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Theorem lss1d 20566
Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if 𝑋 is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss1d.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lss1d.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lss1d.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lss1d.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lss1d.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lss1d ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝐾   Β· ,π‘˜,𝑣   π‘˜,𝑉,𝑣   π‘˜,𝐹   π‘˜,π‘Š,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,π‘˜)   𝐹(𝑣)
Proof of Theorem lss1d
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lss1d.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
3 lss1d.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
43a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ))
5 lss1d.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
65a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
7 eqidd 2733 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
8 lss1d.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
98a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
10 lss1d.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1110a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
125, 1, 8, 3lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
13123expa 1118 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
1413an32s 650 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
15 eleq1a 2828 . . . . 5 ((π‘˜ Β· 𝑋) ∈ 𝑉 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
1614, 15syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
1716rexlimdva 3155 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
1817abssdv 4064 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} βŠ† 𝑉)
19 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
201, 3, 19lmod0cl 20490 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2120adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
22 nfcv 2903 . . . 4 β„²π‘˜(0gβ€˜πΉ)
23 nfre1 3282 . . . . . 6 β„²π‘˜βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)
2423nfab 2909 . . . . 5 β„²π‘˜{𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}
25 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ…
2624, 25nfne 3043 . . . 4 β„²π‘˜{𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β‰  βˆ…
27 biidd 261 . . . 4 (π‘˜ = (0gβ€˜πΉ) β†’ ({𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β‰  βˆ… ↔ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β‰  βˆ…))
28 ovex 7438 . . . . . 6 (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V
2928elabrex 7238 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
3029ne0d 4334 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β‰  βˆ…)
3122, 26, 27, 30vtoclgaf 3564 . . 3 ((0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β‰  βˆ…)
3221, 31syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β‰  βˆ…)
33 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 π‘Ž ∈ V
34 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = π‘Ž β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝑋)))
3534rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝑋)))
3633, 35elab 3667 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝑋))
37 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = (𝑦 Β· 𝑋))
3837eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋)))
3938cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋))
4036, 39bitri 274 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋))
41 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑏 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑏 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
4342rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑏 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
4441, 43elab 3667 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑏 = (π‘˜ Β· 𝑋))
45 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = (𝑧 Β· 𝑋))
4645eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑏 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)))
4746cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑏 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋))
4844, 47bitri 274 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋))
4940, 48anbi12i 627 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)))
50 reeanv 3226 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 (π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)))
5149, 50bitr4i 277 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 (π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)))
52 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
53 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
54 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
561, 3, 55lmodmcl 20476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) ∈ 𝐾)
5752, 53, 54, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) ∈ 𝐾)
58 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐾)
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
601, 3, 59lmodacl 20475 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) ∈ 𝐾)
6152, 57, 58, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) ∈ 𝐾)
62 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
63 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
645, 63, 1, 8, 3, 59lmodvsdir 20488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) Β· 𝑋) = (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)))
6552, 57, 58, 62, 64syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) Β· 𝑋) = (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)))
665, 1, 8, 3, 55lmodvsass 20489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) Β· 𝑋) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋)))
6752, 53, 54, 62, 66syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) Β· 𝑋) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋)))
6867oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)))
6965, 68eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) Β· 𝑋))
70 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = ((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) Β· 𝑋))
7170rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = (((π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦)(+gβ€˜πΉ)𝑧) Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = (π‘˜ Β· 𝑋))
7261, 69, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = (π‘˜ Β· 𝑋))
73 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋)))
74 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ Β· π‘Ž) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋)) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)))
7573, 74sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)))
7675eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = (π‘˜ Β· 𝑋)))
7776rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝑧 Β· 𝑋)) = (π‘˜ Β· 𝑋)))
7872, 77syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋)))
7978expr 457 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ ((π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋))))
8079com23 86 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋))))
8180rexlimdvva 3211 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 (π‘Ž = (𝑦 Β· 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 Β· 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋))))
8251, 81biimtrid 241 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋))))
8382expcomd 417 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β†’ (π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋)))))
8483com24 95 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ (π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β†’ (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋)))))
85843imp2 1349 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋))
86 ovex 7438 . . . 4 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V
87 eqeq1 2736 . . . . 5 (𝑣 = ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋)))
8887rexbidv 3178 . . . 4 (𝑣 = ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋)))
8986, 88elab 3667 . . 3 (((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑋))
9085, 89sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})) β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
912, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 32, 90islssd 20538 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4321  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535
This theorem is referenced by:  lspsn  20605
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