Theorem lmodacl 20626

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 20623	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmodacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
5	3, 4	grpcl 18863	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Scalarcsca 17204  Grpcgrp 18855  LModclmod 20614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-nul 5305

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7414  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-ring 20129  df-lmod 20616

This theorem is referenced by:  lmodcom  20662  lss1d  20718  lspsolvlem  20900  lmodvslmhm  32472  imaslmod  32738  lfladdcl  38244  lshpkrlem5  38287  ldualvsdi2  38317  baerlem5blem1  40883  hgmapadd  41068