Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  postc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem postc 49810
Description: The converted category is a poset iff no distinct objects are isomorphic. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
postc.c (𝜑𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k (𝜑𝐾 ∈ Proset )
postc.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
postc (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ≃𝑐𝐶)𝑦𝑥 = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem postc
StepHypRef Expression
1 postc.c . . . 4 (𝜑𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2 postc.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Proset )
31, 2prstcprs 49801 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Proset )
4 postc.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
5 eqid 2736 . . . . 5 (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
64, 5ispos2 18238 . . . 4 (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
76baib 535 . . 3 (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
83, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
91adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
102adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐾 ∈ Proset )
119, 10prstcthin 49802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
12 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
13 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
14 eqid 2736 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
1511, 4, 12, 13, 14thinccic 49712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ≃𝑐𝐶)𝑦 ↔ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅ ∧ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅)))
16 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (le‘𝐶) = (le‘𝐶))
17 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
1812, 4eleqtrdi 2846 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
1913, 4eleqtrdi 2846 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
209, 10, 16, 17, 18, 19prstchom 49803 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ↔ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅))
219, 10, 16, 17, 19, 18prstchom 49803 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦(le‘𝐶)𝑥 ↔ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅))
2220, 21anbi12d 632 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) ↔ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ≠ ∅ ∧ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥) ≠ ∅)))
2315, 22bitr4d 282 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ≃𝑐𝐶)𝑦 ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
2423imbi1d 341 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥( ≃𝑐𝐶)𝑦𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
25242ralbidva 3198 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ≃𝑐𝐶)𝑦𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
268, 25bitr4d 282 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ≃𝑐𝐶)𝑦𝑥 = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1541  wcel 2113  wne 2932  wral 3051  c0 4285   class class class wbr 5098  cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  Hom chom 17188  𝑐 ccic 17719   Proset cproset 18215  Posetcpo 18230  ProsetToCatcprstc 49790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ple 17197  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-sect 17671  df-inv 17672  df-iso 17673  df-cic 17720  df-proset 18217  df-poset 18236  df-thinc 49659  df-prstc 49791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator