Theorem lmodacl 20823

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 20820	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmodacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
5	3, 4	grpcl 18871	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180  Grpcgrp 18863  LModclmod 20811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ring 20170  df-lmod 20813

This theorem is referenced by:  lmodcom  20859  lss1d  20914  lspsolvlem  21097  lmodvslmhm  33133  imaslmod  33434  lfladdcl  39327  lshpkrlem5  39370  ldualvsdi2  39400  baerlem5blem1  41965  hgmapadd  42150