Theorem lmodvslmhm 33016

Description: Scalar multiplication in a left module by a fixed element is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvslmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvslmhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvslmhm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvslmhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvslmhm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmodvslmhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvslmhm.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		lmodvslmhm.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		lmodvslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	lmodfgrp 20790	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodgrp 20788	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
10		lmodvslmhm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	2, 5, 10, 1	lmodvscl 20799	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12	11	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13	12	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))
15	13, 14	fmptd 7052	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)):𝐾⟶𝑉)
16		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑖 ∈ 𝐾)
18		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐾)
19		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
20	2, 4, 5, 10, 1, 3	lmodvsdir 20807	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g‘𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g‘𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
22	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)))
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝐹)𝑗))
24	23	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌))
25	5, 1, 3	lmodacl 20793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) → (𝑖(+g‘𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
26	25	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑖(+g‘𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
27	26	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑖(+g‘𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
28		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌) ∈ V)
29	22, 24, 27, 28	fvmptd 6941	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) = ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌))
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
31	30	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32		ovexd 7388	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑖 · 𝑌) ∈ V)
33	22, 31, 17, 32	fvmptd 6941	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑖 · 𝑌))
34		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
35	34	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑗 · 𝑌))
36		ovexd 7388	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑌) ∈ V)
37	22, 35, 18, 36	fvmptd 6941	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗) = (𝑗 · 𝑌))
38	33, 37	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g‘𝑊)((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)) = ((𝑖 · 𝑌)(+g‘𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
39	21, 29, 38	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g‘𝑊)((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)))
40	1, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 39	isghmd 19122	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  Grpcgrp 18830   GrpHom cghm 19109  LModclmod 20781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8762  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-ghm 19110  df-ring 20138  df-lmod 20783

This theorem is referenced by:  gsumvsmul1  33017