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Theorem lshpkrlem5 34924
Description: Lemma for lshpkrex 34928. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧,𝑙, +   𝐺,𝑙,𝑧   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙,𝑧   𝑋,𝑙,𝑧   𝑍,𝑙,𝑧,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑧   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3 + = (+g𝑊)
2 eqid 2771 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3 eqid 2771 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4 simp11 1245 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝜑)
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19320 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LMod)
9 eqid 2771 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
109lsssssubg 19172 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
12 lshpkrlem.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
135, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
14 lshpkrlem.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
159, 12, 13, 14lshplss 34791 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
164, 15syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1711, 16sseldd 3754 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lshpkrlem.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
194, 18syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑍𝑉)
20 lshpkrlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
21 lshpkrlem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2220, 9, 21lspsncl 19191 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
238, 19, 22syl2anc 567 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2411, 23sseldd 3754 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
25 lshpkrlem.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
26 lshpkrlem.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 34797 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
284, 27syl 17 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
29 lmodabl 19121 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
308, 29syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑊 ∈ Abel)
313, 30, 17, 24ablcntzd 18468 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
32 simp23r 1379 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑧𝑈)
33 simp12 1246 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑙𝐾)
34 simp22 1249 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟𝑈)
35 lshpkrlem.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
36 lshpkrlem.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
37 lshpkrlem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐷)
3835, 36, 37, 9lssvscl 19169 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑙𝐾𝑟𝑈)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑈)
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 1477 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑈)
40 simp23l 1378 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠𝑈)
411, 9lssvacl 19168 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑈𝑠𝑈)) → ((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) ∈ 𝑈)
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 1477 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) ∈ 𝑈)
43 simp13 1247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢𝑉)
4420, 35, 36, 37lmodvscl 19091 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾𝑢𝑉) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
458, 33, 43, 44syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
46 simp21 1248 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣𝑉)
4720, 1lmodvacl 19088 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉𝑣𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
488, 45, 46, 47syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
495adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
5014adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → 𝑈𝐻)
5118adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → 𝑍𝑉)
52 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
5326adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
54 lshpkrlem.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
55 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34921 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) ∈ 𝐾)
574, 48, 56syl2anc 567 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) ∈ 𝐾)
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19lspsneli 19215 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
595adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
6014adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑈𝐻)
6118adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑍𝑉)
62 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
6326adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
654, 43, 64syl2anc 567 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
66 eqid 2771 . . . . . . 7 (.r𝐷) = (.r𝐷)
6735, 37, 66lmodmcl 19086 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾 ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
688, 33, 65, 67syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
695adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
7014adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈𝐻)
7118adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑍𝑉)
72 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
7326adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34921 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
754, 46, 74syl2anc 567 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
76 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7735, 37, 76lmodacl 19085 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐾) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) ∈ 𝐾)
788, 68, 75, 77syl3anc 1476 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) ∈ 𝐾)
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19lspsneli 19215 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
80 simp33 1253 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
81 simp1 1130 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉))
8220, 9lssel 19149 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑟𝑈) → 𝑟𝑉)
8316, 34, 82syl2anc 567 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟𝑉)
8420, 9lssel 19149 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑈) → 𝑠𝑉)
8516, 40, 84syl2anc 567 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠𝑉)
86 simp31 1251 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
87 simp32 1252 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
88 lshpkrlem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 34923 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1494 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
9180, 90eqtr3d 2807 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 18313 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍))
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 34796 . . . 4 (𝜑𝑍 ≠ (0g𝑊))
944, 93syl 17 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑍 ≠ (0g𝑊))
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 19326 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) ↔ (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣))))
9692, 95mpbid 222 1 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cin 3723  wss 3724  {csn 4317  cmpt 4864  cfv 6032  crio 6754  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  +gcplusg 16150  .rcmulr 16151  Scalarcsca 16153   ·𝑠 cvsca 16154  0gc0g 16309  SubGrpcsubg 17797  Cntzccntz 17956  LSSumclsm 18257  Abelcabl 18402  LModclmod 19074  LSubSpclss 19143  LSpanclspn 19185  LVecclvec 19316  LSHypclsh 34785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-sbg 17636  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-lsm 18259  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-drng 18960  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lsp 19186  df-lvec 19317  df-lshyp 34787
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  34925
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