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Theorem baerlem5blem1 40172
Description: Lemma for baerlem5b 40178. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem5b.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem5b.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem5b.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem5b.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem5b.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1 (𝜑𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
3 baerlem3.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 baerlem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
6 eqid 2736 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7 baerlem3.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lveclmod 20567 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑉)
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 20439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16 baerlem3.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
17 baerlem3.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑎𝐵)
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑏𝐵)
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 20551 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
213lmodring 20330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
23 ringgrp 19969 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑑𝐵)
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
274, 26grpinvcl 18798 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
2824, 25, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 20551 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (0g𝑅)
313, 4, 30lmod0cl 20348 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑄𝐵)
3210, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑒𝐵)
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10 = (+g𝑅)
353, 4, 34lmodacl 20333 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
3610, 25, 33, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
371, 3, 5, 4lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑌𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3810, 18, 12, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
391, 3, 5, 4lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
4010, 19, 14, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
411, 2lmodvacl 20336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
4210, 38, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑊)
441, 2, 43lmod0vlid 20352 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
4510, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 20355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
4710, 16, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
4847oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
5045, 48, 493eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13 = (-g𝑊)
521, 2lmodvacl 20336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
5310, 12, 14, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 20379 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
551, 3, 5, 4lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
5610, 25, 16, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 20378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 20345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
6059oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
6154, 57, 603eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
6261oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 20346 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵𝑋𝑉)) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
6665oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
67 lmodabl 20369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6810, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
691, 3, 5, 4lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑋𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
7010, 33, 16, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
711, 3, 5, 4lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑌𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
7210, 28, 12, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
731, 3, 5, 4lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑑) ∈ 𝐵𝑍𝑉) → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
7410, 28, 14, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
751, 2lmodvacl 20336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
7610, 72, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 19585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
7866, 77eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
7962, 63, 783eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑗 = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
8050, 79eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 20599 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
8281simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑄 = (𝑑 𝑒))
8382oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 𝑒) · 𝑋))
8483, 47eqtr3d 2778 . . . 4 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = 0 )
8584oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))))
861, 2, 43lmod0vlid 20352 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8710, 76, 86syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ( 0 + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8885, 87eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑑) · 𝑍)))
8988, 79, 593eqtr4d 2786 1 (𝜑𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  {cpr 4588  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  40175
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