Theorem grpcl 18846

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18845	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndcl 18642	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  Mndcmnd 18634  Grpcgrp 18838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841

This theorem is referenced by:  grpcld  18852  grprcan  18878  grprinv  18895  grplmulf1o  18918  grpinvadd  18923  grpsubf  18924  grpsubadd  18933  grpaddsubass  18935  grpnpcan  18937  grpsubsub4  18938  grppnpcan2  18939  grplactcnv  18948  imasgrp  18961  mulgcl  18996  mulgaddcomlem  19002  mulgdir  19011  subgcl  19041  nsgacs  19067  nmzsubg  19070  nsgid  19075  eqgcpbl  19087  qusgrp  19091  qusadd  19093  ecqusaddcl  19098  qus0subgadd  19104  ghmrn  19134  idghm  19136  ghmpreima  19143  ghmnsgima  19145  ghmnsgpreima  19146  ghmf1o  19153  conjghm  19154  qusghm  19160  gaid  19204  subgga  19205  gass  19206  gaorber  19213  gastacl  19214  gastacos  19215  cntzsubg  19244  galactghm  19309  lactghmga  19310  symgsssg  19372  symgfisg  19373  symggen  19375  sylow1lem2  19504  sylow2blem1  19525  sylow2blem2  19526  sylow2blem3  19527  sylow3lem1  19532  sylow3lem2  19533  subgdisj1  19596  ablsub4  19715  abladdsub4  19716  mulgdi  19731  mulgghm  19733  invghm  19738  ghmplusg  19751  odadd1  19753  odadd2  19754  odadd  19755  gex2abl  19756  gexexlem  19757  torsubg  19759  oddvdssubg  19760  frgpnabllem2  19779  ogrpaddltbi  20044  ogrpaddltrbid  20046  ogrpinvlt  20049  rngacl  20073  rngpropd  20085  ringacl  20189  ringpropd  20199  dvrdir  20323  drngmclOLD  20659  abvtrivd  20740  idsrngd  20764  lmodacl  20798  lmodvacl  20801  lmodprop2d  20850  rmodislmod  20856  prdslmodd  20895  pwssplit2  20987  evpmodpmf1o  21526  frlmplusgvalb  21699  asclghm  21813  psraddclOLD  21869  mplind  21998  evlslem1  22010  evl1addd  22249  scmataddcl  22424  mdetralt  22516  mdetunilem6  22525  opnsubg  24016  ghmcnp  24023  qustgpopn  24028  ngprcan  24518  ngpocelbl  24612  nmotri  24647  ncvspi  25076  cphipval2  25161  4cphipval2  25162  cphipval  25163  efsubm  26480  abvcxp  27546  ttgcontlem1  28856  abliso  33007  cyc3co2  33099  cyc3genpmlem  33110  cycpmconjs  33115  cyc3conja  33116  archiabllem2a  33153  archiabllem2c  33154  archiabllem2b  33155  imaslmod  33308  quslmod  33313  qusxpid  33318  nsgmgclem  33366  drgextlsp  33596  matunitlindflem1  37635  fldhmf1  42102  primrootsunit1  42109  aks6d1c1p2  42121  aks6d1c1p3  42122  nelsubgcld  42509  evlsaddval  42580  fsuppssind  42605  gicabl  43111  isnumbasgrplem2  43116  mendlmod  43201