Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  postc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem postc 47188
Description: The converted category is a poset iff no distinct objects are isomorphic. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
postc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
postc.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
postc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
postc (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem postc
StepHypRef Expression
1 postc.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
2 postc.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
31, 2prstcprs 47181 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Proset )
4 postc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (leβ€˜πΆ) = (leβ€˜πΆ)
64, 5ispos2 18209 . . . 4 (𝐢 ∈ Poset ↔ (𝐢 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
76baib 537 . . 3 (𝐢 ∈ Proset β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
83, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
91adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
102adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
119, 10prstcthin 47182 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
12 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
13 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
14 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
1511, 4, 12, 13, 14thinccic 47167 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ↔ ((π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ… ∧ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…)))
16 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (leβ€˜πΆ) = (leβ€˜πΆ))
17 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
1812, 4eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1913, 4eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
209, 10, 16, 17, 18, 19prstchom 47183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ↔ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ…))
219, 10, 16, 17, 19, 18prstchom 47183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯ ↔ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…))
2220, 21anbi12d 632 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) ↔ ((π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ… ∧ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…)))
2315, 22bitr4d 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ↔ (π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯)))
2423imbi1d 342 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
25242ralbidva 3207 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
268, 25bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  Hom chom 17149   ≃𝑐 ccic 17683   Proset cproset 18187  Posetcpo 18201  ProsetToCatcprstc 47168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ple 17158  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-sect 17635  df-inv 17636  df-iso 17637  df-cic 17684  df-proset 18189  df-poset 18207  df-thinc 47126  df-prstc 47169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator