Theorem lmodacl 20785

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 20782	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmodacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
5	3, 4	grpcl 18880	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230  Grpcgrp 18872  LModclmod 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-ring 20151  df-lmod 20775

This theorem is referenced by:  lmodcom  20821  lss1d  20876  lspsolvlem  21059  lmodvslmhm  32997  imaslmod  33331  lfladdcl  39071  lshpkrlem5  39114  ldualvsdi2  39144  baerlem5blem1  41710  hgmapadd  41895