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Theorem lspsolvlem 20619
Description: Lemma for lspsolv 20620. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsolv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsolv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsolv.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspsolv.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsolv.q 𝑄 = {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)}
lspsolv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspsolv.ss (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
lspsolv.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspsolv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})))
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘Ÿ,𝐴   𝐡,π‘Ÿ,𝑧   𝑁,π‘Ÿ,𝑧   πœ‘,𝑧   𝐹,π‘Ÿ   𝑆,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ,𝑧   π‘Š,π‘Ÿ,𝑧   + ,π‘Ÿ,𝑧   Β· ,π‘Ÿ,𝑧   𝑋,π‘Ÿ,𝑧   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝑄(𝑧,π‘Ÿ)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspsolv.q . . . . . . 7 𝑄 = {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)}
32ssrab3 4041 . . . . . 6 𝑄 βŠ† 𝑉
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑉)
5 lspsolv.ss . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
61adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
107, 8, 9lmod0cl 20363 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐡)
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐡)
12 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
13 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1613, 7, 14, 9, 15lmod0vs 20370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
171, 12, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
1918oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 + ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ)) = (𝑧 + (0gβ€˜π‘Š)))
205sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
21 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13 + = (+gβ€˜π‘Š)
2213, 21, 15lmod0vrid 20368 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑧 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑧)
236, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑧)
2419, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 + ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ)) = 𝑧)
25 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
2613, 25lspssid 20461 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐴 βŠ† (π‘β€˜π΄))
271, 5, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (π‘β€˜π΄))
2827sselda 3945 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π΄))
2924, 28eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 + ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
30 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = (0gβ€˜πΉ) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘Œ) = ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ))
3130oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (0gβ€˜πΉ) β†’ (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (𝑧 + ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ)))
3231eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (0gβ€˜πΉ) β†’ ((𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (𝑧 + ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
3332rspcev 3580 . . . . . . . . 9 (((0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑧 + ((0gβ€˜πΉ) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
3411, 29, 33syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
355, 34ssrabdv 4032 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)})
3635, 2sseqtrrdi 3996 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑄)
377lmodfgrp 20345 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
381, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
407, 8, 39lmod1cl 20364 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐡)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐡)
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
438, 42grpinvcl 18803 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
4438, 41, 43syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
4613, 45, 7, 14, 39, 42lmodvneg1 20380 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
471, 12, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
4847oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)))
49 lmodgrp 20343 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
5113, 21, 15, 45grprinv 18806 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š))
5250, 12, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š))
5348, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š))
54 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5513, 54, 25lspcl 20452 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
561, 5, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
5715, 54lss0cl 20422 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜π΄))
581, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜π΄))
5953, 58eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
60 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))
6160oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) β†’ (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (π‘Œ + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
6261eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (π‘Œ + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
6362rspcev 3580 . . . . . . . . 9 ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
6444, 59, 63syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
65 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘Œ β†’ (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)))
6665eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘Œ β†’ ((𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
6766rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
6867, 2elrab2 3649 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑄 ↔ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (π‘Œ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
6912, 64, 68sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑄)
7069snssd 4770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑄)
7136, 70unssd 4147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑄)
7213, 25lspss 20460 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 βŠ† 𝑉 ∧ (𝐴 βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑄) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βŠ† (π‘β€˜π‘„))
731, 4, 71, 72syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βŠ† (π‘β€˜π‘„))
747a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
758a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
7613a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
7721a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
7814a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
7954a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8069ne0d 4296 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  βˆ…)
81 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)))
8281eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (π‘₯ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
8382rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (π‘₯ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
84 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ Β· π‘Œ) = (𝑠 Β· π‘Œ))
8584oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘₯ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)))
8685eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘₯ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
8786cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (π‘₯ + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
8883, 87bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
8988, 2elrab2 3649 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑄 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
90 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (𝑦 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)))
9190eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (𝑦 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
9291rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑦 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
93 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (π‘Ÿ Β· π‘Œ) = (𝑑 Β· π‘Œ))
9493oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (𝑦 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)))
9594eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((𝑦 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
9695cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑦 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
