Theorem postcposALT 51037

Description: Alternate proof of postcpos 51036. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
postc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
postcposALT	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

Proof of Theorem postcposALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		postc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	1, 2, 3	prstcbas 51023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	1, 2, 5	prstcle 51025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐶)𝑦))
7	1, 2, 5	prstcle 51025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑦(le‘𝐶)𝑥))
8	6, 7	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
9	8	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
10	4, 9	raleqbidvv 3331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
11	4, 10	raleqbidvv 3331	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14	12, 13	ispos2 18539	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
15	14	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
16	2, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
17	1, 2	prstcprs 51029	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
20	18, 19	ispos2 18539	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
21	20	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
22	17, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
23	11, 16, 22	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479   Proset cproset 18516  Posetcpo 18531  ProsetToCatcprstc 51018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ple 17493  df-hom 17497  df-cco 17498  df-proset 18518  df-poset 18537  df-prstc 51019

This theorem is used by: (None)