Theorem baerlem5blem1 41421

Description: Lemma for baerlem5b 41427. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem5b.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem5b.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem5b.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem5b.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem5b.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem5b.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem5blem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		baerlem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		baerlem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		baerlem3.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		baerlem3.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lveclmod 21080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		baerlem3.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	1, 6, 8, 10, 12, 14	lspprcl 20951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16		baerlem3.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		baerlem3.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18		baerlem5b.a1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
19		baerlem5b.b1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14	lsppreli 21064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21	3	lmodring 20840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
22	10, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		ringgrp 20217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
25		baerlem5b.d1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
26		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
27	4, 26	grpinvcl 18977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14	lsppreli 21064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30		baerlem3.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
31	3, 4, 30	lmod0cl 20860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐵)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
33		baerlem5b.e1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
34		baerlem3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
35	3, 4, 34	lmodacl 20844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
37	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
38	10, 18, 12, 37	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
39	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
40	10, 19, 14, 39	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
41	1, 2	lmodvacl 20847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
42	10, 38, 40, 41	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
43		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	1, 2, 43	lmod0vlid 20864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
45	10, 42, 44	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
46	1, 3, 5, 30, 43	lmod0vs 20867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
47	10, 16, 46	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
48	47	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
49		baerlem5b.j1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
50	45, 48, 49	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = 𝑗)
51		baerlem3.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ − = (-g‘𝑊)
52	1, 2	lmodvacl 20847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
53	10, 12, 14, 52	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
54	1, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53	lmodsubdi 20891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))))
55	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
56	10, 25, 16, 55	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
57	1, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53	lmodsubvs 20890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))))
58	1, 2, 3, 5, 4	lmodvsdi 20857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
59	10, 28, 12, 14, 58	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
60	59	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑋) + ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
61	54, 57, 60	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = ((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
62	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
63		baerlem5b.j2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
64	1, 2, 3, 5, 4, 34	lmodvsdir 20858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
65	10, 25, 33, 16, 64	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
66	65	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
67		lmodabl 20881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
68	10, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
69	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
70	10, 33, 16, 69	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
71	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
72	10, 28, 12, 71	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉)
73	1, 3, 5, 4	lmodvscl 20850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
74	10, 28, 14, 73	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉)
75	1, 2	lmodvacl 20847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝐼‘𝑑) · 𝑍) ∈ 𝑉) → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
76	10, 72, 74, 75	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉)
77	1, 2, 68, 56, 70, 76	abl32 19797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
78	66, 77	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
79	62, 63, 78	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
80	50, 79	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
81	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80	lvecindp 21115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
82	81	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
83	82	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋))
84	83, 47	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = 0 )
85	84	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))))
86	1, 2, 43	lmod0vlid 20864	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
87	10, 76, 86	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
88	85, 87	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑑) · 𝑍)))
89	88, 79, 59	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3943  {csn 4623  {cpr 4625  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  Scalarcsca 17264   ·_𝑠 cvsca 17265  0_gc0g 17449  Grpcgrp 18923  inv_gcminusg 18924  -_gcsg 18925  LSSumclsm 19628  Abelcabl 19775  Ringcrg 20212  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  LSpanclspn 20944  LVecclvec 21076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-cntz 19307  df-lsm 19630  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-drng 20705  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lvec 21077

This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  41424