Theorem postc 49447

Description: The converted category is a poset iff no distinct objects are isomorphic. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
postc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
postc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
postc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem postc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		postc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3	1, 2	prstcprs 49438	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
4		postc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
6	4, 5	ispos2 18282	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
7	6	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
10	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Proset )
11	9, 10	prstcthin 49439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
12		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
15	11, 4, 12, 13, 14	thinccic 49349	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 ↔ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅ ∧ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅)))
16		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (le‘𝐶) = (le‘𝐶))
17		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
18	12, 4	eleqtrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	13, 4	eleqtrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	9, 10, 16, 17, 18, 19	prstchom 49440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ↔ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅))
21	9, 10, 16, 17, 19, 18	prstchom 49440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦(le‘𝐶)𝑥 ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅))
22	20, 21	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) ↔ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅ ∧ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅)))
23	15, 22	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
24	23	imbi1d 341	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
25	24	2ralbidva 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
26	8, 25	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑦 → 𝑥 = 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  ∀wral 3046  ∅c0 4304   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  lecple 17233  Hom chom 17237   ≃_𝑐 ccic 17763   Proset cproset 18259  Posetcpo 18274  ProsetToCatcprstc 49427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ple 17246  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-sect 17715  df-inv 17716  df-iso 17717  df-cic 17764  df-proset 18261  df-poset 18280  df-thinc 49296  df-prstc 49428

This theorem is referenced by: (None)