Theorem ldualvsdi2 39803

Description: Reverse distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi2.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvsdi2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvsdi2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi2.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
11		ldualvsdi2.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	3, 4, 11	lmodacl 20967	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14		ldualvsdi2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14	ldualvs 39796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})))
16	2, 3, 4, 11, 5, 1, 8, 9, 10, 14	lflvsdi2a 39739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
17		ldualvsdi2.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvscl 39798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvscl 39798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) ∈ 𝐹)
20	1, 3, 11, 6, 17, 8, 18, 19	ldualvadd 39788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvs 39796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvs 39796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌})))
23	21, 22	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
24	20, 23	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4591   × cxp 5657  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  LModclmod 20955  LFnlclfn 39716  LDualcld 39782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-mgp 20213  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lfl 39717  df-ldual 39783

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39811