Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvslmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvslmhm 32190
Description: Scalar multiplication in a left module by a fixed element is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvslmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvslmhm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvslmhm.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvslmhm.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvslmhm ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmodvslmhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodvslmhm.k . 2 𝐾 = (Base‘𝐹)
2 lmodvslmhm.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2733 . 2 (+g𝐹) = (+g𝐹)
4 eqid 2733 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 lmodvslmhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
65lmodfgrp 20473 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
76adantr 482 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodgrp 20471 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
98adantr 482 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
10 lmodvslmhm.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
112, 5, 10, 1lmodvscl 20482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾𝑌𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12113expa 1119 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
1312an32s 651 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 · 𝑌) ∈ 𝑉)
14 eqid 2733 . . 3 (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))
1513, 14fmptd 7111 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)):𝐾𝑉)
16 simpll 766 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simprl 770 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑖𝐾)
18 simprr 772 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑗𝐾)
19 simplr 768 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → 𝑌𝑉)
202, 4, 5, 10, 1, 3lmodvsdir 20489 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾𝑌𝑉)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
2116, 17, 18, 19, 20syl13anc 1373 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
2214a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)))
23 simpr 486 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗)) → 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗))
2423oveq1d 7421 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝑖(+g𝐹)𝑗)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌))
255, 1, 3lmodacl 20476 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑖𝐾𝑗𝐾) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
26253expb 1121 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
2726adantlr 714 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖(+g𝐹)𝑗) ∈ 𝐾)
28 ovexd 7441 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌) ∈ V)
2922, 24, 27, 28fvmptd 7003 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g𝐹)𝑗)) = ((𝑖(+g𝐹)𝑗) · 𝑌))
30 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
3130oveq1d 7421 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32 ovexd 7441 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑖 · 𝑌) ∈ V)
3322, 31, 17, 32fvmptd 7003 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑖 · 𝑌))
34 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
3534oveq1d 7421 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) ∧ 𝑥 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑌) = (𝑗 · 𝑌))
36 ovexd 7441 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (𝑗 · 𝑌) ∈ V)
3722, 35, 18, 36fvmptd 7003 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗) = (𝑗 · 𝑌))
3833, 37oveq12d 7424 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → (((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g𝑊)((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)) = ((𝑖 · 𝑌)(+g𝑊)(𝑗 · 𝑌)))
3921, 29, 383eqtr4d 2783 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) ∧ (𝑖𝐾𝑗𝐾)) → ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘(𝑖(+g𝐹)𝑗)) = (((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑖)(+g𝑊)((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌))‘𝑗)))
401, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 39isghmd 19096 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cmpt 5231  cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  Grpcgrp 18816   GrpHom cghm 19084  LModclmod 20464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-ghm 19085  df-ring 20052  df-lmod 20466
This theorem is referenced by:  gsumvsmul1  32191
  Copyright terms: Public domain W3C validator