Theorem lmodacl 20870

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 20867	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmodacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
5	3, 4	grpcl 18959	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  Grpcgrp 18951  LModclmod 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ring 20232  df-lmod 20860

This theorem is referenced by:  lmodcom  20906  lss1d  20961  lspsolvlem  21144  lmodvslmhm  33053  imaslmod  33381  lfladdcl  39072  lshpkrlem5  39115  ldualvsdi2  39145  baerlem5blem1  41711  hgmapadd  41896