Theorem ldualvsdi2 39110

Description: Reverse distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi2.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvsdi2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvsdi2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi2.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
11		ldualvsdi2.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	3, 4, 11	lmodacl 20754	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14		ldualvsdi2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14	ldualvs 39103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})))
16	2, 3, 4, 11, 5, 1, 8, 9, 10, 14	lflvsdi2a 39046	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
17		ldualvsdi2.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvscl 39105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvscl 39105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) ∈ 𝐹)
20	1, 3, 11, 6, 17, 8, 18, 19	ldualvadd 39095	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvs 39103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvs 39103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌})))
23	21, 22	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
24	20, 23	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  LModclmod 20742  LFnlclfn 39023  LDualcld 39089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-mgp 20026  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lfl 39024  df-ldual 39090

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39118