MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodcom 20368
Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodcom.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodcom ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
52, 3, 4lmod1cl 20349 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
82, 3, 7lmodacl 20333 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
91, 6, 6, 8syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
11 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝑊)
14 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 20345 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
1712, 13lmodvacl 20336 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 20346 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
2016, 19eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 20346 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)))
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)))
2312, 2, 14, 4lmodvs1 20350 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
241, 10, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
2524, 24oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2622, 25eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 20346 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
2912, 2, 14, 4lmodvs1 20350 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
301, 11, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
3130, 30oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
3228, 31eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
3326, 32oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
3412, 2, 14, 4lmodvs1 20350 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
351, 17, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
3635, 35oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3720, 33, 363eqtr3d 2784 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3812, 13lmodvacl 20336 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
391, 10, 10, 38syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
4012, 13lmodass 20337 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
4212, 13lmodass 20337 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4437, 41, 433eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
45 lmodgrp 20329 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
461, 45syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
4712, 13lmodvacl 20336 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
481, 39, 11, 47syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
4912, 13lmodvacl 20336 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
501, 17, 10, 49syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
5112, 13grprcan 18784 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1372 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5344, 52mpbid 231 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
5412, 13lmodass 20337 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
5612, 13lmodass 20337 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5853, 55, 573eqtr3d 2784 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5912, 13lmodvacl 20336 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
60593com23 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
6112, 13lmodlcan 20338 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6358, 62mpbid 231 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  1rcur 19913  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324
This theorem is referenced by:  lmodabl  20369  lssvsubcl  20404  lssvancl2  20406  lspsolv  20604  lflsub  37529  lcfrlem21  40026  lcfrlem42  40047  mapdindp4  40186
  Copyright terms: Public domain W3C validator