Theorem hgmapadd 38561

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 13. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapadd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
hgmapadd.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapadd.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmapadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapadd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem hgmapadd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapadd.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 38109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 7, 5	lcdlmod 38259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10		hgmapadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14		hgmapadd.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15	5	3ad2ant1 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		hgmapadd.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 15, 17	hgmapdcl 38557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
19		hgmapadd.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 19	hgmapdcl 38557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21	20	3ad2ant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
22		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24		simp2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
25	1, 2, 3, 7, 22, 23, 15, 24	hdmapcl 38497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
28		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
29	22, 26, 12, 27, 13, 28	lmodvsdir 19348	. . . . . . 7 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
30	9, 18, 21, 25, 29	syl13anc 1365	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
31	1, 2, 5	dvhlmod 37777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
32	31	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
33	19	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		eqid 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
35		eqid 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
36		hgmapadd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
37	3, 34, 10, 35, 11, 36	lmodvsdir 19348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)(+g‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
38	32, 17, 33, 24, 37	syl13anc 1365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = ((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)(+g‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
39	38	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)(+g‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
40	3, 10, 35, 11	lmodvscl 19341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
41	32, 17, 24, 40	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
42	3, 10, 35, 11	lmodvscl 19341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
43	32, 33, 24, 42	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
44	1, 2, 3, 34, 7, 26, 23, 15, 41, 43	hdmapadd 38510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)(+g‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
45	1, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 17	hgmapvs 38558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
46	1, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 33	hgmapvs 38558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
47	45, 46	oveq12d 7034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = (((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
48	39, 44, 47	3eqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
49	10, 11, 36	lmodacl 19335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
50	31, 16, 19, 49	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51	50	3ad2ant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
52	1, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 51	hgmapvs 38558	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
53	30, 48, 52	3eqtrrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
54		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
55	1, 7, 5	lcdlvec 38258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
56	55	3ad2ant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
57	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 50	hgmapdcl 38557	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58	57	3ad2ant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
59	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 16	hgmapdcl 38557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
60	12, 13, 28	lmodacl 19335	. . . . . . . 8 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
61	8, 59, 20, 60	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
62	61	3ad2ant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
63		simp3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
64	1, 2, 3, 4, 7, 54, 23, 15, 24	hdmapeq0 38511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g‘𝑈)))
65	64	necon3bid 3028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)))
66	63, 65	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
67	22, 27, 12, 13, 54, 56, 58, 62, 25, 66	lvecvscan2 19574	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
68	53, 67	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
69	68	rexlimdv3a 3249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
70	6, 69	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
71	1, 2, 10, 36, 7, 12, 28, 5	lcdsadd 38268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = + )
72	71	oveqd 7033	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐺‘𝑌)))
73	70, 72	eqtrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) + (𝐺‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  Scalarcsca 16397   ·_𝑠 cvsca 16398  0_gc0g 16542  LModclmod 19324  LVecclvec 19564  HLchlt 36017  LHypclh 36651  DVecHcdvh 37745  LCDualclcd 38253  HDMapchdma 38459  HGMapchg 38550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-ot 4481  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-oppg 18215  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-lshyp 35644  df-lcv 35686  df-lfl 35725  df-lkr 35753  df-ldual 35791  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tgrp 37410  df-tendo 37422  df-edring 37424  df-dveca 37670  df-disoa 37696  df-dvech 37746  df-dib 37806  df-dic 37840  df-dih 37896  df-doch 38015  df-djh 38062  df-lcdual 38254  df-mapd 38292  df-hvmap 38424  df-hdmap1 38460  df-hdmap 38461  df-hgmap 38551

This theorem is referenced by:  hdmapglem7  38596  hlhilsrnglem  38620