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Theorem lspsolvlem 21042
Description: Lemma for lspsolv 21043. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsolv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsolv.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lspsolv.p + = (+g𝑊)
lspsolv.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsolv.q 𝑄 = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
lspsolv.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsolv.ss (𝜑𝐴𝑉)
lspsolv.y (𝜑𝑌𝑉)
lspsolv.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem (𝜑 → ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑟,𝐴   𝐵,𝑟,𝑧   𝑁,𝑟,𝑧   𝜑,𝑧   𝐹,𝑟   𝑆,𝑟   𝑉,𝑟,𝑧   𝑊,𝑟,𝑧   + ,𝑟,𝑧   · ,𝑟,𝑧   𝑋,𝑟,𝑧   𝑌,𝑟,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑄(𝑧,𝑟)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspsolv.q . . . . . . 7 𝑄 = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
32ssrab3 4076 . . . . . 6 𝑄𝑉
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑉)
5 lspsolv.ss . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
61adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
7 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐹)
9 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) = (0g𝐹)
107, 8, 9lmod0cl 20783 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐹) ∈ 𝐵)
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (0g𝐹) ∈ 𝐵)
12 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝑉)
13 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15 · = ( ·𝑠𝑊)
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1613, 7, 14, 9, 15lmod0vs 20790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑌) = (0g𝑊))
171, 12, 16syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((0g𝐹) · 𝑌) = (0g𝑊))
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → ((0g𝐹) · 𝑌) = (0g𝑊))
1918oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) = (𝑧 + (0g𝑊)))
205sselda 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝑉)
21 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑊)
2213, 21, 15lmod0vrid 20788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → (𝑧 + (0g𝑊)) = 𝑧)
236, 20, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + (0g𝑊)) = 𝑧)
2419, 23eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) = 𝑧)
25 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2613, 25lspssid 20881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 ⊆ (𝑁𝐴))
271, 5, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑁𝐴))
2827sselda 3976 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑁𝐴))
2924, 28eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
30 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (0g𝐹) → (𝑟 · 𝑌) = ((0g𝐹) · 𝑌))
3130oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (0g𝐹) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)))
3231eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g𝐹) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
3332rspcev 3606 . . . . . . . . 9 (((0g𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
3411, 29, 33syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
355, 34ssrabdv 4067 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)})
3635, 2sseqtrrdi 4028 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑄)
377lmodfgrp 20764 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
381, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝐹) = (1r𝐹)
407, 8, 39lmod1cl 20784 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐹) ∈ 𝐵)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐵)
42 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐹) = (invg𝐹)
438, 42grpinvcl 18952 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐵) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐵)
4438, 41, 43syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐵)
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (invg𝑊) = (invg𝑊)
4613, 45, 7, 14, 39, 42lmodvneg1 20800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) = ((invg𝑊)‘𝑌))
471, 12, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) = ((invg𝑊)‘𝑌))
4847oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑌)))
49 lmodgrp 20762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5113, 21, 15, 45grprinv 18955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑌)) = (0g𝑊))
5250, 12, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑌)) = (0g𝑊))
5348, 52eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (0g𝑊))
54 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5513, 54, 25lspcl 20872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
561, 5, 55syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
5715, 54lss0cl 20843 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁𝐴))
581, 56, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (𝑁𝐴))
5953, 58eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
60 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) → (𝑟 · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))
6160oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) → (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
6261eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) → ((𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6362rspcev 3606 . . . . . . . . 9 ((((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
6444, 59, 63syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
65 oveq1 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)))
6665eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6766rexbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑌 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6867, 2elrab2 3682 . . . . . . . 8 (𝑌𝑄 ↔ (𝑌𝑉 ∧ ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6912, 64, 68sylanbrc 581 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑄)
7069snssd 4814 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑄)
7136, 70unssd 4184 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄)
7213, 25lspss 20880 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁𝑄))
731, 4, 71, 72syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁𝑄))
747a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
758a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
7613a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
7721a1i 11 . . . . . 6 (𝜑+ = (+g𝑊))
7814a1i 11 . . . . . 6 (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
7954a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8069ne0d 4335 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ≠ ∅)
81 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)))
8281eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
8382rexbidv 3168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
84 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑠 · 𝑌))
8584oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑠 → (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)))
8685eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑠 → ((𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
8786cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
8883, 87bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
8988, 2elrab2 3682 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑄 ↔ (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
90 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)))
9190eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9291rexbidv 3168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
93 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑡 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑡 · 𝑌))
9493oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑡 → (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))
