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Theorem baerlem5blem1 38837
Description: Lemma for baerlem5b 38843. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem5b.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem5b.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem5b.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem5b.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem5b.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1 (𝜑𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
3 baerlem3.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 baerlem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
6 eqid 2819 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7 baerlem3.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lveclmod 19870 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211eldifad 3946 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3946 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 19742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16 baerlem3.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
17 baerlem3.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑎𝐵)
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑏𝐵)
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 19854 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
213lmodring 19634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 19294 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑑𝐵)
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
274, 26grpinvcl 18143 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
2824, 25, 27syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 19854 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (0g𝑅)
313, 4, 30lmod0cl 19652 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑄𝐵)
3210, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑒𝐵)
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10 = (+g𝑅)
353, 4, 34lmodacl 19637 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
3610, 25, 33, 35syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
371, 3, 5, 4lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑌𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3810, 18, 12, 37syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
391, 3, 5, 4lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
4010, 19, 14, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
411, 2lmodvacl 19640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
4210, 38, 40, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑊)
441, 2, 43lmod0vlid 19656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
4510, 42, 44syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 19659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
4710, 16, 46syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
4847oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
5045, 48, 493eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13 = (-g𝑊)
521, 2lmodvacl 19640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
5310, 12, 14, 52syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 19683 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
551, 3, 5, 4lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
5610, 25, 16, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 19682 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 19649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6059oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
6154, 57, 603eqtrd 2858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
6261oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 19650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵𝑋𝑉)) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
6665oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
67 lmodabl 19673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6810, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
691, 3, 5, 4lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑋𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
7010, 33, 16, 69syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
711, 3, 5, 4lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑌𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
7210, 28, 12, 71syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
731, 3, 5, 4lmodvscl 19643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑍𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
7410, 28, 14, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
751, 2lmodvacl 19640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
7610, 72, 74, 75syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 18920 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
7866, 77eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
7962, 63, 783eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑗 = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
8050, 79eqtrd 2854 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 19902 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
8281simpld 497 . . . . . 6 (𝜑𝑄 = (𝑑 𝑒))
8382oveq1d 7163 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 𝑒) · 𝑋))
8483, 47eqtr3d 2856 . . . 4 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = 0 )
8584oveq1d 7163 . . 3 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
861, 2, 43lmod0vlid 19656 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8710, 76, 86syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8885, 87eqtrd 2854 . 2 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8988, 79, 593eqtr4d 2864 1 (𝜑𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  cdif 3931  {csn 4559  {cpr 4561  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  invgcminusg 18096  -gcsg 18097  LSSumclsm 18751  Abelcabl 18899  Ringcrg 19289  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  38840
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