Theorem lmodacl 19638

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 19636	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmodacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
5	3, 4	grpcl 18103	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560  Grpcgrp 18095  LModclmod 19627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-ring 19292  df-lmod 19629

This theorem is referenced by:  lmodcom  19673  lss1d  19728  lspsolvlem  19907  lmodvslmhm  30735  imaslmod  30973  lfladdcl  36367  lshpkrlem5  36410  ldualvsdi2  36440  baerlem5blem1  39005  hgmapadd  39190