 ssidd 4000 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) supp (0gβ€˜π‘…)))
38932adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
390 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
39128, 143, 204, 389, 390ringlzd 20191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (0gβ€˜π‘…))
392 fvexd 6899 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ V)
393388, 391, 392, 342, 371suppssov1 8180 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) supp (0gβ€˜π‘…)))
394375, 371, 377, 387, 393fsuppsssuppgd 41607 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
395 ssidd 4000 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
396 ovexd 7439 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ V)
397395, 391, 396, 366, 371suppssov1 8180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))) supp (0gβ€˜π‘…)))
398370, 371, 373, 394, 397fsuppsssuppgd 41607 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
399 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))
400302, 13, 144, 399, 4, 16evlselvlem 41697 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1-ontoβ†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
40128, 204, 296, 299, 368, 398, 400gsumf1o 19833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))))
402144psrbagf 21807 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
403402ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏:(𝐼 βˆ– 𝐽)βŸΆβ„•0)
40413psrbagf 21807 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘Ž:π½βŸΆβ„•0)
405404ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž:π½βŸΆβ„•0)
406 disjdifr 4467 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
407406a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
408403, 405, 407fun2d 6748 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0)
409 undifr 4477 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
41016, 409sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
411410adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
412411feq2d 6696 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽)βŸΆβ„•0 ↔ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0))
413408, 412mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0)
414 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
415 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 π‘Ž ∈ V
416414, 415unex 7729 . . . . . . . . . 10 (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V
417416a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V)
418 0zd 12571 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 0 ∈ β„€)
419413ffund 6714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ Fun (𝑏 βˆͺ π‘Ž))
420144psrbagfsupp 21809 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏 finSupp 0)
421420ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 finSupp 0)
42213psrbagfsupp 21809 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘Ž finSupp 0)
423422ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž finSupp 0)
424421, 423fsuppun 9381 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) supp 0) ∈ Fin)
425417, 418, 419, 424isfsuppd 9365 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0)
426 fcdmnn0fsuppg 12532 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ V ∧ (𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin))
427417, 413, 426syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin))
428425, 427mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)
4294adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
430302psrbag 21806 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)))
431429, 430syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑏 βˆͺ π‘Ž) β€œ β„•) ∈ Fin)))
432413, 428, 431mpbir2and 710 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑏 βˆͺ π‘Ž) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
433 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))
434 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
435 reseq1 5968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑑 β†Ύ 𝐽) = ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))
436435fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)))
437 reseq1 5968 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
438436, 437fveq12d 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
439435fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))
440439oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
441440mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
442441oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
443438, 442oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
444437fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))
445444oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
446445mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
447446oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
448443, 447oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
449416, 448csbie 3924 . . . . . . 7 ⦋(𝑏 βˆͺ π‘Ž) / π‘‘β¦Œ(((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
450402ffnd 6711 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
451450ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽))
452405ffnd 6711 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž Fn 𝐽)
453 fnunres2 6655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ π‘Ž Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽) = π‘Ž)
454451, 452, 407, 453syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽) = π‘Ž)
455454fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž))
456 fnunres1 6654 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 Fn (𝐼 βˆ– 𝐽) ∧ π‘Ž Fn 𝐽 ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑏)
457451, 452, 407, 456syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝑏)
458455, 457fveq12d 6891 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
459454fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π‘Žβ€˜π‘—))
460459oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
461460mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
462461oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
463458, 462oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))))
464457fveq1d 6886 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
465464oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
466465mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
467466oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
468463, 467oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽))β€˜((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((((𝑏 βˆͺ π‘Ž) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
469449, 468eqtrid 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ⦋(𝑏 βˆͺ π‘Ž) / π‘‘β¦Œ(((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
470432, 433, 434, 469fmpocos 41599 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))) = (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
471470oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
472 ovex 7437 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ V
473472rabex 5325 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
474473a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
475185a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
47632adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47719ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4783, 28, 1, 144, 477mplelf 21894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
479478ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
480479an32s 649 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
481480anasss 466 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘) ∈ 𝐾)
48224adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝐽 ∈ V)
4837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
48436adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ (𝐾 ↑m 𝐽))
485 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})
48613, 28, 47, 49, 482, 483, 484, 485evlsvvvallem 41672 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))) ∈ 𝐾)
48728, 143, 476, 481, 486ringcld 20159 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))) ∈ 𝐾)
4886adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
48935, 5elmapssresd 41609 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ (𝐾 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)))
490489adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ (𝐾 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)))
491 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ 𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
