Theorem lmodcom 21163

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodcom.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	lmod1cl 21144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6	1, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
8	2, 3, 7	lmodacl 21127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 21140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
17	12, 13	lmodvacl 21130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 21141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
20	16, 19	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 21141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 21145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
24	1, 10, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
25	24, 24	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
26	22, 25	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 21141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 21145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = 𝑌)
30	1, 11, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = 𝑌)
31	30, 30	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
32	28, 31	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
33	26, 32	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 21145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
35	1, 17, 34	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
36	35, 35	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
38	12, 13	lmodvacl 21130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
40	12, 13	lmodass 21131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
42	12, 13	lmodass 21131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
45		lmodgrp 21122	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
46	1, 45	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
47	12, 13	lmodvacl 21130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
49	12, 13	lmodvacl 21130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
51	12, 13	grprcan 19164	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
53	44, 52	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
54	12, 13	lmodass 21131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
56	12, 13	lmodass 21131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
59	12, 13	lmodvacl 21130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
60	59	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
61	12, 13	lmodlcan 21132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
63	58, 62	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  Grpcgrp 19124  1_rcur 20387  LModclmod 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-lmod 21117

This theorem is used by:  lmodabl  21164  lssvsubcl  21199  lssvancl2  21201  lspsolv  21401  lflsub  40092  lcfrlem21  42588  lcfrlem42  42609  mapdindp4  42748