Theorem grpcl 18875

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18874	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndcl 18671	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Mndcmnd 18663  Grpcgrp 18867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7363  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870

This theorem is referenced by:  grpcld  18881  grprcan  18907  grprinv  18924  grplmulf1o  18947  grpinvadd  18952  grpsubf  18953  grpsubadd  18962  grpaddsubass  18964  grpnpcan  18966  grpsubsub4  18967  grppnpcan2  18968  grplactcnv  18977  imasgrp  18990  mulgcl  19025  mulgaddcomlem  19031  mulgdir  19040  subgcl  19070  nsgacs  19095  nmzsubg  19098  nsgid  19103  eqgcpbl  19115  qusgrp  19119  qusadd  19121  ecqusaddcl  19126  qus0subgadd  19132  ghmrn  19162  idghm  19164  ghmpreima  19171  ghmnsgima  19173  ghmnsgpreima  19174  ghmf1o  19181  conjghm  19182  qusghm  19188  gaid  19232  subgga  19233  gass  19234  gaorber  19241  gastacl  19242  gastacos  19243  cntzsubg  19272  galactghm  19337  lactghmga  19338  symgsssg  19400  symgfisg  19401  symggen  19403  sylow1lem2  19532  sylow2blem1  19553  sylow2blem2  19554  sylow2blem3  19555  sylow3lem1  19560  sylow3lem2  19561  subgdisj1  19624  ablsub4  19743  abladdsub4  19744  mulgdi  19759  mulgghm  19761  invghm  19766  ghmplusg  19779  odadd1  19781  odadd2  19782  odadd  19783  gex2abl  19784  gexexlem  19785  torsubg  19787  oddvdssubg  19788  frgpnabllem2  19807  ogrpaddltbi  20072  ogrpaddltrbid  20074  ogrpinvlt  20077  rngacl  20101  rngpropd  20113  ringacl  20217  ringpropd  20227  dvrdir  20352  drngmclOLD  20688  abvtrivd  20769  idsrngd  20793  lmodacl  20827  lmodvacl  20830  lmodprop2d  20879  rmodislmod  20885  prdslmodd  20924  pwssplit2  21016  evpmodpmf1o  21555  frlmplusgvalb  21728  asclghm  21842  psraddclOLD  21899  mplind  22029  evlslem1  22041  evl1addd  22289  scmataddcl  22464  mdetralt  22556  mdetunilem6  22565  opnsubg  24056  ghmcnp  24063  qustgpopn  24068  ngprcan  24558  ngpocelbl  24652  nmotri  24687  ncvspi  25116  cphipval2  25201  4cphipval2  25202  cphipval  25203  efsubm  26520  abvcxp  27586  ttgcontlem1  28940  abliso  33099  cyc3co2  33203  cyc3genpmlem  33214  cycpmconjs  33219  cyc3conja  33220  archiabllem2a  33257  archiabllem2c  33258  archiabllem2b  33259  imaslmod  33415  quslmod  33420  qusxpid  33425  nsgmgclem  33473  drgextlsp  33731  matunitlindflem1  37788  fldhmf1  42381  primrootsunit1  42388  aks6d1c1p2  42400  aks6d1c1p3  42401  nelsubgcld  42788  evlsaddval  42850  fsuppssind  42872  gicabl  43377  isnumbasgrplem2  43382  mendlmod  43467