Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdcl 37929
Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p + = (+g𝑅)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g (𝜑𝐺𝐹)
lfladdcl.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdcl (𝜑 → (𝐺f + 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfladdcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladdcl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simprl 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
5 lfladdcl.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2732 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 lfladdcl.p . . . . 5 + = (+g𝑅)
85, 6, 7lmodacl 20475 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
92, 3, 4, 8syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
10 lfladdcl.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
11 eqid 2732 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12 lfladdcl.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
135, 6, 11, 12lflf 37921 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
141, 10, 13syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
15 lfladdcl.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
165, 6, 11, 12lflf 37921 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
171, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
18 fvexd 6903 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
19 inidm 4217 . . 3 ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
209, 14, 17, 18, 18, 19off 7684 . 2 (𝜑 → (𝐺f + 𝐻):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
22 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
23 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
2511, 5, 24, 6lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
2621, 22, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
27 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
28 eqid 2732 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2911, 28lmodvacl 20478 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ (Base‘𝑊))
3021, 26, 27, 29syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ (Base‘𝑊))
3114ffnd 6715 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn (Base‘𝑊))
3217ffnd 6715 . . . . . 6 (𝜑𝐻 Fn (Base‘𝑊))
33 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)))
34 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)))
3531, 32, 18, 18, 19, 33, 34ofval 7677 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐺f + 𝐻)‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) + (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
3630, 35syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺f + 𝐻)‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) + (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
37 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
38 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦))
3931, 32, 18, 18, 19, 37, 38ofval 7677 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐺f + 𝐻)‘𝑦) = ((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦)))
4023, 39syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺f + 𝐻)‘𝑦) = ((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦)))
4140oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) = (𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))))
42 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
43 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐻𝑧) = (𝐻𝑧))
4431, 32, 18, 18, 19, 42, 43ofval 7677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧)))
4527, 44syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧)))
4641, 45oveq12d 7423 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) + ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))) + ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧))))
4710adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐺𝐹)
485, 7, 11, 28, 12lfladd 37924 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐺𝑧)))
4921, 47, 26, 27, 48syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐺𝑧)))
5015adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐻𝐹)
515, 7, 11, 28, 12lfladd 37924 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻𝑧)))
5221, 50, 26, 27, 51syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻𝑧)))
5349, 52oveq12d 7423 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) + (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = (((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐺𝑧)) + ((𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻𝑧))))
545lmodring 20471 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
5521, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑅 ∈ Ring)
56 ringcmn 20092 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑅 ∈ CMnd)
585, 6, 11, 12lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
5921, 47, 26, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
605, 6, 11, 12lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6121, 47, 27, 60syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
625, 6, 11, 12lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
6321, 50, 26, 62syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
645, 6, 11, 12lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑧 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐻𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6521, 50, 27, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
666, 7cmn4 19663 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ ((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝑧) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐺𝑧)) + ((𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻𝑧))) = (((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))) + ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧))))
6757, 59, 61, 63, 65, 66syl122anc 1379 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐺𝑧)) + ((𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻𝑧))) = (((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))) + ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧))))
68 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
695, 6, 68, 11, 24, 12lflmul 37926 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥(.r𝑅)(𝐺𝑦)))
7021, 47, 22, 23, 69syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥(.r𝑅)(𝐺𝑦)))
715, 6, 68, 11, 24, 12lflmul 37926 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥(.r𝑅)(𝐻𝑦)))
7221, 50, 22, 23, 71syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥(.r𝑅)(𝐻𝑦)))
7370, 72oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))) = ((𝑥(.r𝑅)(𝐺𝑦)) + (𝑥(.r𝑅)(𝐻𝑦))))
745, 6, 11, 12lflcl 37922 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7521, 47, 23, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
765, 6, 11, 12lflcl 37922 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐻𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7721, 50, 23, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐻𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
786, 7, 68ringdi 20074 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝑦) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))) = ((𝑥(.r𝑅)(𝐺𝑦)) + (𝑥(.r𝑅)(𝐻𝑦))))
7955, 22, 75, 77, 78syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))) = ((𝑥(.r𝑅)(𝐺𝑦)) + (𝑥(.r𝑅)(𝐻𝑦))))
8073, 79eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))) = (𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))))
8180oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐺‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) + (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))) + ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧))) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))) + ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧))))
8253, 67, 813eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) + (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺𝑦) + (𝐻𝑦))) + ((𝐺𝑧) + (𝐻𝑧))))
8346, 82eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) + ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧)) = ((𝐺‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) + (𝐻‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
8436, 83eqtr4d 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐺f + 𝐻)‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) + ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧)))
8584ralrimivvva 3203 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑊)((𝐺f + 𝐻)‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) + ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧)))
8611, 28, 5, 24, 6, 7, 68, 12islfl 37918 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝐺f + 𝐻) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐺f + 𝐻):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑊)((𝐺f + 𝐻)‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) + ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧)))))
871, 86syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐺f + 𝐻):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑊)((𝐺f + 𝐻)‘((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)((𝐺f + 𝐻)‘𝑦)) + ((𝐺f + 𝐻)‘𝑧)))))
8820, 85, 87mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝐺f + 𝐻) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  f cof 7664  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  CMndccmn 19642  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lfl 37916
This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  37988
  Copyright terms: Public domain W3C validator