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Theorem imaslmod 32192
Description: The image structure of a left module is a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
imaslmod.u (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝐹 β€œs 𝑀))
imaslmod.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘€)
imaslmod.k 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
imaslmod.p + = (+gβ€˜π‘€)
imaslmod.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
imaslmod.o 0 = (0gβ€˜π‘€)
imaslmod.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imaslmod.e1 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž + 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝑝 + π‘ž))))
imaslmod.e2 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(π‘˜ Β· 𝑏))))
imaslmod.l (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
imaslmod (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   𝐹,π‘Ž,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   + ,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   𝑀,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   𝑁,π‘Ž,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   0 ,𝑝,π‘ž   𝑆,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑉,π‘Ž,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   + (π‘Ž)   𝑆(π‘ž,𝑝)   Β· (π‘Ž)   𝑀(π‘Ž)   0 (π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem imaslmod
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaslmod.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝐹 β€œs 𝑀))
2 imaslmod.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘€)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘€))
4 imaslmod.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
5 imaslmod.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
61, 3, 4, 5imasbas 17399 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘))
7 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘))
8 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
91, 3, 4, 5, 8imassca 17406 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘))
10 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘))
11 imaslmod.k . . 3 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
13 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
14 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
15 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
168lmodring 20344 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring)
175, 16syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring)
18 imaslmod.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘€)
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘€))
20 imaslmod.e1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž + 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝑝 + π‘ž))))
21 lmodgrp 20343 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
225, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Grp)
23 imaslmod.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘€)
241, 3, 19, 4, 20, 22, 23imasgrp 18868 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘)))
2524simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Grp)
26 imaslmod.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
27 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
28 imaslmod.e2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(π‘˜ Β· 𝑏))))
295adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
30 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑆)
31 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
322, 8, 26, 11lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ Β· 𝑏) ∈ 𝑉)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑏) ∈ 𝑉)
341, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28, 33imasvscaf 17426 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘):(𝑆 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
3534fovcld 31600 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣) ∈ 𝐡)
36 simp-5l 784 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ πœ‘)
37 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
3837simp1d 1143 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ 𝑒 ∈ 𝑆)
3938ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝑆)
4036, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
41 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
42 simp-4r 783 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
432, 18grpcl 18761 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉)
451, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧))) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· (𝑦 + 𝑧))))
4636, 39, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧))) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· (𝑦 + 𝑧))))
47 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘)
484, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 17419 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)))
4936, 41, 42, 48syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)))
50 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣)
51 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀)
5250, 51oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀))
5349, 52eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀))
5453oveq2d 7374 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧))) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀)))
5536, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
562, 18, 8, 26, 11lmodvsdi 20360 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑒 Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑒 Β· 𝑦) + (𝑒 Β· 𝑧)))
5755, 39, 41, 42, 56syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒 Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑒 Β· 𝑦) + (𝑒 Β· 𝑧)))
5857fveq2d 6847 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· (𝑦 + 𝑧))) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑦) + (𝑒 Β· 𝑧))))
5946, 54, 583eqtr3d 2781 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀)) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑦) + (𝑒 Β· 𝑧))))
602, 8, 26, 11lmodvscl 20354 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒 Β· 𝑦) ∈ 𝑉)
6155, 39, 41, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒 Β· 𝑦) ∈ 𝑉)
622, 8, 26, 11lmodvscl 20354 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒 Β· 𝑧) ∈ 𝑉)
6355, 39, 42, 62syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒 Β· 𝑧) ∈ 𝑉)
644, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 17419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 Β· 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 Β· 𝑧) ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑦))(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧))) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑦) + (𝑒 Β· 𝑧))))
6536, 61, 63, 64syl3anc 1372 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑦))(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧))) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑦) + (𝑒 Β· 𝑧))))
661, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑦)))
6736, 39, 41, 66syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑦)))
6850oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣))
6967, 68eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑦)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣))
701, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧)))
7136, 39, 42, 70syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧)))
7251oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
7371, 72eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
7469, 73oveq12d 7376 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑦))(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧))) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣)(+gβ€˜π‘)(𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
7559, 65, 743eqtr2d 2779 . . . 4 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀)) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣)(+gβ€˜π‘)(𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
76 simplll 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ πœ‘)
7737simp2d 1144 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
78 fofn 6759 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
794, 78syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
80 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
81 forn 6760 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
8382adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
8480, 83eleqtrrd 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ ran 𝐹)
85 fvelrnb 6904 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (𝑣 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣))
8685biimpa 478 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣)
8779, 84, 86syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣)
