Theorem baerlem5blem1 39650

Description: Lemma for baerlem5b 39656. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5b.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5b.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5b.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5b.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5b.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		baerlem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		baerlem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		baerlem3.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lveclmod 20283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		baerlem3.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	1, 6, 8, 10, 12, 14	lspprcl 20155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		baerlem3.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18		baerlem5b.a1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
19		baerlem5b.b1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14	lsppreli 20267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21	3	lmodring 20046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
22	10, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 19703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25		baerlem5b.d1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
27	4, 26	grpinvcl 18542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14	lsppreli 20267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30		baerlem3.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
31	3, 4, 30	lmod0cl 20064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐵)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
33		baerlem5b.e1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
34		baerlem3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
35	3, 4, 34	lmodacl 20049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
37	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
38	10, 18, 12, 37	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
39	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
40	10, 19, 14, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
41	1, 2	lmodvacl 20052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
42	10, 38, 40, 41	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	1, 2, 43	lmod0vlid 20068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
45	10, 42, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
46	1, 3, 5, 30, 43	lmod0vs 20071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
47	10, 16, 46	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
48	47	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49		baerlem5b.j1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
50	45, 48, 49	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51		baerlem3.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ − = (-g‘𝑊)
52	1, 2	lmodvacl 20052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
53	10, 12, 14, 52	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
54	1, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53	lmodsubdi 20095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
55	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
56	10, 25, 16, 55	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
57	1, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53	lmodsubvs 20094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
58	1, 2, 3, 5, 4	lmodvsdi 20061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
59	10, 28, 12, 14, 58	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
60	59	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
62	61	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63		baerlem5b.j2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
64	1, 2, 3, 5, 4, 34	lmodvsdir 20062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
65	10, 25, 33, 16, 64	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
66	65	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
67		lmodabl 20085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	10, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
70	10, 33, 16, 69	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
71	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	10, 28, 12, 71	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
74	10, 28, 14, 73	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
75	1, 2	lmodvacl 20052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
76	10, 72, 74, 75	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
77	1, 2, 68, 56, 70, 76	abl32 19323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
78	66, 77	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
79	62, 63, 78	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
80	50, 79	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
81	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80	lvecindp 20315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
82	81	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
83	82	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋))
84	83, 47	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = 0 )
85	84	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
86	1, 2, 43	lmod0vlid 20068	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
87	10, 76, 86	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
88	85, 87	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
89	88, 79, 59	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  LSSumclsm 19154  Abelcabl 19302  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  39653