Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  postcposALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem postcposALT 49145
Description: Alternate proof of postcpos 49144. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
postc.c (𝜑𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k (𝜑𝐾 ∈ Proset )
Assertion
Ref Expression
postcposALT (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

Proof of Theorem postcposALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 postc.c . . . 4 (𝜑𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2 postc.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Proset )
3 eqidd 2737 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
41, 2, 3prstcbas 49129 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
61, 2, 5prstcle 49132 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐶)𝑦))
71, 2, 5prstcle 49132 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑦(le‘𝐶)𝑥))
86, 7anbi12d 632 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
98imbi1d 341 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
104, 9raleqbidvv 3333 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
114, 10raleqbidvv 3333 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
12 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2736 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1412, 13ispos2 18357 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
1514baib 535 . . 3 (𝐾 ∈ Proset → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
162, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
171, 2prstcprs 49137 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Proset )
18 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
19 eqid 2736 . . . . 5 (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
2018, 19ispos2 18357 . . . 4 (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
2120baib 535 . . 3 (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
2217, 21syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
2311, 16, 223bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3060   class class class wbr 5141  cfv 6559  Basecbs 17243  lecple 17300   Proset cproset 18334  Posetcpo 18349  ProsetToCatcprstc 49124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ple 17313  df-hom 17317  df-cco 17318  df-proset 18336  df-poset 18355  df-prstc 49125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator