Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsdi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsdi2 37712
Description: Reverse distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsdi2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsdi2.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvsdi2.a + = (+gβ€˜π‘…)
ldualvsdi2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ldualvsdi2.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsdi2.p ✚ = (+gβ€˜π·)
ldualvsdi2.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
ldualvsdi2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsdi2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsdi2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) Β· 𝐺) = ((𝑋 Β· 𝐺) ✚ (π‘Œ Β· 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsdi2
StepHypRef Expression
1 ldualvsdi2.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 ldualvsdi2.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 ldualvsdi2.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 eqid 2731 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 ldualvsdi2.d . . 3 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
7 ldualvsdi2.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
8 ldualvsdi2.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 ldualvsdi2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
10 ldualvsdi2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
11 ldualvsdi2.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
123, 4, 11lmodacl 20405 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐾)
138, 9, 10, 12syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐾)
14 ldualvsdi2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14ldualvs 37705 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) Β· 𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {(𝑋 + π‘Œ)})))
162, 3, 4, 11, 5, 1, 8, 9, 10, 14lflvsdi2a 37648 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {(𝑋 + π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Œ}))))
17 ldualvsdi2.p . . . 4 ✚ = (+gβ€˜π·)
181, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14ldualvscl 37707 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
191, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 14ldualvscl 37707 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
201, 3, 11, 6, 17, 8, 18, 19ldualvadd 37697 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝐺) ✚ (π‘Œ Β· 𝐺)) = ((𝑋 Β· 𝐺) ∘f + (π‘Œ Β· 𝐺)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14ldualvs 37705 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {𝑋})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14ldualvs 37705 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Œ})))
2321, 22oveq12d 7395 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝐺) ∘f + (π‘Œ Β· 𝐺)) = ((𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Œ}))))
2420, 23eqtr2d 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘…)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Œ}))) = ((𝑋 Β· 𝐺) ✚ (π‘Œ Β· 𝐺)))
2515, 16, 243eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) Β· 𝐺) = ((𝑋 Β· 𝐺) ✚ (π‘Œ Β· 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4606   Γ— cxp 5651  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ∘f cof 7635  Basecbs 17109  +gcplusg 17162  .rcmulr 17163  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  LModclmod 20393  LFnlclfn 37625  LDualcld 37691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-mgp 19926  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lfl 37626  df-ldual 37692
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  37720
  Copyright terms: Public domain W3C validator