Theorem ldualvsdi2 35307

Description: Reverse distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi2.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvsdi2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvsdi2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2778	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi2.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
11		ldualvsdi2.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	3, 4, 11	lmodacl 19277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14		ldualvsdi2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14	ldualvs 35300	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})))
16	2, 3, 4, 11, 5, 1, 8, 9, 10, 14	lflvsdi2a 35243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
17		ldualvsdi2.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvscl 35302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvscl 35302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) ∈ 𝐹)
20	1, 3, 11, 6, 17, 8, 18, 19	ldualvadd 35292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝑌 · 𝐺)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvs 35300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvs 35300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌})))
23	21, 22	oveq12d 6942	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝑌 · 𝐺)) = ((𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
24	20, 23	eqtr2d 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {csn 4398   × cxp 5355  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘_𝑓 cof 7174  Basecbs 16266  +_gcplusg 16349  ._rcmulr 16350  Scalarcsca 16352   ·_𝑠 cvsca 16353  LModclmod 19266  LFnlclfn 35220  LDualcld 35286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-mgp 18888  df-ring 18947  df-lmod 19268  df-lfl 35221  df-ldual 35287

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  35315