Theorem postcposALT 48059

Description: Alternate proof for postcpos 48058. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
postc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
postcposALT	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

Proof of Theorem postcposALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		postc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		eqidd 2728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	1, 2, 3	prstcbas 48045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	1, 2, 5	prstcle 48048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐶)𝑦))
7	1, 2, 5	prstcle 48048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑦(le‘𝐶)𝑥))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
9	8	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
10	4, 9	raleqbidvv 3324	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
11	4, 10	raleqbidvv 3324	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
12		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14	12, 13	ispos2 18300	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
15	14	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
16	2, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
17	1, 2	prstcprs 48053	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
18		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
19		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
20	18, 19	ispos2 18300	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
21	20	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
22	17, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
23	11, 16, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233   Proset cproset 18278  Posetcpo 18292  ProsetToCatcprstc 48040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ple 17246  df-hom 17250  df-cco 17251  df-proset 18280  df-poset 18298  df-prstc 48041

This theorem is referenced by: (None)