8876, 77, 87syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑣)
8975, 88r19.29a 3156 . . 3 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀)) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣)(+gβ€˜π‘)(𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
90 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
9182adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
9290, 91eleqtrrd 2837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ ran 𝐹)
93 fvelrnb 6904 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀))
9493biimpa 478 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀)
9579, 92, 94syl2an2r 684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀)
96953ad2antr3 1191 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀)
9789, 96r19.29a 3156 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣(+gβ€˜π‘)𝑀)) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑣)(+gβ€˜π‘)(𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
98 simplll 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ πœ‘)
995ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
100 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
101100simp1d 1143 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ 𝑒 ∈ 𝑆)
102100simp2d 1144 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
103 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
1048, 11, 103lmodacl 20348 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ (𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) ∈ 𝑆)
10599, 101, 102, 104syl3anc 1372 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) ∈ 𝑆)
106 simplr 768 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
1071, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)))
10898, 105, 106, 107syl3anc 1372 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)))
109 simpr 486 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀)
110109oveq2d 7374 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
1112, 18, 8, 26, 11, 103lmodvsdir 20361 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧) = ((𝑒 Β· 𝑧) + (𝑣 Β· 𝑧)))
11299, 101, 102, 106, 111syl13anc 1373 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧) = ((𝑒 Β· 𝑧) + (𝑣 Β· 𝑧)))
113112fveq2d 6847 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑧) + (𝑣 Β· 𝑧))))
11499, 101, 106, 62syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒 Β· 𝑧) ∈ 𝑉)
1152, 8, 26, 11lmodvscl 20354 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑣 Β· 𝑧) ∈ 𝑉)
11699, 102, 106, 115syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑣 Β· 𝑧) ∈ 𝑉)
1174, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 17419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 Β· 𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 Β· 𝑧) ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧))(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧))) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑧) + (𝑣 Β· 𝑧))))
11898, 114, 116, 117syl3anc 1372 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧))(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧))) = (πΉβ€˜((𝑒 Β· 𝑧) + (𝑣 Β· 𝑧))))
11998, 101, 106, 70syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧)))
120109oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
121119, 120eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
1221, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧)))
12398, 102, 106, 122syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧)))
124109oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
125123, 124eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧)) = (𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
126121, 125oveq12d 7376 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑧))(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧))) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)(+gβ€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
127113, 118, 1263eqtr2d 2779 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)(+gβ€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
128108, 110, 1273eqtr3d 2781 . . 3 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)(+gβ€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
129953ad2antr3 1191 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀)
130128, 129r19.29a 3156 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑒(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀) = ((𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)(+gβ€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
131 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
1328, 11, 131lmodmcl 20349 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ (𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) ∈ 𝑆)
13399, 101, 102, 132syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) ∈ 𝑆)
1341, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)))
13598, 133, 106, 134syl3anc 1372 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)))
136109oveq2d 7374 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀))
1371, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆 ∧ (𝑣 Β· 𝑧) ∈ 𝑉) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧))) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· (𝑣 Β· 𝑧))))
13898, 101, 116, 137syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧))) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· (𝑣 Β· 𝑧))))
139123oveq2d 7374 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§))) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜(𝑣 Β· 𝑧))))
1402, 8, 26, 11, 131lmodvsass 20362 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧) = (𝑒 Β· (𝑣 Β· 𝑧)))
14199, 101, 102, 106, 140syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧) = (𝑒 Β· (𝑣 Β· 𝑧)))
142141fveq2d 6847 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)) = (πΉβ€˜(𝑒 Β· (𝑣 Β· 𝑧))))
143138, 139, 1423eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣) Β· 𝑧)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§))))
144135, 136, 1433eqtr3d 2781 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§))))
145124oveq2d 7374 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§))) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
146144, 145eqtrd 2773 . . 3 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑀) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
147146, 129r19.29a 3156 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑒(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))𝑣)( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π‘)(𝑣( ·𝑠 β€˜π‘)𝑀)))
148 simplll 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ πœ‘)
149 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
15011, 149ringidcl 19994 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ 𝑆)
15117, 150syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ 𝑆)
152151ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ 𝑆)
153 simplr 768 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
1541, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) Β· π‘₯)))
155148, 152, 153, 154syl3anc 1372 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) Β· π‘₯)))
156 simpr 486 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒)
157156oveq2d 7374 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘)𝑒))
1585ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
1592, 8, 26, 149lmodvs1 20365 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) Β· π‘₯) = π‘₯)
160158, 153, 159syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) Β· π‘₯) = π‘₯)
161160fveq2d 6847 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ (πΉβ€˜((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) Β· π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
162161, 156eqtrd 2773 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ (πΉβ€˜((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) Β· π‘₯)) = 𝑒)
163155, 157, 1623eqtr3d 2781 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘)𝑒) = 𝑒)
164 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
16582adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
166164, 165eleqtrrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ ran 𝐹)
167 fvelrnb 6904 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒))
168167biimpa 478 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒)
16979, 166, 168syl2an2r 684 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑒)
170163, 169r19.29a 3156 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘)𝑒) = 𝑒)
1716, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 25, 35, 97, 130, 147, 170islmodd 20342 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  ran crn 5635   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   β€œs cimas 17391  Grpcgrp 18753  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338
This theorem is referenced by:  quslmod  32193
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