Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imaslmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaslmod 32145
Description: The image structure of a left module is a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
imaslmod.u (𝜑𝑁 = (𝐹s 𝑀))
imaslmod.v 𝑉 = (Base‘𝑀)
imaslmod.k 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
imaslmod.p + = (+g𝑀)
imaslmod.t · = ( ·𝑠𝑀)
imaslmod.o 0 = (0g𝑀)
imaslmod.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imaslmod.e1 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmod.e2 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → (𝐹‘(𝑘 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑏))))
imaslmod.l (𝜑𝑀 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
imaslmod (𝜑𝑁 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝑀,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝑁,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘   𝑉,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   · ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   + (𝑎)   𝑆(𝑞,𝑝)   · (𝑎)   𝑀(𝑎)   0 (𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imaslmod
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaslmod.u . . 3 (𝜑𝑁 = (𝐹s 𝑀))
2 imaslmod.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑀)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑀))
4 imaslmod.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imaslmod.l . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
61, 3, 4, 5imasbas 17394 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑁))
7 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (+g𝑁) = (+g𝑁))
8 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
91, 3, 4, 5, 8imassca 17401 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
10 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁))
11 imaslmod.k . . 3 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
1211a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g‘(Scalar‘𝑀)))
14 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝑀)) = (.r‘(Scalar‘𝑀)))
15 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))
168lmodring 20330 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
175, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
18 imaslmod.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑+ = (+g𝑀))
20 imaslmod.e1 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
21 lmodgrp 20329 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
225, 21syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Grp)
23 imaslmod.o . . . 4 0 = (0g𝑀)
241, 3, 19, 4, 20, 22, 23imasgrp 18863 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑁)))
2524simpld 495 . 2 (𝜑𝑁 ∈ Grp)
26 imaslmod.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑀)
27 eqid 2736 . . . 4 ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁)
28 imaslmod.e2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → (𝐹‘(𝑘 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑏))))
295adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → 𝑘𝑆)
31 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
322, 8, 26, 11lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑘𝑆𝑏𝑉) → (𝑘 · 𝑏) ∈ 𝑉)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑏𝑉)) → (𝑘 · 𝑏) ∈ 𝑉)
341, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28, 33imasvscaf 17421 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑁):(𝑆 × 𝐵)⟶𝐵)
3534fovcld 31554 . 2 ((𝜑𝑢𝑆𝑣𝐵) → (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣) ∈ 𝐵)
36 simp-5l 783 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝜑)
37 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵))
3837simp1d 1142 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑢𝑆)
3938ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑢𝑆)
4036, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑀 ∈ Grp)
41 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑦𝑉)
42 simp-4r 782 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑧𝑉)
432, 18grpcl 18756 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉)
451, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑆 ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑦 + 𝑧))))
4636, 39, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑦 + 𝑧))))
47 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑁) = (+g𝑁)
484, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 17414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝐹𝑦)(+g𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
4936, 41, 42, 48syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹𝑦)(+g𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
50 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹𝑦) = 𝑣)
51 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹𝑧) = 𝑤)
5250, 51oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹𝑦)(+g𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑣(+g𝑁)𝑤))
5349, 52eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝑣(+g𝑁)𝑤))
5453oveq2d 7373 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)))
5536, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → 𝑀 ∈ LMod)
562, 18, 8, 26, 11lmodvsdi 20345 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑢𝑆𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑢 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧)))
5755, 39, 41, 42, 56syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧)))
5857fveq2d 6846 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑢 · (𝑦 + 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
5946, 54, 583eqtr3d 2784 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
602, 8, 26, 11lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑦𝑉) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑉)
6155, 39, 41, 60syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑉)
622, 8, 26, 11lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑧𝑉) → (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉)
6355, 39, 42, 62syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉)
644, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 17414 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑦))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑢 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
6536, 61, 63, 64syl3anc 1371 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑦))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑢 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑦) + (𝑢 · 𝑧))))
661, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑆𝑦𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑦)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑦)))
6736, 39, 41, 66syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑦)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑦)))
6850oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑦)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣))
6967, 68eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣))
701, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑆𝑧𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)))
7136, 39, 42, 70syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)))
7251oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
7371, 72eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
7469, 73oveq12d 7375 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑦))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑢 · 𝑧))) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
7559, 65, 743eqtr2d 2782 . . . 4 ((((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) ∧ 𝑦𝑉) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑣) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
76 simplll 773 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝜑)
7737simp2d 1143 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑣𝐵)
78 fofn 6758 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
794, 78syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
80 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
81 forn 6759 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
8382adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
8480, 83eleqtrrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ran 𝐹)
85 fvelrnb 6903 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝑣 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣))
8685biimpa 477 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑉𝑣 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣)
8779, 84, 86syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝐵) → ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣)
8876, 77, 87syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ∃𝑦𝑉 (𝐹𝑦) = 𝑣)
8975, 88r19.29a 3159 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
90 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝐵) → 𝑤𝐵)
9182adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
