Theorem grpcl 18823

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18822	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndcl 18629	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5305

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7408  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818

This theorem is referenced by:  grpcld  18829  grprcan  18854  grprinv  18871  grplmulf1o  18893  grpinvadd  18897  grpsubf  18898  grpsubadd  18907  grpaddsubass  18909  grpnpcan  18911  grpsubsub4  18912  grppnpcan2  18913  grplactcnv  18922  imasgrp  18935  mulgcl  18965  mulgaddcomlem  18971  mulgdir  18980  subgcl  19010  nsgacs  19036  nmzsubg  19039  nsgid  19044  eqgcpbl  19056  qusgrp  19059  qusadd  19061  qus0subgadd  19070  ghmrn  19099  idghm  19101  ghmpreima  19108  ghmnsgima  19110  ghmnsgpreima  19111  ghmf1o  19116  conjghm  19117  conjnmz  19120  qusghm  19123  gaid  19157  subgga  19158  gass  19159  gaorber  19166  gastacl  19167  gastacos  19168  cntzsubg  19197  galactghm  19266  lactghmga  19267  symgsssg  19329  symgfisg  19330  symggen  19332  sylow1lem2  19461  sylow2blem1  19482  sylow2blem2  19483  sylow2blem3  19484  sylow3lem1  19489  sylow3lem2  19490  subgdisj1  19553  ablsub4  19672  abladdsub4  19673  mulgdi  19688  mulgghm  19690  invghm  19695  ghmplusg  19708  odadd1  19710  odadd2  19711  odadd  19712  gex2abl  19713  gexexlem  19714  torsubg  19716  oddvdssubg  19717  frgpnabllem2  19736  ringacl  20088  ringpropd  20095  dvrdir  20218  drngmcl  20324  abvtrivd  20440  idsrngd  20462  lmodacl  20475  lmodvacl  20478  lmodprop2d  20526  rmodislmod  20532  rmodislmodOLD  20533  prdslmodd  20572  pwssplit2  20663  evpmodpmf1o  21140  frlmplusgvalb  21315  asclghm  21428  psraddcl  21493  mplind  21622  evlslem1  21636  mhpaddcl  21685  evl1addd  21851  scmataddcl  22009  mdetralt  22101  mdetunilem6  22110  opnsubg  23603  ghmcnp  23610  qustgpopn  23615  ngprcan  24110  ngpocelbl  24212  nmotri  24247  ncvspi  24664  cphipval2  24749  4cphipval2  24750  cphipval  24751  efsubm  26051  abvcxp  27107  ttgcontlem1  28131  abliso  32184  ogrpaddltbi  32223  ogrpaddltrbid  32225  ogrpinvlt  32228  cyc3co2  32286  cyc3genpmlem  32297  cycpmconjs  32302  cyc3conja  32303  archiabllem2a  32327  archiabllem2c  32328  archiabllem2b  32329  imaslmod  32456  quslmod  32457  qusxpid  32463  nsgmgclem  32510  drgextlsp  32669  matunitlindflem1  36472  fldhmf1  40943  nelsubgcld  41068  evlsaddval  41137  fsuppssind  41162  gicabl  41826  isnumbasgrplem2  41831  mendlmod  41920  rngacl  46647  rngpropd  46659  ecqusaddcl  46750