Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  postc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem postc 47950
Description: The converted category is a poset iff no distinct objects are isomorphic. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
postc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
postc.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
postc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
postc (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem postc
StepHypRef Expression
1 postc.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
2 postc.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
31, 2prstcprs 47943 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Proset )
4 postc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
5 eqid 2724 . . . . 5 (leβ€˜πΆ) = (leβ€˜πΆ)
64, 5ispos2 18276 . . . 4 (𝐢 ∈ Poset ↔ (𝐢 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
76baib 535 . . 3 (𝐢 ∈ Proset β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
83, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
91adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
102adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
119, 10prstcthin 47944 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
12 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
13 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
14 eqid 2724 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
1511, 4, 12, 13, 14thinccic 47929 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ↔ ((π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ… ∧ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…)))
16 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (leβ€˜πΆ) = (leβ€˜πΆ))
17 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
1812, 4eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1913, 4eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
209, 10, 16, 17, 18, 19prstchom 47945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ↔ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ…))
219, 10, 16, 17, 19, 18prstchom 47945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯ ↔ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…))
2220, 21anbi12d 630 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) ↔ ((π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ… ∧ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…)))
2315, 22bitr4d 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ↔ (π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯)))
2423imbi1d 341 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
25242ralbidva 3208 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
268, 25bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆ…c0 4315   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  Hom chom 17213   ≃𝑐 ccic 17747   Proset cproset 18254  Posetcpo 18268  ProsetToCatcprstc 47930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ple 17222  df-hom 17226  df-cco 17227  df-cat 17617  df-cid 17618  df-sect 17699  df-inv 17700  df-iso 17701  df-cic 17748  df-proset 18256  df-poset 18274  df-thinc 47888  df-prstc 47931
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator