Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  postc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem postc 48088
Description: The converted category is a poset iff no distinct objects are isomorphic. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
postc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
postc.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
postc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
postc (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem postc
StepHypRef Expression
1 postc.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
2 postc.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
31, 2prstcprs 48081 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Proset )
4 postc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
5 eqid 2728 . . . . 5 (leβ€˜πΆ) = (leβ€˜πΆ)
64, 5ispos2 18307 . . . 4 (𝐢 ∈ Poset ↔ (𝐢 ∈ Proset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
76baib 535 . . 3 (𝐢 ∈ Proset β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
83, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
91adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
102adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
119, 10prstcthin 48082 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
12 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
13 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
14 eqid 2728 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
1511, 4, 12, 13, 14thinccic 48067 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ↔ ((π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ… ∧ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…)))
16 eqidd 2729 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (leβ€˜πΆ) = (leβ€˜πΆ))
17 eqidd 2729 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
1812, 4eleqtrdi 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1913, 4eleqtrdi 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
209, 10, 16, 17, 18, 19prstchom 48083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ↔ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ…))
219, 10, 16, 17, 19, 18prstchom 48083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯ ↔ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…))
2220, 21anbi12d 631 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) ↔ ((π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β‰  βˆ… ∧ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β‰  βˆ…)))
2315, 22bitr4d 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 ↔ (π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯)))
2423imbi1d 341 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
25242ralbidva 3213 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(leβ€˜πΆ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΆ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
268, 25bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Poset ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  Hom chom 17244   ≃𝑐 ccic 17778   Proset cproset 18285  Posetcpo 18299  ProsetToCatcprstc 48068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ple 17253  df-hom 17257  df-cco 17258  df-cat 17648  df-cid 17649  df-sect 17730  df-inv 17731  df-iso 17732  df-cic 17779  df-proset 18287  df-poset 18305  df-thinc 48026  df-prstc 48069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator