Theorem ldualvsdi2 37712

Description: Reverse distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi2.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvsdi2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvsdi2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi2.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
11		ldualvsdi2.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	3, 4, 11	lmodacl 20405	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14		ldualvsdi2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14	ldualvs 37705	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})))
16	2, 3, 4, 11, 5, 1, 8, 9, 10, 14	lflvsdi2a 37648	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
17		ldualvsdi2.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvscl 37707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvscl 37707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) ∈ 𝐹)
20	1, 3, 11, 6, 17, 8, 18, 19	ldualvadd 37697	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvs 37705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvs 37705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌})))
23	21, 22	oveq12d 7395	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
24	20, 23	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4606   × cxp 5651  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377   ∘_f cof 7635  Basecbs 17109  +_gcplusg 17162  ._rcmulr 17163  Scalarcsca 17165   ·_𝑠 cvsca 17166  LModclmod 20393  LFnlclfn 37625  LDualcld 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-mgp 19926  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lfl 37626  df-ldual 37692

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  37720