Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptiffisupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptiffisupp 32444
Description: Conditions for a mapping function defined with a conditional to have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mptiffisupp.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 𝑍))
mptiffisupp.a (𝜑𝐴𝑈)
mptiffisupp.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
mptiffisupp.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
mptiffisupp.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
mptiffisupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptiffisupp
StepHypRef Expression
1 mptiffisupp.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 𝑍))
2 mptiffisupp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
32mptexd 7230 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 𝑍)) ∈ V)
41, 3eqeltrid 2832 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
5 mptiffisupp.z . 2 (𝜑𝑍𝑊)
61funmpt2 6586 . . 3 Fun 𝐹
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
8 partfun 6696 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 𝑍)) = ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍))
91, 8eqtri 2755 . . . 4 𝐹 = ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍))
109oveq1i 7424 . . 3 (𝐹 supp 𝑍) = (((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍)) supp 𝑍)
11 inss2 4225 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
1312sselda 3978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐵)
14 mptiffisupp.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
1513, 14syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶𝑉)
1615fmpttd 7119 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶𝑉)
17 incom 4197 . . . . . 6 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
18 mptiffisupp.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
19 infi 9282 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
2117, 20eqeltrrid 2833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
2216, 21, 5fidmfisupp 9385 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) finSupp 𝑍)
23 difexg 5323 . . . . . 6 (𝐴𝑈 → (𝐴𝐵) ∈ V)
24 mptexg 7227 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∈ V)
252, 23, 243syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∈ V)
26 funmpt 6585 . . . . . 6 Fun (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍)
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍))
28 supppreima 32442 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) supp 𝑍) = ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})))
2926, 25, 5, 28mp3an2i 1463 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) supp 𝑍) = ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
3130mpteq1d 5237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑍))
32 mpt0 6691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑍) = ∅
3331, 32eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) = ∅)
3433cnveqd 5872 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) = ∅)
35 cnv0 6139 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
3634, 35eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) = ∅)
3736imaeq1d 6056 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})) = (∅ “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})))
38 0ima 6075 . . . . . . . . 9 (∅ “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})) = ∅
3937, 38eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})) = ∅)
40 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
4240, 41rnmptc 7213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) = {𝑍})
4342difeq1d 4117 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍}) = ({𝑍} ∖ {𝑍}))
44 difid 4366 . . . . . . . . . . 11 ({𝑍} ∖ {𝑍}) = ∅
4543, 44eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍}) = ∅)
4645imaeq2d 6057 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})) = ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ ∅))
47 ima0 6074 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ ∅) = ∅
4846, 47eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})) = ∅)
4939, 48pm2.61dane 3024 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) “ (ran (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) ∖ {𝑍})) = ∅)
5029, 49eqtrd 2767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) supp 𝑍) = ∅)
51 0fin 9185 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
5250, 51eqeltrdi 2836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) supp 𝑍) ∈ Fin)
5325, 5, 27, 52isfsuppd 9380 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍) finSupp 𝑍)
5422, 53fsuppun 9396 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ∪ (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
5510, 54eqeltrid 2832 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
564, 5, 7, 55isfsuppd 9380 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  Vcvv 3469  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ccnv 5671  ran crn 5673  cima 5675  Fun wfun 6536  (class class class)co 7414   supp csupp 8157  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-supp 8158  df-1o 8478  df-en 8954  df-fin 8957  df-fsupp 9376
This theorem is referenced by:  elrspunsn  33067  gsummoncoe1fzo  33187
  Copyright terms: Public domain W3C validator