Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvslmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvslmhm 33036
Description: Scalar multiplication in a left module by a fixed element is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvslmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvslmhm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvslmhm.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvslmhm.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvslmhm ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmodvslmhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodvslmhm.k . 2 𝐾 = (Base‘𝐹)
2 lmodvslmhm.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2735 . 2 (+g𝐹) = (+g𝐹)
4 eqid 2735 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 lmodvslmhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
65lmodfgrp 20884 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
76adantr 480 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodgrp 20882 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
98adantr 480 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
10 lmodvslmhm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
112, 5, 10, 1lmodvscl 20893 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾𝑌𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12113expa 1117 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
1312an32s 652 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
14 eqid 2735 . . 3 (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))
1513, 14fmptd 7134 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)):𝐾𝑉)
16 simpll 767 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simprl 771 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑖𝐾)
18 simprr 773 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑗𝐾)
19 simplr 769 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑌𝑉)
202, 4, 5, 10, 1, 3lmodvsdir 20901 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾𝑌𝑉)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
2116, 17, 18, 19, 20syl13anc 1371 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
2214a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)))
23 simpr 484 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗))
2423oveq1d 7446 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌))
255, 1, 3lmodacl 20887 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑖𝐾𝑗𝐾) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
26253expb 1119 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
2726adantlr 715 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
28 ovexd 7466 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) ∈ V)
2922, 24, 27, 28fvmptd 7023 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g𝐹)𝑗)) = ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌))
30 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
3130oveq1d 7446 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32 ovexd 7466 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖 · 𝑌) ∈ V)
3322, 31, 17, 32fvmptd 7023 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑖 · 𝑌))
34 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
3534oveq1d 7446 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑗 · 𝑌))
36 ovexd 7466 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑗 · 𝑌) ∈ V)
3722, 35, 18, 36fvmptd 7023 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗) = (𝑗 · 𝑌))
3833, 37oveq12d 7449 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g𝑊)((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
3921, 29, 383eqtr4d 2785 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g𝐹)𝑗)) = (((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g𝑊)((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)))
401, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 39isghmd 19256 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-ring 20253  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  gsumvsmul1  33037
  Copyright terms: Public domain W3C validator