Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodcom 19680
 Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodcom.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodcom ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
52, 3, 4lmod1cl 19661 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
82, 3, 7lmodacl 19645 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
91, 6, 6, 8syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
11 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝑊)
14 eqid 2824 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 19657 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
1712, 13lmodvacl 19648 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 19658 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
2016, 19eqtr3d 2861 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 19658 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)))
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)))
2312, 2, 14, 4lmodvs1 19662 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
241, 10, 23syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
2524, 24oveq12d 7167 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2622, 25eqtrd 2859 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 19658 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
2912, 2, 14, 4lmodvs1 19662 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
301, 11, 29syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
3130, 30oveq12d 7167 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
3228, 31eqtrd 2859 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
3326, 32oveq12d 7167 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
3412, 2, 14, 4lmodvs1 19662 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
351, 17, 34syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
3635, 35oveq12d 7167 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3720, 33, 363eqtr3d 2867 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3812, 13lmodvacl 19648 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
391, 10, 10, 38syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
4012, 13lmodass 19649 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
4212, 13lmodass 19649 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4437, 41, 433eqtr4d 2869 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
45 lmodgrp 19641 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
461, 45syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
4712, 13lmodvacl 19648 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
481, 39, 11, 47syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
4912, 13lmodvacl 19648 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
501, 17, 10, 49syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
5112, 13grprcan 18137 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5344, 52mpbid 235 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
5412, 13lmodass 19649 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1369 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
5612, 13lmodass 19649 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1369 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5853, 55, 573eqtr3d 2867 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5912, 13lmodvacl 19648 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
60593com23 1123 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
6112, 13lmodlcan 19650 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6358, 62mpbid 235 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  Grpcgrp 18103  1rcur 19251  LModclmod 19634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636 This theorem is referenced by:  lmodabl  19681  lssvsubcl  19715  lssvancl2  19717  lspsolv  19915  lflsub  36308  lcfrlem21  38804  lcfrlem42  38825  mapdindp4  38964
 Copyright terms: Public domain W3C validator