Theorem grpcl 18981

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18980	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndcl 18780	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-nul 5324

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976

This theorem is referenced by:  grpcld  18987  grprcan  19013  grprinv  19030  grplmulf1o  19053  grpinvadd  19058  grpsubf  19059  grpsubadd  19068  grpaddsubass  19070  grpnpcan  19072  grpsubsub4  19073  grppnpcan2  19074  grplactcnv  19083  imasgrp  19096  mulgcl  19131  mulgaddcomlem  19137  mulgdir  19146  subgcl  19176  nsgacs  19202  nmzsubg  19205  nsgid  19210  eqgcpbl  19222  qusgrp  19226  qusadd  19228  ecqusaddcl  19233  qus0subgadd  19239  ghmrn  19269  idghm  19271  ghmpreima  19278  ghmnsgima  19280  ghmnsgpreima  19281  ghmf1o  19288  conjghm  19289  qusghm  19295  gaid  19339  subgga  19340  gass  19341  gaorber  19348  gastacl  19349  gastacos  19350  cntzsubg  19379  galactghm  19446  lactghmga  19447  symgsssg  19509  symgfisg  19510  symggen  19512  sylow1lem2  19641  sylow2blem1  19662  sylow2blem2  19663  sylow2blem3  19664  sylow3lem1  19669  sylow3lem2  19670  subgdisj1  19733  ablsub4  19852  abladdsub4  19853  mulgdi  19868  mulgghm  19870  invghm  19875  ghmplusg  19888  odadd1  19890  odadd2  19891  odadd  19892  gex2abl  19893  gexexlem  19894  torsubg  19896  oddvdssubg  19897  frgpnabllem2  19916  rngacl  20189  rngpropd  20201  ringacl  20301  ringpropd  20311  dvrdir  20438  drngmclOLD  20773  abvtrivd  20855  idsrngd  20879  lmodacl  20892  lmodvacl  20895  lmodprop2d  20944  rmodislmod  20950  rmodislmodOLD  20951  prdslmodd  20990  pwssplit2  21082  evpmodpmf1o  21637  frlmplusgvalb  21812  asclghm  21926  psraddclOLD  21982  mplind  22117  evlslem1  22129  evl1addd  22366  scmataddcl  22543  mdetralt  22635  mdetunilem6  22644  opnsubg  24137  ghmcnp  24144  qustgpopn  24149  ngprcan  24644  ngpocelbl  24746  nmotri  24781  ncvspi  25209  cphipval2  25294  4cphipval2  25295  cphipval  25296  efsubm  26611  abvcxp  27677  ttgcontlem1  28917  abliso  33022  ogrpaddltbi  33068  ogrpaddltrbid  33070  ogrpinvlt  33073  cyc3co2  33133  cyc3genpmlem  33144  cycpmconjs  33149  cyc3conja  33150  archiabllem2a  33174  archiabllem2c  33175  archiabllem2b  33176  imaslmod  33346  quslmod  33351  qusxpid  33356  nsgmgclem  33404  drgextlsp  33608  matunitlindflem1  37576  fldhmf1  42047  primrootsunit1  42054  aks6d1c1p2  42066  aks6d1c1p3  42067  nelsubgcld  42452  evlsaddval  42523  fsuppssind  42548  gicabl  43056  isnumbasgrplem2  43061  mendlmod  43150