Theorem grpcl 18998

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18997	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndcl 18790	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  grpcld  19004  grprcan  19030  grprinv  19047  grplmulf1o  19070  grpinvadd  19075  grpsubf  19076  grpsubadd  19085  grpaddsubass  19087  grpnpcan  19089  grpsubsub4  19090  grppnpcan2  19091  grplactcnv  19100  imasgrp  19113  mulgcl  19148  mulgaddcomlem  19154  mulgdir  19163  subgcl  19193  nsgacs  19219  nmzsubg  19222  nsgid  19227  eqgcpbl  19241  qusxpid  19242  qusgrp  19248  qusadd  19250  ecqusaddcl  19255  qus0subgadd  19261  ghmrn  19290  idghm  19292  ghmpreima  19299  ghmnsgima  19301  ghmnsgpreima  19302  ghmf1o  19309  conjghm  19310  qusghm  19316  gaid  19360  subgga  19361  gass  19362  gaorber  19369  gastacl  19370  gastacos  19371  cntzsubg  19400  galactghm  19465  lactghmga  19466  symgsssg  19528  symgfisg  19529  symggen  19531  sylow1lem2  19660  sylow2blem1  19681  sylow2blem2  19682  sylow2blem3  19683  sylow3lem1  19688  sylow3lem2  19689  subgdisj1  19752  ablsub4  19871  abladdsub4  19872  mulgdi  19887  mulgghm  19889  invghm  19894  ghmplusg  19907  odadd1  19909  odadd2  19910  odadd  19911  gex2abl  19912  gexexlem  19913  torsubg  19915  oddvdssubg  19916  frgpnabllem2  19935  ogrpaddltbi  20200  ogrpaddltrbid  20202  ogrpinvlt  20205  rngacl  20231  rngpropd  20243  ringacl  20352  ringpropd  20362  dvrdir  20485  abvtrivd  20904  idsrngd  20928  lmodacl  20962  lmodvacl  20965  lmodprop2d  21014  rmodislmod  21020  prdslmodd  21059  pwssplit2  21150  evpmodpmf1o  21706  frlmplusgvalb  21879  asclghm  21992  mplind  22181  evlslem1  22193  evlsaddval  22240  evl1addd  22462  scmataddcl  22634  mdetralt  22726  mdetunilem6  22735  opnsubg  24226  ghmcnp  24233  qustgpopn  24238  ngprcan  24728  ngpocelbl  24822  nmotri  24857  ncvspi  25276  cphipval2  25361  4cphipval2  25362  cphipval  25363  efsubm  26674  abvcxp  27737  ttgcontlem1  29143  abliso  33268  cyc3co2  33373  cyc3genpmlem  33384  cycpmconjs  33389  cyc3conja  33390  archiabllem2a  33427  archiabllem2c  33428  archiabllem2b  33429  imaslmod  33588  quslmod  33593  nsgmgclem  33636  drgextlsp  33901  matunitlindflem1  38127  fldhmf1  42719  primrootsunit1  42726  aks6d1c1p2  42738  aks6d1c1p3  42739  nelsubgcld  43131  fsuppssind  43187  gicabl  43688  isnumbasgrplem2  43693  mendlmod  43778