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Theorem lshpkrlem5 39070
Description: Lemma for lshpkrex 39074. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧,𝑙, +   𝐺,𝑙,𝑧   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙,𝑧   𝑋,𝑙,𝑧   𝑍,𝑙,𝑧,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑧   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3 + = (+g𝑊)
2 eqid 2740 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3 eqid 2740 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4 simp11 1203 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝜑)
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 21128 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑊 ∈ LMod)
9 eqid 2740 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
109lsssssubg 20979 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
12 lshpkrlem.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
135, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
14 lshpkrlem.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
159, 12, 13, 14lshplss 38937 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
164, 15syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1711, 16sseldd 4009 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lshpkrlem.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
194, 18syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑍𝑉)
20 lshpkrlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
21 lshpkrlem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2220, 9, 21lspsncl 20998 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
238, 19, 22syl2anc 583 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2411, 23sseldd 4009 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
25 lshpkrlem.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
26 lshpkrlem.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 38943 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
284, 27syl 17 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g𝑊)})
29 lmodabl 20929 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
308, 29syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑊 ∈ Abel)
313, 30, 17, 24ablcntzd 19899 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
32 simp23r 1295 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑧𝑈)
33 simp12 1204 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑙𝐾)
34 simp22 1207 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟𝑈)
35 lshpkrlem.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
36 lshpkrlem.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
37 lshpkrlem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐷)
3835, 36, 37, 9lssvscl 20976 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑙𝐾𝑟𝑈)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑈)
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 838 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑈)
40 simp23l 1294 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠𝑈)
411, 9lssvacl 20964 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑈𝑠𝑈)) → ((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) ∈ 𝑈)
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 838 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) ∈ 𝑈)
43 simp13 1205 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢𝑉)
4420, 35, 36, 37lmodvscl 20898 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾𝑢𝑉) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
458, 33, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
46 simp21 1206 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣𝑉)
4720, 1lmodvacl 20895 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉𝑣𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
488, 45, 46, 47syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
495adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
5014adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → 𝑈𝐻)
5118adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → 𝑍𝑉)
52 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
5326adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
54 lshpkrlem.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
55 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 39067 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) ∈ 𝐾)
574, 48, 56syl2anc 583 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) ∈ 𝐾)
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19ellspsni 21022 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
595adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
6014adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑈𝐻)
6118adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑍𝑉)
62 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
6326adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 39067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
654, 43, 64syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
66 eqid 2740 . . . . . . 7 (.r𝐷) = (.r𝐷)
6735, 37, 66lmodmcl 20893 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾 ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
688, 33, 65, 67syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
695adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
7014adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈𝐻)
7118adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑍𝑉)
72 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
7326adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 39067 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
754, 46, 74syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
76 eqid 2740 . . . . . 6 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7735, 37, 76lmodacl 20892 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐾) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) ∈ 𝐾)
788, 68, 75, 77syl3anc 1371 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) ∈ 𝐾)
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19ellspsni 21022 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
80 simp33 1211 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
81 simp1 1136 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉))
8220, 9lssel 20958 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑟𝑈) → 𝑟𝑉)
8316, 34, 82syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟𝑉)
8420, 9lssel 20958 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑈) → 𝑠𝑉)
8516, 40, 84syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠𝑉)
86 simp31 1209 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
87 simp32 1210 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
88 lshpkrlem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 39069 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1388 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
9180, 90eqtr3d 2782 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 19734 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍))
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 38942 . . . 4 (𝜑𝑍 ≠ (0g𝑊))
944, 93syl 17 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑍 ≠ (0g𝑊))
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 21137 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) ↔ (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣))))
9692, 95mpbid 232 1 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wrex 3076  cin 3975  wss 3976  {csn 4648  cmpt 5249  cfv 6573  crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  .rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·𝑠 cvsca 17315  0gc0g 17499  SubGrpcsubg 19160  Cntzccntz 19355  LSSumclsm 19676  Abelcabl 19823  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124  LSHypclsh 38931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lshyp 38933
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  39071
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