Theorem lspsolvlem 21042

Description: Lemma for lspsolv 21043. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsolv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsolv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsolv.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsolv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsolv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lspsolv.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspsolv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsolv.q	⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)}
lspsolv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsolv.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑉)
lspsolv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsolv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))

Assertion

Ref	Expression
lspsolvlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑟,𝐴   𝐵,𝑟,𝑧   𝑁,𝑟,𝑧   𝜑,𝑧   𝐹,𝑟   𝑆,𝑟   𝑉,𝑟,𝑧   𝑊,𝑟,𝑧   + ,𝑟,𝑧   · ,𝑟,𝑧   𝑋,𝑟,𝑧   𝑌,𝑟,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑄(𝑧,𝑟)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem lspsolvlem

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsolv.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)}
3	2	ssrab3 4076	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 ⊆ 𝑉
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑉)
5		lspsolv.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑉)
6	1	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
7		lspsolv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lspsolv.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
9		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
10	7, 8, 9	lmod0cl 20783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝐹) ∈ 𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐹) ∈ 𝐵)
12		lspsolv.y	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lspsolv.v	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		lspsolv.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
16	13, 7, 14, 9, 15	lmod0vs 20790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
17	1, 12, 16	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
18	17	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝐹) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
19	18	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 + ((0g‘𝐹) · 𝑌)) = (𝑧 + (0g‘𝑊)))
20	5	sselda 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑉)
21		lspsolv.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝑊)
22	13, 21, 15	lmod0vrid 20788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 + (0g‘𝑊)) = 𝑧)
23	6, 20, 22	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 + (0g‘𝑊)) = 𝑧)
24	19, 23	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 + ((0g‘𝐹) · 𝑌)) = 𝑧)
25		lspsolv.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
26	13, 25	lspssid 20881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → 𝐴 ⊆ (𝑁‘𝐴))
27	1, 5, 26	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑁‘𝐴))
28	27	sselda 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑁‘𝐴))
29	24, 28	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 + ((0g‘𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
30		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝐹) → (𝑟 · 𝑌) = ((0g‘𝐹) · 𝑌))
31	30	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝐹) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑧 + ((0g‘𝐹) · 𝑌)))
32	31	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝐹) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑧 + ((0g‘𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
33	32	rspcev 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 + ((0g‘𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
34	11, 29, 33	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
35	5, 34	ssrabdv 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)})
36	35, 2	sseqtrrdi 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑄)
37	7	lmodfgrp 20764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
38	1, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
39		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
40	7, 8, 39	lmod1cl 20784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐹) ∈ 𝐵)
41	1, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐵)
42		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
43	8, 42	grpinvcl 18952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐵)
44	38, 41, 43	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐵)
45		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
46	13, 45, 7, 14, 39, 42	lmodvneg1 20800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) = ((invg‘𝑊)‘𝑌))
47	1, 12, 46	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) = ((invg‘𝑊)‘𝑌))
48	47	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑌)))
49		lmodgrp 20762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
51	13, 21, 15, 45	grprinv 18955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑌)) = (0g‘𝑊))
52	50, 12, 51	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑌)) = (0g‘𝑊))
53	48, 52	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (0g‘𝑊))
54		lspsolv.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
55	13, 54, 25	lspcl 20872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
56	1, 5, 55	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
57	15, 54	lss0cl 20843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘𝐴))
58	1, 56, 57	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘𝐴))
59	53, 58	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
60		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) → (𝑟 · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))
61	60	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) → (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
62	61	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) → ((𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑌 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
63	62	rspcev 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
64	44, 59, 63	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
65		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)))
66	65	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
67	66	rexbidv 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
68	67, 2	elrab2 3682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑄 ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
69	12, 64, 68	sylanbrc 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑄)
70	69	snssd 4814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑄)
71	36, 70	unssd 4184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄)
72	13, 25	lspss 20880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ⊆ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁‘𝑄))
73	1, 4, 71, 72	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁‘𝑄))
74	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
75	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
76	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
77	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
78	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
79	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
80	69	ne0d 4335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅)
81		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)))
82	81	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
83	82	rexbidv 3168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