9594eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑡 → ((𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9695cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
9792, 96bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9897, 2elrab2 3682 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑄 ↔ (𝑦𝑉 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9989, 98anbi12i 626 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑄𝑦𝑄) ↔ ((𝑥𝑉 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) ∧ (𝑦𝑉 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))))
100 an4 654 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) ∧ (𝑦𝑉 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) ↔ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))))
10199, 100bitri 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑄𝑦𝑄) ↔ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))))
102 reeanv 3216 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝐵𝑡𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) ↔ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
103 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝜑)
104103, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod)
105 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑎𝐵)
106 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑥𝑉)
10713, 7, 14, 8lmodvscl 20773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑥𝑉) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉)
109 simp1rr 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑦𝑉)
11013, 21lmodvacl 20770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉)
111104, 108, 109, 110syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉)
112 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑠𝐵)
113 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1147, 8, 113lmodmcl 20768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑠𝐵) → (𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵)
115104, 105, 112, 114syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵)
116 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑡𝐵)
117 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1187, 8, 117lmodacl 20767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵𝑡𝐵) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) ∈ 𝐵)
119104, 115, 116, 118syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) ∈ 𝐵)
120103, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌𝑉)
12113, 7, 14, 8lmodvscl 20773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐵𝑌𝑉) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)
122104, 112, 120, 121syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12313, 7, 14, 8lmodvscl 20773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉)
124104, 105, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉)
12513, 7, 14, 8lmodvscl 20773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑡𝐵𝑌𝑉) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)
126104, 116, 120, 125syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12713, 21lmod4 20807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉 ∧ (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
128104, 108, 109, 124, 126, 127syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
12913, 21, 7, 14, 8, 117lmodvsdir 20781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵𝑡𝐵𝑌𝑉)) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)))
130104, 115, 116, 120, 129syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)))
13113, 7, 14, 8, 113lmodvsass 20782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝐵𝑠𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))
132104, 105, 112, 120, 131syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))
133132oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))
134130, 133eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))
135134oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))))
13613, 21, 7, 14, 8lmodvsdi 20780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝐵𝑥𝑉 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))))
137104, 105, 106, 122, 136syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))))
138137oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
139128, 135, 1383eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
140103, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
141 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
142 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
1437, 8, 21, 14, 54lsscl 20838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑎𝐵 ∧ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁𝐴))
144140, 105, 141, 142, 143syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁𝐴))
145139, 144eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
146 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) → (𝑟 · 𝑌) = (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌))
147146oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)))
148147eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) → ((((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
149148rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
150119, 145, 149syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
151 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)))
152151eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
153152rexbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
154153, 2elrab2 3682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄 ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
155111, 150, 154sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)
1561553exp 1116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑠𝐵𝑡𝐵) → (((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)))
157156rexlimdvv 3200 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (∃𝑠𝐵𝑡𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
158102, 157biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
159158expimpd 452 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
160101, 159biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑥𝑄𝑦𝑄) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
161160exp4b 429 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎𝐵 → (𝑥𝑄 → (𝑦𝑄 → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))))
1621613imp2 1346 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑥𝑄𝑦𝑄)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)
16374, 75, 76, 77, 78, 79, 4, 80, 162islssd 20831 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑆)
16454, 25lspid 20878 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆) → (𝑁𝑄) = 𝑄)
1651, 163, 164syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑄) = 𝑄)
16673, 165sseqtrd 4017 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑄)
167 lspsolv.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
168166, 167sseldd 3977 . 2 (𝜑𝑋𝑄)
169 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)))
170169eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
171170rexbidv 3168 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
172171, 2elrab2 3682 . . 3 (𝑋𝑄 ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
173172simprbi 495 . 2 (𝑋𝑄 → ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
174168, 173syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  {crab 3418  cun 3942  wss 3944  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424  Grpcgrp 18898  invgcminusg 18899  1rcur 20133  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868
This theorem is referenced by:  lspsolv  21043
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