Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvslmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvslmhm 32472
Description: Scalar multiplication in a left module by a fixed element is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvslmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvslmhm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvslmhm.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvslmhm.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvslmhm ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝐹 GrpHom π‘Š))
Distinct variable groups:   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘Œ
Proof of Theorem lmodvslmhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodvslmhm.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2 lmodvslmhm.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2730 . 2 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
4 eqid 2730 . 2 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
5 lmodvslmhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65lmodfgrp 20623 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
76adantr 479 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodgrp 20621 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
98adantr 479 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ Grp)
10 lmodvslmhm.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
112, 5, 10, 1lmodvscl 20632 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
12113expa 1116 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
1312an32s 648 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
14 eqid 2730 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))
1513, 14fmptd 7114 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)):πΎβŸΆπ‘‰)
16 simpll 763 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
17 simprl 767 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐾)
18 simprr 769 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐾)
19 simplr 765 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
202, 4, 5, 10, 1, 3lmodvsdir 20640 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) Β· π‘Œ) = ((𝑖 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑗 Β· π‘Œ)))
2116, 17, 18, 19, 20syl13anc 1370 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) Β· π‘Œ) = ((𝑖 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑗 Β· π‘Œ)))
2214a1i 11 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)))
23 simpr 483 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗)) β†’ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗))
2423oveq1d 7426 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ π‘₯ = (𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗)) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) = ((𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) Β· π‘Œ))
255, 1, 3lmodacl 20626 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) β†’ (𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) ∈ 𝐾)
26253expb 1118 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) ∈ 𝐾)
2726adantlr 711 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) ∈ 𝐾)
28 ovexd 7446 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) Β· π‘Œ) ∈ V)
2922, 24, 27, 28fvmptd 7004 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜(𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗)) = ((𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗) Β· π‘Œ))
30 simpr 483 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
3130oveq1d 7426 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
32 ovexd 7446 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑖 Β· π‘Œ) ∈ V)
3322, 31, 17, 32fvmptd 7004 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜π‘–) = (𝑖 Β· π‘Œ))
34 simpr 483 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ π‘₯ = 𝑗) β†’ π‘₯ = 𝑗)
3534oveq1d 7426 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ π‘₯ = 𝑗) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) = (𝑗 Β· π‘Œ))
36 ovexd 7446 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) ∈ V)
3722, 35, 18, 36fvmptd 7004 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜π‘—) = (𝑗 Β· π‘Œ))
3833, 37oveq12d 7429 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜π‘–)(+gβ€˜π‘Š)((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜π‘—)) = ((𝑖 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑗 Β· π‘Œ)))
3921, 29, 383eqtr4d 2780 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜(𝑖(+gβ€˜πΉ)𝑗)) = (((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜π‘–)(+gβ€˜π‘Š)((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ))β€˜π‘—)))
401, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 39isghmd 19139 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝐹 GrpHom π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19127  LModclmod 20614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-ghm 19128  df-ring 20129  df-lmod 20616
This theorem is referenced by:  gsumvsmul1  32473
  Copyright terms: Public domain W3C validator