84		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑠 · 𝑌))
85	84	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)))
86	85	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
87	86	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
88	83, 87	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
89	88, 2	elrab2 3682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑄 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
90		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)))
91	90	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
92	91	rexbidv 3168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
93		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑡 · 𝑌))
94	93	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))
95	94	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
96	95	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
97	92, 96	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
98	97, 2	elrab2 3682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑄 ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
99	89, 98	anbi12i 626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))))
100		an4 654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))))
101	99, 100	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))))
102		reeanv 3216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐵 ∃𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
103		simp1ll 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝜑)
104	103, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod)
105		simp1lr 1234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
106		simp1rl 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
107	13, 7, 14, 8	lmodvscl 20773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉)
108	104, 105, 106, 107	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉)
109		simp1rr 1236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
110	13, 21	lmodvacl 20770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉)
111	104, 108, 109, 110	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉)
112		simp2l 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
113		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
114	7, 8, 113	lmodmcl 20768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵)
115	104, 105, 112, 114	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵)
116		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
117		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
118	7, 8, 117	lmodacl 20767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) ∈ 𝐵)
119	104, 115, 116, 118	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) ∈ 𝐵)
120	103, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
121	13, 7, 14, 8	lmodvscl 20773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)
122	104, 112, 120, 121	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)
123	13, 7, 14, 8	lmodvscl 20773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉)
124	104, 105, 122, 123	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉)
125	13, 7, 14, 8	lmodvscl 20773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)
126	104, 116, 120, 125	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)
127	13, 21	lmod4 20807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉 ∧ (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
128	104, 108, 109, 124, 126, 127	syl122anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
129	13, 21, 7, 14, 8, 117	lmodvsdir 20781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)))
130	104, 115, 116, 120, 129	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)))
131	13, 7, 14, 8, 113	lmodvsass 20782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))
132	104, 105, 112, 120, 131	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))
133	132	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))
134	130, 133	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))
135	134	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))))
136	13, 21, 7, 14, 8	lmodvsdi 20780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))))
137	104, 105, 106, 122, 136	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))))
138	137	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
139	128, 135, 138	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
140	103, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
141		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
142		simp3r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
143	7, 8, 21, 14, 54	lsscl 20838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁‘𝐴))
144	140, 105, 141, 142, 143	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁‘𝐴))
145	139, 144	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
146		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) → (𝑟 · 𝑌) = (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌))
147	146	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)))
148	147	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) → ((((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
149	148	rspcev 3606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
150	119, 145, 149	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
151		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)))
152	151	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
153	152	rexbidv 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
154	153, 2	elrab2 3682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄 ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
155	111, 150, 154	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)
156	155	3exp 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)))
157	156	rexlimdvv 3200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (∃𝑠 ∈ 𝐵 ∃𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
158	102, 157	biimtrrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
159	158	expimpd 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
160	101, 159	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
161	160	exp4b 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑄 → (𝑦 ∈ 𝑄 → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))))
162	161	3imp2 1346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)
163	74, 75, 76, 77, 78, 79, 4, 80, 162	islssd 20831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
164	54, 25	lspid 20878	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑄) = 𝑄)
165	1, 163, 164	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑄) = 𝑄)
166	73, 165	sseqtrd 4017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑄)
167		lspsolv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
168	166, 167	sseldd 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄)
169		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)))
170	169	eleq1d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
171	170	rexbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
172	171, 2	elrab2 3682	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑄 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))
173	172	simprbi 495	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))
174	168, 173	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {crab 3418   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  {csn 4630  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  0_gc0g 17424  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  1_rcur 20133  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868

This theorem is referenced by:  lspsolv  21043