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Theorem lss1d 20979
Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if 𝑋 is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss1d.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lss1d.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lss1d.t · = ( ·𝑠𝑊)
lss1d.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lss1d.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1d ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝐹   𝑘,𝑊,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑘)   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lss1d
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lss1d.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
3 lss1d.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
43a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 = (Base‘𝐹))
5 lss1d.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
65a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
7 eqidd 2736 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
8 lss1d.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
98a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → · = ( ·𝑠𝑊))
10 lss1d.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1110a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
125, 1, 8, 3lmodvscl 20893 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘𝐾𝑋𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13123expa 1117 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘𝐾) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1413an32s 652 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15 eleq1a 2834 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1614, 15syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1716rexlimdva 3153 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1817abssdv 4078 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ 𝑉)
19 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
201, 3, 19lmod0cl 20903 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
22 nfcv 2903 . . . 4 𝑘(0g𝐹)
23 nfre1 3283 . . . . . 6 𝑘𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)
2423nfab 2909 . . . . 5 𝑘{𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}
25 nfcv 2903 . . . . 5 𝑘
2624, 25nfne 3041 . . . 4 𝑘{𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅
27 biidd 262 . . . 4 (𝑘 = (0g𝐹) → ({𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅ ↔ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅))
28 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑘 · 𝑋) ∈ V
2928elabrex 7262 . . . . 5 (𝑘𝐾 → (𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
3029ne0d 4348 . . . 4 (𝑘𝐾 → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3122, 26, 27, 30vtoclgaf 3576 . . 3 ((0g𝐹) ∈ 𝐾 → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3221, 31syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
33 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
34 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
3534rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
3633, 35elab 3681 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋))
37 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
3837eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑦 · 𝑋)))
3938cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
4036, 39bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
41 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑏 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
4342rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
4441, 43elab 3681 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋))
45 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
4645eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
4746cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
4844, 47bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
4940, 48anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ (∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
50 reeanv 3227 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
5149, 50bitr4i 278 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ ∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
52 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
53 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑥𝐾)
54 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑦𝐾)
55 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐹) = (.r𝐹)
561, 3, 55lmodmcl 20888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
5752, 53, 54, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
58 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑧𝐾)
59 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐹) = (+g𝐹)
601, 3, 59lmodacl 20887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾𝑧𝐾) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
6152, 57, 58, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
62 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑋𝑉)
63 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝑊) = (+g𝑊)
645, 63, 1, 8, 3, 59lmodvsdir 20901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾𝑧𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
6552, 57, 58, 62, 64syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
665, 1, 8, 3, 55lmodvsass 20902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
6752, 53, 54, 62, 66syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
6867oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
6965, 68eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋))
70 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) → (𝑘 · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋))
7170rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
7261, 69, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
73 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
74 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7573, 74sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7675eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
7776rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
7872, 77syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
7978expr 456 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑥𝐾 → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8079com23 86 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8180rexlimdvva 3211 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8251, 81biimtrid 242 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8382expcomd 416 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
8483com24 95 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑥𝐾 → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
85843imp2 1348 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑥𝐾𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
86 ovex 7464 . . . 4 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
87 eqeq1 2739 . . . . 5 (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
8887rexbidv 3177 . . . 4 (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
8986, 88elab 3681 . . 3 (((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
9085, 89sylibr 234 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑥𝐾𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
912, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 32, 90islssd 20951 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wrex 3068  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948
This theorem is referenced by:  lspsn  21018
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