Theorem lmodcom 20894

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodcom.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	lmod1cl 20875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
8	2, 3, 7	lmodacl 20858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 20871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
17	12, 13	lmodvacl 20861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 20872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
20	16, 19	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 20872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 20876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
24	1, 10, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
25	24, 24	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
26	22, 25	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 20872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 20876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = 𝑌)
30	1, 11, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = 𝑌)
31	30, 30	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
32	28, 31	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
33	26, 32	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 20876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
35	1, 17, 34	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
36	35, 35	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
38	12, 13	lmodvacl 20861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
40	12, 13	lmodass 20862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
42	12, 13	lmodass 20862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
45		lmodgrp 20853	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
46	1, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
47	12, 13	lmodvacl 20861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
49	12, 13	lmodvacl 20861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
51	12, 13	grprcan 18940	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
53	44, 52	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
54	12, 13	lmodass 20862	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
56	12, 13	lmodass 20862	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
59	12, 13	lmodvacl 20861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
60	59	3com23 1127	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
61	12, 13	lmodlcan 20863	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
63	58, 62	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Grpcgrp 18900  1_rcur 20153  LModclmod 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848

This theorem is referenced by:  lmodabl  20895  lssvsubcl  20930  lssvancl2  20932  lspsolv  21133  lflsub  39527  lcfrlem21  42023  lcfrlem42  42044  mapdindp4  42183