Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapadd 38561
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 13. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapadd.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapadd.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapadd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapadd.p + = (+g𝑅)
hgmapadd.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapadd.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmapadd.x (𝜑𝑋𝐵)
hgmapadd.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
hgmapadd (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) + (𝐺𝑌)))

Proof of Theorem hgmapadd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2795 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 eqid 2795 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hgmapadd.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 38109 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈))
7 eqid 2795 . . . . . . . . 9 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
81, 7, 5lcdlmod 38259 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
983ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10 hgmapadd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11 hgmapadd.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 eqid 2795 . . . . . . . 8 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13 eqid 2795 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14 hgmapadd.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
1553ad2ant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 hgmapadd.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
17163ad2ant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋𝐵)
181, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 15, 17hgmapdcl 38557 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
19 hgmapadd.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
201, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 19hgmapdcl 38557 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21203ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
22 eqid 2795 . . . . . . . 8 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23 eqid 2795 . . . . . . . 8 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
24 simp2 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
251, 2, 3, 7, 22, 23, 15, 24hdmapcl 38497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26 eqid 2795 . . . . . . . 8 (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27 eqid 2795 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
28 eqid 2795 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2922, 26, 12, 27, 13, 28lmodvsdir 19348 . . . . . . 7 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
309, 18, 21, 25, 29syl13anc 1365 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
311, 2, 5dvhlmod 37777 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
32313ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
33193ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑌𝐵)
34 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (+g𝑈) = (+g𝑈)
35 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
36 hgmapadd.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑅)
373, 34, 10, 35, 11, 36lmodvsdir 19348 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = ((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3832, 17, 33, 24, 37syl13anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = ((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3938fveq2d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
403, 10, 35, 11lmodvscl 19341 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
4132, 17, 24, 40syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
423, 10, 35, 11lmodvscl 19341 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
4332, 33, 24, 42syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
441, 2, 3, 34, 7, 26, 23, 15, 41, 43hdmapadd 38510 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)(+g𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
451, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 17hgmapvs 38558 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
461, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 33hgmapvs 38558 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
4745, 46oveq12d 7034 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
4839, 44, 473eqtrrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))(+g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)))
4910, 11, 36lmodacl 19335 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5031, 16, 19, 49syl3anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51503ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
521, 2, 3, 35, 10, 11, 7, 27, 23, 14, 15, 24, 51hgmapvs 38558 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 + 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
5330, 48, 523eqtrrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
54 eqid 2795 . . . . . 6 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
551, 7, 5lcdlvec 38258 . . . . . . 7 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
56553ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
571, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 50hgmapdcl 38557 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58573ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
591, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 16hgmapdcl 38557 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
6012, 13, 28lmodacl 19335 . . . . . . . 8 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
618, 59, 20, 60syl3anc 1364 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
62613ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
63 simp3 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g𝑈))
641, 2, 3, 4, 7, 54, 23, 15, 24hdmapeq0 38511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g𝑈)))
6564necon3bid 3028 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝑈)))
6663, 65mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
6722, 27, 12, 13, 54, 56, 58, 62, 25, 66lvecvscan2 19574 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 + 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
6853, 67mpbid 233 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
6968rexlimdv3a 3249 . . 3 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
706, 69mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
711, 2, 10, 36, 7, 12, 28, 5lcdsadd 38268 . . 3 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = + )
7271oveqd 7033 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋) + (𝐺𝑌)))
7370, 72eqtrd 2831 1 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) + (𝐺𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  Scalarcsca 16397   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542  LModclmod 19324  LVecclvec 19564  HLchlt 36017  LHypclh 36651  DVecHcdvh 37745  LCDualclcd 38253  HDMapchdma 38459  HGMapchg 38550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-ot 4481  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-oppg 18215  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-lshyp 35644  df-lcv 35686  df-lfl 35725  df-lkr 35753  df-ldual 35791  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tgrp 37410  df-tendo 37422  df-edring 37424  df-dveca 37670  df-disoa 37696  df-dvech 37746  df-dib 37806  df-dic 37840  df-dih 37896  df-doch 38015  df-djh 38062  df-lcdual 38254  df-mapd 38292  df-hvmap 38424  df-hdmap1 38460  df-hdmap 38461  df-hgmap 38551
This theorem is referenced by:  hdmapglem7  38596  hlhilsrnglem  38620
  Copyright terms: Public domain W3C validator