Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imaslmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaslmod 30983
 Description: The image structure of a left module is a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
imaslmod.u (𝜑𝑁 = (𝐹s 𝑀))
imaslmod.v 𝑉 = (Base‘𝑀)
imaslmod.k 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
imaslmod.p + = (+g𝑀)
imaslmod.t · = ( ·𝑠𝑀)
imaslmod.o 0 = (0g𝑀)
imaslmod.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imaslmod.e1 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmod.e2 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → (𝐹‘(𝑘 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑏))))
imaslmod.l (𝜑𝑀 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
imaslmod (𝜑𝑁 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝑀,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝑁,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘   𝑉,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   · ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   + (𝑎)   𝑆(𝑞,𝑝)   · (𝑎)   𝑀(𝑎)   0 (𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imaslmod
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaslmod.u . . 3 (𝜑𝑁 = (𝐹s 𝑀))
2 imaslmod.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑀)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑀))
4 imaslmod.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imaslmod.l . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
61, 3, 4, 5imasbas 16780 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑁))
7 eqidd 2799 . 2 (𝜑 → (+g𝑁) = (+g𝑁))
8 eqid 2798 . . 3 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
91, 3, 4, 5, 8imassca 16787 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
10 eqidd 2799 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁))
11 imaslmod.k . . 3 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
1211a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13 eqidd 2799 . 2 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
14 eqidd 2799 . 2 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝑀)) = (.r‘(Scalar‘𝑀)))
15 eqidd 2799 . 2 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))
168lmodring 19639 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
175, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
18 imaslmod.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑+ = (+g𝑀))
20 imaslmod.e1 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
21 lmodgrp 19638 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
225, 21syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Grp)
23 imaslmod.o . . . 4 0 = (0g𝑀)
241, 3, 19, 4, 20, 22, 23imasgrp 18211 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑁)))
2524simpld 498 . 2 (𝜑𝑁 ∈ Grp)
26 imaslmod.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑀)
27 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁)
28 imaslmod.e2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → (𝐹‘(𝑘 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑏))))
295adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → 𝑘𝑆)
31 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
322, 8, 26, 11lmodvscl 19648 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑘𝑆𝑏𝑉) → (𝑘 · 𝑏) ∈ 𝑉)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → (𝑘 · 𝑏) ∈ 𝑉)
341, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28, 33imasvscaf 16807 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑁):(𝑆 × 𝐵)⟶𝐵)
3534fovcld 30409 . 2 ((𝜑𝑢𝑆𝑣𝐵) → (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣) ∈ 𝐵)
36 simp-5l 784 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝜑)
37 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵))
3837simp1d 1139 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑢𝑆)
3938ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑢𝑆)
4036, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑀 ∈ Grp)
41 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑦𝑉)
42 simp-4r 783 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑧𝑉)
432, 18grpcl 18106 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉)
451, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑆 ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑦 + 𝑧))))
4636, 39, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑦 + 𝑧))))
47 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (+g𝑁) = (+g𝑁)
484, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 16800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝐹𝑦)(+g𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
4936, 41, 42, 48syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹𝑦)(+g𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
50 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹𝑦) = 𝑣)
51 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹𝑧) = 𝑤)
5250, 51oveq12d 7154 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹𝑦)(+g𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑣(+g𝑁)𝑤))
5349, 52eqtr3d 2835 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝑣(+g𝑁)𝑤))
5453oveq2d 7152 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)))
5536, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑀 ∈ LMod)
562, 18, 8, 26, 11lmodvsdi 19654 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑢𝑆𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑢 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧)))
5755, 39, 41, 42, 56syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧)))
5857fveq2d 6650 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑢 · (𝑦 + 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
5946, 54, 583eqtr3d 2841 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
602, 8, 26, 11lmodvscl 19648 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑦𝑉) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑉)
6155, 39, 41, 60syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑉)
622, 8, 26, 11lmodvscl 19648 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑧𝑉) → (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉)
6355, 39, 42, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉)
644, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 16800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑦))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑢 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
6536, 61, 63, 64syl3anc 1368 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑦))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑢 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
661, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑆𝑦𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑦)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑦)))
6736, 39, 41, 66syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑦)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑦)))
6850oveq2d 7152 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑦)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣))
6967, 68eqtr3d 2835 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣))
701, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑆𝑧𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)))
7136, 39, 42, 70syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)))
7251oveq2d 7152 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
7371, 72eqtr3d 2835 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
7469, 73oveq12d 7154 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑦))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑢 · 𝑧))) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
7559, 65, 743eqtr2d 2839 . . . 4 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
76 simplll 774 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝜑)
7737simp2d 1140 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑣𝐵)
78 fofn 6568 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
794, 78syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
80 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
81 forn 6569 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8382adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8480, 83eleqtrrd 2893 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ran 𝐹)
85 fvelrnb 6702 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝑣 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣))
8685biimpa 480 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑉𝑣 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣)
