Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvslmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvslmhm 30738
 Description: Scalar multiplication in a left module by a fixed element is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvslmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvslmhm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvslmhm.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvslmhm.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvslmhm ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmodvslmhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodvslmhm.k . 2 𝐾 = (Base‘𝐹)
2 lmodvslmhm.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2801 . 2 (+g𝐹) = (+g𝐹)
4 eqid 2801 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 lmodvslmhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
65lmodfgrp 19639 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
76adantr 484 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodgrp 19637 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
98adantr 484 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
10 lmodvslmhm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
112, 5, 10, 1lmodvscl 19647 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾𝑌𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12113expa 1115 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
1312an32s 651 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
14 eqid 2801 . . 3 (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))
1513, 14fmptd 6859 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)):𝐾𝑉)
16 simpll 766 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simprl 770 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑖𝐾)
18 simprr 772 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑗𝐾)
19 simplr 768 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑌𝑉)
202, 4, 5, 10, 1, 3lmodvsdir 19654 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾𝑌𝑉)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
2116, 17, 18, 19, 20syl13anc 1369 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
2214a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)))
23 simpr 488 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗))
2423oveq1d 7154 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌))
255, 1, 3lmodacl 19641 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑖𝐾𝑗𝐾) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
26253expb 1117 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
2726adantlr 714 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
28 ovexd 7174 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) ∈ V)
2922, 24, 27, 28fvmptd 6756 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g𝐹)𝑗)) = ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌))
30 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
3130oveq1d 7154 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32 ovexd 7174 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖 · 𝑌) ∈ V)
3322, 31, 17, 32fvmptd 6756 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑖 · 𝑌))
34 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
3534oveq1d 7154 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑗 · 𝑌))
36 ovexd 7174 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑗 · 𝑌) ∈ V)
3722, 35, 18, 36fvmptd 6756 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗) = (𝑗 · 𝑌))
3833, 37oveq12d 7157 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g𝑊)((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
3921, 29, 383eqtr4d 2846 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g𝐹)𝑗)) = (((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g𝑊)((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)))
401, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 39isghmd 18362 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  Grpcgrp 18098   GrpHom cghm 18350  LModclmod 19630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-ghm 18351  df-ring 19295  df-lmod 19632 This theorem is referenced by:  gsumvsmul1  30739
 Copyright terms: Public domain W3C validator