Theorem grpcl 18873

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18872	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndcl 18669	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by:  grpcld  18879  grprcan  18905  grprinv  18922  grplmulf1o  18945  grpinvadd  18950  grpsubf  18951  grpsubadd  18960  grpaddsubass  18962  grpnpcan  18964  grpsubsub4  18965  grppnpcan2  18966  grplactcnv  18975  imasgrp  18988  mulgcl  19023  mulgaddcomlem  19029  mulgdir  19038  subgcl  19068  nsgacs  19094  nmzsubg  19097  nsgid  19102  eqgcpbl  19114  qusgrp  19118  qusadd  19120  ecqusaddcl  19125  qus0subgadd  19131  ghmrn  19161  idghm  19163  ghmpreima  19170  ghmnsgima  19172  ghmnsgpreima  19173  ghmf1o  19180  conjghm  19181  qusghm  19187  gaid  19231  subgga  19232  gass  19233  gaorber  19240  gastacl  19241  gastacos  19242  cntzsubg  19271  galactghm  19334  lactghmga  19335  symgsssg  19397  symgfisg  19398  symggen  19400  sylow1lem2  19529  sylow2blem1  19550  sylow2blem2  19551  sylow2blem3  19552  sylow3lem1  19557  sylow3lem2  19558  subgdisj1  19621  ablsub4  19740  abladdsub4  19741  mulgdi  19756  mulgghm  19758  invghm  19763  ghmplusg  19776  odadd1  19778  odadd2  19779  odadd  19780  gex2abl  19781  gexexlem  19782  torsubg  19784  oddvdssubg  19785  frgpnabllem2  19804  rngacl  20071  rngpropd  20083  ringacl  20187  ringpropd  20197  dvrdir  20321  drngmclOLD  20660  abvtrivd  20741  idsrngd  20765  lmodacl  20778  lmodvacl  20781  lmodprop2d  20830  rmodislmod  20836  prdslmodd  20875  pwssplit2  20967  evpmodpmf1o  21505  frlmplusgvalb  21678  asclghm  21792  psraddclOLD  21848  mplind  21977  evlslem1  21989  evl1addd  22228  scmataddcl  22403  mdetralt  22495  mdetunilem6  22504  opnsubg  23995  ghmcnp  24002  qustgpopn  24007  ngprcan  24498  ngpocelbl  24592  nmotri  24627  ncvspi  25056  cphipval2  25141  4cphipval2  25142  cphipval  25143  efsubm  26460  abvcxp  27526  ttgcontlem1  28812  abliso  32977  ogrpaddltbi  33032  ogrpaddltrbid  33034  ogrpinvlt  33037  cyc3co2  33097  cyc3genpmlem  33108  cycpmconjs  33113  cyc3conja  33114  archiabllem2a  33148  archiabllem2c  33149  archiabllem2b  33150  imaslmod  33324  quslmod  33329  qusxpid  33334  nsgmgclem  33382  drgextlsp  33589  matunitlindflem1  37610  fldhmf1  42078  primrootsunit1  42085  aks6d1c1p2  42097  aks6d1c1p3  42098  nelsubgcld  42485  evlsaddval  42556  fsuppssind  42581  gicabl  43088  isnumbasgrplem2  43093  mendlmod  43178