492144, 28, 47, 49, 488, 483, 490, 491evlsvvvallem 41672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))) ∈ 𝐾)
49328, 143, 476, 487, 492ringcld 20159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
494493ralrimivva 3194 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}βˆ€π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾)
495287fmpo 8050 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}βˆ€π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) ∈ 𝐾 ↔ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})⟢𝐾)
496494, 495sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})⟢𝐾)
497 f1of1 6825 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1-ontoβ†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
498400, 497syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž)):({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin})–1-1β†’{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
499398, 498, 371, 370fsuppco 9396 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) ∘ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑏 βˆͺ π‘Ž))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
500470, 499eqbrtrrd 5165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
50128, 204, 296, 474, 475, 496, 500gsumxp 19893 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
502401, 471, 5013eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑐(𝑏 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}, π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜π‘Ž)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))𝑒))))))
50328, 143, 300, 311, 342, 366ringassd 20158 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)(((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))))
50447, 143mgpplusg 20040 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
50551ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
506316ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
50757adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
508507ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝐾)
50948, 49, 505, 506, 508mulgnn0cld 19019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) ∈ 𝐾)
510509fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))):𝐼⟢𝐾)
5114mptexd 7220 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) ∈ V)
512511adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) ∈ V)
513 funmpt 6579 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))
514513a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
515316feqmptd 6953 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)))
516515, 329eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) finSupp 0)
517 ssidd 4000 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) supp 0) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) supp 0))
518117adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘˜) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
519517, 518, 506, 508, 330suppssov1 8180 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) supp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‘β€˜π‘–)) supp 0))
520512, 325, 514, 516, 519fsuppsssuppgd 41607 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
521 disjdif 4466 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…
522521a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…)
523 undif 4476 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
52416, 523sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
525524eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
526525adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 = (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
52748, 116, 504, 312, 303, 510, 520, 522, 526gsumsplit 19845 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
528304resmptd 6033 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽) = (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
529 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘—))
530 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
531529, 530oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) = ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
532531cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
533 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ 𝑗 ∈ 𝐽)
534533fvresd 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π‘‘β€˜π‘—))
535533fvresd 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘—))
536534, 535oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)) = ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)))
537536eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—)) = (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))
538537mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
539532, 538eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
540528, 539eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))
541540oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))
542309resmptd 6033 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))
543 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
544 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘˜))
545543, 544oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)) = ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
546545cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
547 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
548547fvresd 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘˜))
549547fvresd 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
550548, 549oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)) = ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)))
551550eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜)) = (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))
552551mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
553546, 552eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
554542, 553eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))
555554oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))
556541, 555oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ 𝐽))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))
557527, 556eqtr2d 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))))
558380, 557oveq12d 7422 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)(((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))
559503, 558eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))) = ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))
560559mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)))))) = (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–)))))))
561560oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(𝑑 β†Ύ 𝐽))β€˜(𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑑 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘—)))))(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑑 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
562295, 502, 5613eqtr2d 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
563 eqid 2726 . . 3 ((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅) = ((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)
564563, 3, 1, 144, 28, 47, 49, 143, 6, 7, 173, 489evlvvval 41684 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))((𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜))))))))
565 eqid 2726 . . 3 (𝐼 eval 𝑅) = (𝐼 eval 𝑅)
566565, 14, 15, 302, 28, 47, 49, 143, 4, 7, 17, 35evlvvval 41684 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑅 Ξ£g (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)(.rβ€˜π‘…)((mulGrpβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))(π΄β€˜π‘–))))))))
567562, 564, 5663eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) eval 𝑅)β€˜(((𝐽 eval π‘ˆ)β€˜(((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ))β€˜(𝐿 ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))β€˜(𝐴 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((𝐼 eval 𝑅)β€˜πΉ)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   supp csupp 8143   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11109  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664   MndHom cmhm 18708  Grpcgrp 18860  .gcmg 18992   GrpHom cghm 19135  CMndccmn 19697  mulGrpcmgp 20036  1rcur 20083  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136   RingHom crh 20368  AssAlgcasa 21740  algSccascl 21742   mPoly cmpl 21795   eval cevl 21971   selectVars cslv 22008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-evls 21972  df-evl 21973  df-selv 22012
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