8779, 84, 86syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝐵) → ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣)
8876, 77, 87syl2anc 587 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣)
8975, 88r19.29a 3248 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
90 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝐵) → 𝑤𝐵)
9182adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
9290, 91eleqtrrd 2893 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝐵) → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
93 fvelrnb 6702 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝑤 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤))
9493biimpa 480 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑉𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
9579, 92, 94syl2an2r 684 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐵) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
96953ad2antr3 1187 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
9789, 96r19.29a 3248 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
98 simplll 774 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝜑)
995ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑀 ∈ LMod)
100 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵))
101100simp1d 1139 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑢𝑆)
102100simp2d 1140 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑣𝑆)
103 eqid 2798 . . . . . . 7 (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g‘(Scalar‘𝑀))
1048, 11, 103lmodacl 19642 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
10599, 101, 102, 104syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
106 simplr 768 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑧𝑉)
1071, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆𝑧𝑉) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
10898, 105, 106, 107syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
109 simpr 488 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹𝑧) = 𝑤)
110109oveq2d 7152 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤))
1112, 18, 8, 26, 11, 103lmodvsdir 19655 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑧𝑉)) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = ((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧)))
11299, 101, 102, 106, 111syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = ((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧)))
113112fveq2d 6650 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧))))
11499, 101, 106, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉)
1152, 8, 26, 11lmodvscl 19648 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑆𝑧𝑉) → (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉)
11699, 102, 106, 115syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉)
1174, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 16800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑧))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧))))
11898, 114, 116, 117syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑧))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧))))
11998, 101, 106, 70syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)))
120109oveq2d 7152 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
121119, 120eqtr3d 2835 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
1221, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆𝑧𝑉) → (𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑣 · 𝑧)))
12398, 102, 106, 122syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑣 · 𝑧)))
124109oveq2d 7152 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤))
125123, 124eqtr3d 2835 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘(𝑣 · 𝑧)) = (𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤))
126121, 125oveq12d 7154 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑧))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
127113, 118, 1263eqtr2d 2839 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
128108, 110, 1273eqtr3d 2841 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
129953ad2antr3 1187 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
130128, 129r19.29a 3248 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
131 eqid 2798 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑀)) = (.r‘(Scalar‘𝑀))
1328, 11, 131lmodmcl 19643 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
13399, 101, 102, 132syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
1341, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆𝑧𝑉) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
13598, 133, 106, 134syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
136109oveq2d 7152 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤))
1371, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑆 ∧ (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑣 · 𝑧))))
13898, 101, 116, 137syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑣 · 𝑧))))
139123oveq2d 7152 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))))
1402, 8, 26, 11, 131lmodvsass 19656 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑧𝑉)) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = (𝑢 · (𝑣 · 𝑧)))
14199, 101, 102, 106, 140syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = (𝑢 · (𝑣 · 𝑧)))
142141fveq2d 6650 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑣 · 𝑧))))
143138, 139, 1423eqtr4rd 2844 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))))
144135, 136, 1433eqtr3d 2841 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))))
145124oveq2d 7152 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
146144, 145eqtrd 2833 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
147146, 129r19.29a 3248 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
148 simplll 774 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → 𝜑)
149 eqid 2798 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
15011, 149ringidcl 19318 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆)
15117, 150syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆)
152151ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆)
153 simplr 768 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → 𝑥𝑉)
1541, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 16806 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑥)) = (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)))
155148, 152, 153, 154syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑥)) = (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)))
156 simpr 488 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (𝐹𝑥) = 𝑢)
157156oveq2d 7152 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑥)) = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)𝑢))
1585ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → 𝑀 ∈ LMod)
1592, 8, 26, 149lmodvs1 19659 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥) = 𝑥)
160158, 153, 159syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥) = 𝑥)
161160fveq2d 6650 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)) = (𝐹𝑥))
162161, 156eqtrd 2833 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)) = 𝑢)
163155, 157, 1623eqtr3d 2841 . . 3 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)𝑢) = 𝑢)
164 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
16582adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
166164, 165eleqtrrd 2893 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
167 fvelrnb 6702 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝑢 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐹𝑥) = 𝑢))
168167biimpa 480 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝑉𝑢 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑉 (𝐹𝑥) = 𝑢)
16979, 166, 168syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑢𝐵) → ∃𝑥𝑉 (𝐹𝑥) = 𝑢)
170163, 169r19.29a 3248 . 2 ((𝜑𝑢𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)𝑢) = 𝑢)
1716, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 25, 35, 97, 130, 147, 170islmodd 19637 1 (𝜑𝑁 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  ran crn 5521   Fn wfn 6320  –onto→wfo 6323  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   “s cimas 16772  Grpcgrp 18098  1rcur 19248  Ringcrg 19294  LModclmod 19631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-0g 16710  df-imas 16776  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633 This theorem is referenced by:  quslmod  30984
 Copyright terms: Public domain W3C validator