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Theorem lshpkrlem5 37972
Description: Lemma for lshpkrex 37976. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   𝑧,𝑙, +   𝐺,𝑙,𝑧   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙,𝑧   𝑋,𝑙,𝑧   𝑍,𝑙,𝑧,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙,𝑧   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   + (𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)   0 (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒,𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
2 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . 3 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
4 simp11 1203 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ πœ‘)
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20709 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
109lsssssubg 20561 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
118, 10syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
12 lshpkrlem.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
135, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 lshpkrlem.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
159, 12, 13, 14lshplss 37839 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
164, 15syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1711, 16sseldd 3982 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 lshpkrlem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
194, 18syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
20 lshpkrlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21 lshpkrlem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
2220, 9, 21lspsncl 20580 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
238, 19, 22syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2411, 23sseldd 3982 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
25 lshpkrlem.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
26 lshpkrlem.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 37845 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (π‘β€˜{𝑍})) = {(0gβ€˜π‘Š)})
284, 27syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (π‘ˆ ∩ (π‘β€˜{𝑍})) = {(0gβ€˜π‘Š)})
29 lmodabl 20511 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
308, 29syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Š ∈ Abel)
313, 30, 17, 24ablcntzd 19719 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘ˆ βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{𝑍})))
32 simp23r 1295 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
33 simp12 1204 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
34 simp22 1207 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ)
35 lshpkrlem.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
36 lshpkrlem.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
37 lshpkrlem.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
3835, 36, 37, 9lssvscl 20558 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ)
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ)
40 simp23l 1294 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
411, 9lssvacl 20557 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) ∈ π‘ˆ)
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 837 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) ∈ π‘ˆ)
43 simp13 1205 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
4420, 35, 36, 37lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
458, 33, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
46 simp21 1206 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
4720, 1lmodvacl 20478 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
488, 45, 46, 47syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
495adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5014adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
5118adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
52 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
5326adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
54 lshpkrlem.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π·)
55 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 37969 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) ∈ 𝐾)
574, 48, 56syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) ∈ 𝐾)
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19lspsneli 20604 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
595adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6014adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
6118adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
62 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
6326adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 37969 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾)
654, 43, 64syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾)
66 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
6735, 37, 66lmodmcl 20476 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ 𝐾) β†’ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾)
688, 33, 65, 67syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾)
695adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7014adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
7118adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
72 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
7326adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 37969 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
754, 46, 74syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
76 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
7735, 37, 76lmodacl 20475 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) ∈ 𝐾)
788, 68, 75, 77syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) ∈ 𝐾)
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19lspsneli 20604 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍) ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
80 simp33 1211 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
81 simp1 1136 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉))
8220, 9lssel 20540 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑉)
8316, 34, 82syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑉)
8420, 9lssel 20540 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑠 ∈ 𝑉)
8516, 40, 84syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑉)
86 simp31 1209 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
87 simp32 1210 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
88 lshpkrlem.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 37971 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑉 ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1388 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
9180, 90eqtr3d 2774 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)) = (((𝑙 Β· π‘Ÿ) + 𝑠) + (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍)))
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 19554 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍) = (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍))
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 37844 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
944, 93syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 20717 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍) = (((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)) Β· 𝑍) ↔ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
9692, 95mpbid 231 1 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  Cntzccntz 19173  LSSumclsm 19496  Abelcabl 19643  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSHypclsh 37833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lshyp 37835
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  37973
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