Theorem baerlem5blem1 41692

Description: Lemma for baerlem5b 41698. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5b.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5b.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5b.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5b.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5b.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		baerlem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		baerlem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		baerlem3.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lveclmod 21123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		baerlem3.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	1, 6, 8, 10, 12, 14	lspprcl 20994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		baerlem3.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18		baerlem5b.a1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
19		baerlem5b.b1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14	lsppreli 21107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21	3	lmodring 20883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
22	10, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25		baerlem5b.d1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
27	4, 26	grpinvcl 19018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14	lsppreli 21107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30		baerlem3.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
31	3, 4, 30	lmod0cl 20903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐵)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
33		baerlem5b.e1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
34		baerlem3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
35	3, 4, 34	lmodacl 20887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
37	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
38	10, 18, 12, 37	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
39	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
40	10, 19, 14, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
41	1, 2	lmodvacl 20890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
42	10, 38, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	1, 2, 43	lmod0vlid 20907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
45	10, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
46	1, 3, 5, 30, 43	lmod0vs 20910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
47	10, 16, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
48	47	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49		baerlem5b.j1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
50	45, 48, 49	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51		baerlem3.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ − = (-g‘𝑊)
52	1, 2	lmodvacl 20890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
53	10, 12, 14, 52	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
54	1, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53	lmodsubdi 20934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
55	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
56	10, 25, 16, 55	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
57	1, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53	lmodsubvs 20933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
58	1, 2, 3, 5, 4	lmodvsdi 20900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
59	10, 28, 12, 14, 58	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
60	59	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
62	61	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63		baerlem5b.j2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
64	1, 2, 3, 5, 4, 34	lmodvsdir 20901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
65	10, 25, 33, 16, 64	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
66	65	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
67		lmodabl 20924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	10, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
70	10, 33, 16, 69	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
71	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	10, 28, 12, 71	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
74	10, 28, 14, 73	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
75	1, 2	lmodvacl 20890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
76	10, 72, 74, 75	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
77	1, 2, 68, 56, 70, 76	abl32 19836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
78	66, 77	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
79	62, 63, 78	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
80	50, 79	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
81	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80	lvecindp 21158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
82	81	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
83	82	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋))
84	83, 47	eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = 0 )
85	84	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
86	1, 2, 43	lmod0vlid 20907	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
87	10, 76, 86	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
88	85, 87	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
89	88, 79, 59	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  LSSumclsm 19667  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120

This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  41695