Theorem postcposALT 50043

Description: Alternate proof of postcpos 50042. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
postc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
postc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
postcposALT	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

Proof of Theorem postcposALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		postc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		postc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	1, 2, 3	prstcbas 50029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	1, 2, 5	prstcle 50031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝐶)𝑦))
7	1, 2, 5	prstcle 50031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑦(le‘𝐶)𝑥))
8	6, 7	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥)))
9	8	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
10	4, 9	raleqbidvv 3303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
11	4, 10	raleqbidvv 3303	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14	12, 13	ispos2 18281	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
15	14	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
16	2, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
17	1, 2	prstcprs 50035	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐶) = (le‘𝐶)
20	18, 19	ispos2 18281	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Poset ↔ (𝐶 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
21	20	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Proset → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
22	17, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Poset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)((𝑥(le‘𝐶)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐶)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
23	11, 16, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐶 ∈ Poset))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227   Proset cproset 18258  Posetcpo 18273  ProsetToCatcprstc 50024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-hom 17244  df-cco 17245  df-proset 18260  df-poset 18279  df-prstc 50025

This theorem is referenced by: (None)