Theorem baerlem5blem1 40172

Description: Lemma for baerlem5b 40178. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5b.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5b.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5b.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5b.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5b.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		baerlem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		baerlem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		baerlem3.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lveclmod 20567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		baerlem3.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	1, 6, 8, 10, 12, 14	lspprcl 20439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		baerlem3.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18		baerlem5b.a1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
19		baerlem5b.b1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14	lsppreli 20551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21	3	lmodring 20330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
22	10, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 19969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25		baerlem5b.d1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
27	4, 26	grpinvcl 18798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14	lsppreli 20551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30		baerlem3.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
31	3, 4, 30	lmod0cl 20348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐵)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
33		baerlem5b.e1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
34		baerlem3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
35	3, 4, 34	lmodacl 20333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
37	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
38	10, 18, 12, 37	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
39	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
40	10, 19, 14, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
41	1, 2	lmodvacl 20336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
42	10, 38, 40, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	1, 2, 43	lmod0vlid 20352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
45	10, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
46	1, 3, 5, 30, 43	lmod0vs 20355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
47	10, 16, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
48	47	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49		baerlem5b.j1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
50	45, 48, 49	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51		baerlem3.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ − = (-g‘𝑊)
52	1, 2	lmodvacl 20336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
53	10, 12, 14, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
54	1, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53	lmodsubdi 20379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
55	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
56	10, 25, 16, 55	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
57	1, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53	lmodsubvs 20378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
58	1, 2, 3, 5, 4	lmodvsdi 20345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
59	10, 28, 12, 14, 58	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
60	59	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
62	61	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63		baerlem5b.j2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
64	1, 2, 3, 5, 4, 34	lmodvsdir 20346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
65	10, 25, 33, 16, 64	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
66	65	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
67		lmodabl 20369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	10, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
70	10, 33, 16, 69	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
71	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	10, 28, 12, 71	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
74	10, 28, 14, 73	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
75	1, 2	lmodvacl 20336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
76	10, 72, 74, 75	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
77	1, 2, 68, 56, 70, 76	abl32 19585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
78	66, 77	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
79	62, 63, 78	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
80	50, 79	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
81	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80	lvecindp 20599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
82	81	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
83	82	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋))
84	83, 47	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = 0 )
85	84	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
86	1, 2, 43	lmod0vlid 20352	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
87	10, 76, 86	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
88	85, 87	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
89	88, 79, 59	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3907  {csn 4586  {cpr 4588  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  -_gcsg 18750  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564

This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  40175