Theorem baerlem5blem1 42543

Description: Lemma for baerlem5b 42549. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5b.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5b.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5b.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5b.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5b.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		baerlem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		baerlem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		baerlem3.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lveclmod 21279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		baerlem3.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	1, 6, 8, 10, 12, 14	lspprcl 21151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		baerlem3.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18		baerlem5b.a1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
19		baerlem5b.b1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14	lsppreli 21263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21	3	lmodring 21041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
22	10, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25		baerlem5b.d1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
27	4, 26	grpinvcl 19100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14	lsppreli 21263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30		baerlem3.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
31	3, 4, 30	lmod0cl 21061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐵)
32	10, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
33		baerlem5b.e1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
34		baerlem3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
35	3, 4, 34	lmodacl 21045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
37	1, 3, 5, 4	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
38	10, 18, 12, 37	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
39	1, 3, 5, 4	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
40	10, 19, 14, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
41	1, 2	lmodvacl 21048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
42	10, 38, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	1, 2, 43	lmod0vlid 21065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
45	10, 42, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
46	1, 3, 5, 30, 43	lmod0vs 21068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
47	10, 16, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
48	47	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49		baerlem5b.j1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
50	45, 48, 49	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51		baerlem3.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ − = (-g‘𝑊)
52	1, 2	lmodvacl 21048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
53	10, 12, 14, 52	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
54	1, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53	lmodsubdi 21092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
55	1, 3, 5, 4	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
56	10, 25, 16, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
57	1, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53	lmodsubvs 21091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
58	1, 2, 3, 5, 4	lmodvsdi 21058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
59	10, 28, 12, 14, 58	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
60	59	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
62	61	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63		baerlem5b.j2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
64	1, 2, 3, 5, 4, 34	lmodvsdir 21059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
65	10, 25, 33, 16, 64	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
66	65	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
67		lmodabl 21082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	10, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	1, 3, 5, 4	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
70	10, 33, 16, 69	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
71	1, 3, 5, 4	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	10, 28, 12, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	1, 3, 5, 4	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
74	10, 28, 14, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
75	1, 2	lmodvacl 21048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
76	10, 72, 74, 75	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
77	1, 2, 68, 56, 70, 76	abl32 19919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
78	66, 77	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
79	62, 63, 78	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
80	50, 79	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
81	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80	lvecindp 21314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
82	81	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
83	82	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋))
84	83, 47	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = 0 )
85	84	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
86	1, 2, 43	lmod0vlid 21065	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
87	10, 76, 86	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
88	85, 87	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
89	88, 79, 59	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  0_gc0g 17516  Grpcgrp 19046  inv_gcminusg 19047  -_gcsg 19048  LSSumclsm 19750  Abelcabl 19897  Ringcrg 20361  LModclmod 21033  LSubSpclss 21104  LSpanclspn 21144  LVecclvec 21275

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276

This theorem is used by:  baerlem5blem2  42546