Theorem lmodvslmhm 33700

Description: Scalar multiplication in a left module by a fixed element is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvslmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvslmhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvslmhm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvslmhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvslmhm	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmodvslmhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvslmhm.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		lmodvslmhm.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		lmodvslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	lmodfgrp 21186	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodgrp 21184	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
10		lmodvslmhm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11	2, 5, 10, 1	lmodvscl 21195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12	11	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13	12	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))
15	13, 14	fmptd 7144	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)):𝐾⟶𝑉)
16		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑖 ∈ 𝐾)
18		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐾)
19		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
20	2, 4, 5, 10, 1, 3	lmodvsdir 21203	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g‘𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g‘𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
22	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)))
23		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g‘𝐹)𝑗))
24	23	oveq1d 7464	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌))
25	5, 1, 3	lmodacl 21189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾) → (𝑖(+g‘𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
26	25	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑖(+g‘𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
27	26	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑖(+g‘𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
28		ovexd 7484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌) ∈ V)
29	22, 24, 27, 28	fvmptd 7030	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) = ((𝑖(+g‘𝐹)𝑗) · 𝑌))
30		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
31	30	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32		ovexd 7484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑖 · 𝑌) ∈ V)
33	22, 31, 17, 32	fvmptd 7030	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑖 · 𝑌))
34		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
35	34	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑗 · 𝑌))
36		ovexd 7484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑌) ∈ V)
37	22, 35, 18, 36	fvmptd 7030	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗) = (𝑗 · 𝑌))
38	33, 37	oveq12d 7467	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g‘𝑊)((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)) = ((𝑖 · 𝑌)(+g‘𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
39	21, 29, 38	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g‘𝐹)𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g‘𝑊)((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)))
40	1, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 39	isghmd 19480	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428  +_gcplusg 17469  Scalarcsca 17472   ·_𝑠 cvsca 17473  Grpcgrp 19185   GrpHom cghm 19468  LModclmod 21177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-fv 6572  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-map 8885  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-ghm 19469  df-ring 20503  df-lmod 21179

This theorem is used by:  gsumvsmul1  33701