Theorem postc 50154

Description: The converted category is a poset iff no distinct objects are isomorphic. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
postc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
postc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
postc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem postc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		postc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3	1, 2	prstcprs 50145	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
4		postc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
6	4, 5	ispos2 18330	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
7	6	baib 543	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
9	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
10	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Proset )
11	9, 10	prstcthin 50146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
12		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
15	11, 4, 12, 13, 14	thinccic 50056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 ↔ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅ ∧ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅)))
16		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (le‘𝐶) = (le‘𝐶))
17		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
18	12, 4	eleqtrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	13, 4	eleqtrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	9, 10, 16, 17, 18, 19	prstchom 50147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ↔ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅))
21	9, 10, 16, 17, 19, 18	prstchom 50147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦(le‘𝐶)𝑥 ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅))
22	20, 21	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) ↔ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅ ∧ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅)))
23	15, 22	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
24	23	imbi1d 343	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
25	24	2ralbidva 3223	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
26	8, 25	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  lecple 17276  Hom chom 17280   ≃_𝑐 ccic 17811   Proset cproset 18307  Posetcpo 18322  ProsetToCatcprstc 50134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ple 17289  df-hom 17293  df-cco 17294  df-cat 17683  df-cid 17684  df-sect 17763  df-inv 17764  df-iso 17765  df-cic 17812  df-proset 18309  df-poset 18328  df-thinc 50003  df-prstc 50135

This theorem is referenced by: (None)