Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5blem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5blem1 40218
Description: Lemma for baerlem5b 40224. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
baerlem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
baerlem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
baerlem3.a ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
baerlem3.l 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
baerlem3.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
baerlem3.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
baerlem5b.a1 (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
baerlem5b.b1 (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
baerlem5b.d1 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
baerlem5b.e1 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
baerlem5b.j1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
baerlem5b.j2 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 baerlem3.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 baerlem3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 baerlem3.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 lveclmod 20582 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1211eldifad 3923 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3923 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 20454 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
16 baerlem3.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
17 baerlem3.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 20566 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
213lmodring 20344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 19974 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
274, 26grpinvcl 18803 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
2824, 25, 27syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 20566 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
313, 4, 30lmod0cl 20363 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
3210, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
353, 4, 34lmodacl 20348 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐡)
3610, 25, 33, 35syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐡)
371, 3, 5, 4lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3810, 18, 12, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
391, 3, 5, 4lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
4010, 19, 14, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
411, 2lmodvacl 20351 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
4210, 38, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘Š)
441, 2, 43lmod0vlid 20367 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ( 0 + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
4510, 42, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( 0 + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 20370 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑄 Β· 𝑋) = 0 )
4710, 16, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑄 Β· 𝑋) = 0 )
4847oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑄 Β· 𝑋) + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ( 0 + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
5045, 48, 493eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑄 Β· 𝑋) + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = 𝑗)
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
521, 2lmodvacl 20351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5310, 12, 14, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 20394 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) = ((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· (π‘Œ + 𝑍))))
551, 3, 5, 4lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
5610, 25, 16, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 20393 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· (π‘Œ + 𝑍))) = ((𝑑 Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍))))
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 20360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
6059oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· 𝑋) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍))) = ((𝑑 Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
6154, 57, 603eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) = ((𝑑 Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
6261oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) = (((𝑑 Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 20361 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) = ((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)))
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) = ((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)))
6665oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
67 lmodabl 20384 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
6810, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
691, 3, 5, 4lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
7010, 33, 16, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
711, 3, 5, 4lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
7210, 28, 12, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
731, 3, 5, 4lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
7410, 28, 14, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
751, 2lmodvacl 20351 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
7610, 72, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 19590 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
7866, 77eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
7962, 63, 783eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
8050, 79eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑄 Β· 𝑋) + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 20615 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
8281simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
8382oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 Β· 𝑋) = ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋))
8483, 47eqtr3d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) = 0 )
8584oveq1d 7373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = ( 0 + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))))
861, 2, 43lmod0vlid 20367 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ( 0 + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
8710, 76, 86syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 0 + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
8885, 87eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍))) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘‘) Β· 𝑍)))
8988, 79, 593eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  -gcsg 18755  LSSumclsm 19421  Abelcabl 19568  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  40221
  Copyright terms: Public domain W3C validator