Theorem posprs 18496

Description: A poset is a proset. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
posprs	⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )

Proof of Theorem posprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3	1, 2	ispos2 18495	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ Proset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441   Proset cproset 18472  Posetcpo 18487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6547  df-proset 18474  df-poset 18493

This theorem is used by:  posref  18498  isipodrs  18717  pwrssmgc  33608  mgcf1olem1  33609  mgcf1olem2  33610  mgcf1o  33611  nsgmgc  34010  ordtrest2NEWlem  34601  ordtrest2NEW  34602  ordtconnlem1  34603  exbasprs  50185  basresprsfo  50187  discbas  50804  discthin  50805