Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapadd 39645
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 13. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapadd.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapadd.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapadd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapadd.p + = (+g𝑅)
hgmapadd.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapadd.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmapadd.x (𝜑𝑋𝐵)
hgmapadd.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
hgmapadd (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) + (𝐺𝑌)))

Proof of Theorem hgmapadd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hgmapadd.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 39193 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈))
7 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
81, 7, 5lcdlmod 39343 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
983ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10 hgmapadd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11 hgmapadd.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14 hgmapadd.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
1553ad2ant1 1135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 hgmapadd.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
17163ad2ant1 1135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋𝐵)
181, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 15, 17hgmapdcl 39641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
19 hgmapadd.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
201, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 19hgmapdcl 39641 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21203ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
22 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24 simp2 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
251, 2, 3, 7, 22, 23, 15, 24hdmapcl 39581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2922, 26, 12, 27, 13, 28lmodvsdir 19923 . . . . . . 7 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
309, 18, 21, 25, 29syl13anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
311, 2, 5dvhlmod 38861 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
32313ad2ant1 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
33193ad2ant1 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑌𝐵)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝑈) = (+g𝑈)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
36 hgmapadd.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑅)
373, 34, 10, 35, 11, 36lmodvsdir 19923 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = ((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3832, 17, 33, 24, 37syl13anc 1374 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = ((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3938fveq2d 6721 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
403, 10, 35, 11lmodvscl 19916 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
4132, 17, 24, 40syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
423, 10, 35, 11lmodvscl 19916 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
4332, 33, 24, 42syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
441, 2, 3, 34, 7, 26, 23, 15, 41, 43hdmapadd 39594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
451, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 17hgmapvs 39642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
461, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 33hgmapvs 39642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
4745, 46oveq12d 7231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
4839, 44, 473eqtrrd 2782 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)))
4910, 11, 36lmodacl 19910 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5031, 16, 19, 49syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51503ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
521, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 51hgmapvs 39642 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
5330, 48, 523eqtrrd 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
54 eqid 2737 . . . . . 6 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
551, 7, 5lcdlvec 39342 . . . . . . 7 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
56553ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
571, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 50hgmapdcl 39641 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58573ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
591, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 16hgmapdcl 39641 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
6012, 13, 28lmodacl 19910 . . . . . . . 8 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
618, 59, 20, 60syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
62613ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
63 simp3 1140 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g𝑈))
641, 2, 3, 4, 7, 54, 23, 15, 24hdmapeq0 39595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g𝑈)))
6564necon3bid 2985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝑈)))
6663, 65mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
6722, 27, 12, 13, 54, 56, 58, 62, 25, 66lvecvscan2 20149 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
6853, 67mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
6968rexlimdv3a 3205 . . 3 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
706, 69mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
711, 2, 10, 36, 7, 12, 28, 5lcdsadd 39352 . . 3 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = + )
7271oveqd 7230 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋) + (𝐺𝑌)))
7370, 72eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) + (𝐺𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  0gc0g 16944  LModclmod 19899  LVecclvec 20139  HLchlt 37101  LHypclh 37735  DVecHcdvh 38829  LCDualclcd 39337  HDMapchdma 39543  HGMapchg 39634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-undef 8015  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-0g 16946  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-oppg 18738  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-lsatoms 36727  df-lshyp 36728  df-lcv 36770  df-lfl 36809  df-lkr 36837  df-ldual 36875  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tgrp 38494  df-tendo 38506  df-edring 38508  df-dveca 38754  df-disoa 38780  df-dvech 38830  df-dib 38890  df-dic 38924  df-dih 38980  df-doch 39099  df-djh 39146  df-lcdual 39338  df-mapd 39376  df-hvmap 39508  df-hdmap1 39544  df-hdmap 39545  df-hgmap 39635
This theorem is referenced by:  hdmapglem7  39680  hlhilsrnglem  39704
  Copyright terms: Public domain W3C validator