9792, 96bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
9897, 2elrab2 3649 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑄 ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
9989, 98anbi12i 628 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))))
100 an4 655 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))))
10199, 100bitri 275 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))))
102 reeanv 3216 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
103 simp1ll 1237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ πœ‘)
104103, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
105 simp1lr 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
106 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
10713, 7, 14, 8lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ž Β· π‘₯) ∈ 𝑉)
109 simp1rr 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
11013, 21lmodvacl 20351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑉)
111104, 108, 109, 110syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑉)
112 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
113 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
1147, 8, 113lmodmcl 20349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) ∈ 𝐡)
115104, 105, 112, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) ∈ 𝐡)
116 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
117 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1187, 8, 117lmodacl 20348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) ∈ 𝐡)
119104, 115, 116, 118syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) ∈ 𝐡)
120103, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12113, 7, 14, 8lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑠 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
122104, 112, 120, 121syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑠 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
12313, 7, 14, 8lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
124104, 105, 122, 123syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
12513, 7, 14, 8lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
126104, 116, 120, 125syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
12713, 21lmod4 20387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘Ž Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉 ∧ (𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + ((π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) + (𝑑 Β· π‘Œ))) = (((π‘Ž Β· π‘₯) + (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))))
128104, 108, 109, 124, 126, 127syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + ((π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) + (𝑑 Β· π‘Œ))) = (((π‘Ž Β· π‘₯) + (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))))
12913, 21, 7, 14, 8, 117lmodvsdir 20361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ) = (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) Β· π‘Œ) + (𝑑 Β· π‘Œ)))
130104, 115, 116, 120, 129syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ) = (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) Β· π‘Œ) + (𝑑 Β· π‘Œ)))
13113, 7, 14, 8, 113lmodvsass 20362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) Β· π‘Œ) = (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)))
132104, 105, 112, 120, 131syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) Β· π‘Œ) = (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)))
133132oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠) Β· π‘Œ) + (𝑑 Β· π‘Œ)) = ((π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) + (𝑑 Β· π‘Œ)))
134130, 133eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ) = ((π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) + (𝑑 Β· π‘Œ)))
135134oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ)) = (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + ((π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ)) + (𝑑 Β· π‘Œ))))
13613, 21, 7, 14, 8lmodvsdi 20360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž Β· (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ))) = ((π‘Ž Β· π‘₯) + (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ))))
137104, 105, 106, 122, 136syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ž Β· (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ))) = ((π‘Ž Β· π‘₯) + (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ))))
138137oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž Β· (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))) = (((π‘Ž Β· π‘₯) + (π‘Ž Β· (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))))
139128, 135, 1383eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ)) = ((π‘Ž Β· (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))))
140103, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
141 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
142 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
1437, 8, 21, 14, 54lsscl 20418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆 ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž Β· (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))) ∈ (π‘β€˜π΄))
144140, 105, 141, 142, 143syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž Β· (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ))) + (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ))) ∈ (π‘β€˜π΄))
145139, 144eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
146 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘Œ) = (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ))
147146oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) β†’ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ)))
148147eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = ((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) β†’ ((((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
149148rspcev 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) ∈ 𝐡 ∧ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (((π‘Ž(.rβ€˜πΉ)𝑠)(+gβ€˜πΉ)𝑑) Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
150119, 145, 149syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
151 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) β†’ (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)))
152151eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) β†’ ((𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
153152rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
154153, 2elrab2 3649 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄 ↔ (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
155111, 150, 154sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄)
1561553exp 1120 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄)))
157156rexlimdvv 3201 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄))
158102, 157biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄))
159158expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (π‘₯ + (𝑠 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑦 + (𝑑 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄))
160101, 159biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄))
161160exp4b 432 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑄 β†’ (𝑦 ∈ 𝑄 β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄))))
1621613imp2 1350 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄)) β†’ ((π‘Ž Β· π‘₯) + 𝑦) ∈ 𝑄)
16374, 75, 76, 77, 78, 79, 4, 80, 162islssd 20411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
16454, 25lspid 20458 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘„) = 𝑄)
1651, 163, 164syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘„) = 𝑄)
16673, 165sseqtrd 3985 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βŠ† 𝑄)
167 lspsolv.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})))
168166, 167sseldd 3946 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑄)
169 oveq1 7365 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)))
170169eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
171170rexbidv 3172 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑧 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
172171, 2elrab2 3649 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑄 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
173172simprbi 498 . 2 (𝑋 ∈ 𝑄 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
174168, 173syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐡 (𝑋 + (π‘Ÿ Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  1rcur 19918  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448
This theorem is referenced by:  lspsolv  20620
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