9290, 91eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝐵) → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
93 fvelrnb 6903 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝑤 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤))
9493biimpa 477 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑉𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
9579, 92, 94syl2an2r 683 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐵) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
96953ad2antr3 1190 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
9789, 96r19.29a 3159 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝐵𝑤𝐵)) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣(+g𝑁)𝑤)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑣)(+g𝑁)(𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)))
98 simplll 773 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝜑)
995ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑀 ∈ LMod)
100 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵))
101100simp1d 1142 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑢𝑆)
102100simp2d 1143 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑣𝑆)
103 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g‘(Scalar‘𝑀)) = (+g‘(Scalar‘𝑀))
1048, 11, 103lmodacl 20333 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
10599, 101, 102, 104syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
106 simplr 767 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → 𝑧𝑉)
1071, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆𝑧𝑉) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
10898, 105, 106, 107syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
109 simpr 485 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹𝑧) = 𝑤)
110109oveq2d 7373 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤))
1112, 18, 8, 26, 11, 103lmodvsdir 20346 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑧𝑉)) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = ((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧)))
11299, 101, 102, 106, 111syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = ((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧)))
113112fveq2d 6846 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧))))
11499, 101, 106, 62syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉)
1152, 8, 26, 11lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑆𝑧𝑉) → (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉)
11699, 102, 106, 115syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉)
1174, 20, 1, 3, 5, 18, 47imasaddval 17414 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 · 𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑧))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧))))
11898, 114, 116, 117syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑧))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘((𝑢 · 𝑧) + (𝑣 · 𝑧))))
11998, 101, 106, 70syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)))
120109oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
121119, 120eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤))
1221, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆𝑧𝑉) → (𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑣 · 𝑧)))
12398, 102, 106, 122syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑣 · 𝑧)))
124109oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤))
125123, 124eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘(𝑣 · 𝑧)) = (𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤))
126121, 125oveq12d 7375 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝐹‘(𝑢 · 𝑧))(+g𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
127113, 118, 1263eqtr2d 2782 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
128108, 110, 1273eqtr3d 2784 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
129953ad2antr3 1190 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) → ∃𝑧𝑉 (𝐹𝑧) = 𝑤)
130128, 129r19.29a 3159 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) → ((𝑢(+g‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = ((𝑢( ·𝑠𝑁)𝑤)(+g𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
131 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑀)) = (.r‘(Scalar‘𝑀))
1328, 11, 131lmodmcl 20334 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
13399, 101, 102, 132syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆)
1341, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) ∈ 𝑆𝑧𝑉) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
13598, 133, 106, 134syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)))
136109oveq2d 7373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤))
1371, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑆 ∧ (𝑣 · 𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑣 · 𝑧))))
13898, 101, 116, 137syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑣 · 𝑧))))
139123oveq2d 7373 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝐹‘(𝑣 · 𝑧))))
1402, 8, 26, 11, 131lmodvsass 20347 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑧𝑉)) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = (𝑢 · (𝑣 · 𝑧)))
14199, 101, 102, 106, 140syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧) = (𝑢 · (𝑣 · 𝑧)))
142141fveq2d 6846 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = (𝐹‘(𝑢 · (𝑣 · 𝑧))))
143138, 139, 1423eqtr4rd 2787 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝐹‘((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣) · 𝑧)) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))))
144135, 136, 1433eqtr3d 2784 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))))
145124oveq2d 7373 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧))) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
146144, 145eqtrd 2776 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑤) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
147146, 129r19.29a 3159 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝐵)) → ((𝑢(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑣)( ·𝑠𝑁)𝑤) = (𝑢( ·𝑠𝑁)(𝑣( ·𝑠𝑁)𝑤)))
148 simplll 773 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → 𝜑)
149 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
15011, 149ringidcl 19989 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆)
15117, 150syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆)
152151ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆)
153 simplr 767 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → 𝑥𝑉)
1541, 3, 4, 5, 8, 11, 26, 27, 28imasvscaval 17420 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ 𝑆𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑥)) = (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)))
155148, 152, 153, 154syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑥)) = (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)))
156 simpr 485 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (𝐹𝑥) = 𝑢)
157156oveq2d 7373 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑥)) = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)𝑢))
1585ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → 𝑀 ∈ LMod)
1592, 8, 26, 149lmodvs1 20350 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥) = 𝑥)
160158, 153, 159syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥) = 𝑥)
161160fveq2d 6846 . . . . 5 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)) = (𝐹𝑥))
162161, 156eqtrd 2776 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → (𝐹‘((1r‘(Scalar‘𝑀)) · 𝑥)) = 𝑢)
163155, 157, 1623eqtr3d 2784 . . 3 ((((𝜑𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑢) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)𝑢) = 𝑢)
164 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
16582adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
166164, 165eleqtrrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
167 fvelrnb 6903 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝑢 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐹𝑥) = 𝑢))
168167biimpa 477 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝑉𝑢 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑉 (𝐹𝑥) = 𝑢)
16979, 166, 168syl2an2r 683 . . 3 ((𝜑𝑢𝐵) → ∃𝑥𝑉 (𝐹𝑥) = 𝑢)
170163, 169r19.29a 3159 . 2 ((𝜑𝑢𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑁)𝑢) = 𝑢)
1716, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 25, 35, 97, 130, 147, 170islmodd 20328 1 (𝜑𝑁 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  ran crn 5634   Fn wfn 6491  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  s cimas 17386  Grpcgrp 18748  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-imas 17390  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324
This theorem is referenced by:  quslmod  32146
  Copyright terms: Public domain W3C validator