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Theorem ispos2 18307
Description: A poset is an antisymmetric proset.

EDITORIAL: could become the definition of poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
ispos2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ispos2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ispos2 (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯, ≀ ,𝑦

Proof of Theorem ispos2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anan32 1095 . . . . . . 7 ((π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ ((π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
21ralbii 3090 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
3 r19.26 3108 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
42, 3bitri 275 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
542ralbii 3125 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6 r19.26-2 3135 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
7 rr19.3v 3655 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
87ralbii 3090 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
98anbi2i 622 . . . . 5 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
106, 9bitri 275 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
115, 10bitri 275 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
1211anbi2i 622 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) ↔ (𝐾 ∈ V ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
13 ispos2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 ispos2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1513, 14ispos 18306 . 2 (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
1613, 14isprs 18289 . . . 4 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
1716anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ ((𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
18 anass 468 . . 3 (((𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (𝐾 ∈ V ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
1917, 18bitri 275 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (𝐾 ∈ V ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
2012, 15, 193bitr4i 303 1 (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240   Proset cproset 18285  Posetcpo 18299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6500  df-fv 6556  df-proset 18287  df-poset 18305
This theorem is referenced by:  posprs  18308  postcposALT  48087  postc  48088
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