Theorem mnfxr 11231

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 11211	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 11227	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 5335	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 4727	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 4146	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 11212	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2827	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  𝒫 cpw 4563  {cpr 4591  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-pow 5320  ax-un 7711  ax-cnex 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-v 3449  df-un 3919  df-ss 3931  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-uni 4872  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212

This theorem is referenced by:  elxr  13076  xrltnr  13079  mnflt  13083  mnfltpnf  13086  nltmnf  13089  mnfle  13095  xrltnsym  13097  ngtmnft  13126  xlemnf  13127  xrre2  13130  xrre3  13131  ge0gtmnf  13132  xnegex  13168  xnegcl  13173  xltnegi  13176  xaddval  13183  xaddf  13184  xmulval  13185  xaddmnf1  13188  xaddmnf2  13189  pnfaddmnf  13190  mnfaddpnf  13191  xlt2add  13220  xsubge0  13221  xmulneg1  13229  xmulf  13232  xmulmnf2  13237  xmulpnf1n  13238  xadddilem  13254  xadddi2  13257  xrsupsslem  13267  xrinfmsslem  13268  xrub  13272  supxrmnf  13277  xrsup0  13283  supxrre  13287  infxrre  13297  reltxrnmnf  13303  infmremnf  13304  elioc2  13370  elico2  13371  elicc2  13372  ioomax  13383  iccmax  13384  elioomnf  13405  unirnioo  13410  difreicc  13445  resup  13829  sgnmnf  15061  caucvgrlem  15639  xrsnsgrp  21319  xrsdsreclblem  21329  leordtvallem2  23098  leordtval2  23099  lecldbas  23106  pnfnei  23107  mnfnei  23108  icopnfcld  24655  iocmnfcld  24656  blssioo  24683  tgioo  24684  xrtgioo  24695  reconnlem1  24715  reconnlem2  24716  bndth  24857  ovolunnul  25401  ovoliunlem1  25403  ovoliun  25406  ovolicopnf  25425  voliunlem3  25453  volsup  25457  ioombl1lem2  25460  ioombl  25466  volivth  25508  mbfdm  25527  ismbfd  25540  mbfmax  25550  ismbf3d  25555  itg2seq  25643  itg2monolem2  25652  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  mdegcl  25974  plypf1  26117  ellogdm  26548  logdmnrp  26550  dvloglem  26557  dvlog2lem  26561  atans2  26841  ressatans  26844  xrinfm  32678  supxrnemnf  32691  xrdifh  32703  xrge00  32953  ply1degltel  33560  ply1degleel  33561  ply1degltlss  33562  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  tpr2rico  33902  esumcvgsum  34078  dya2iocbrsiga  34266  dya2icobrsiga  34267  orvclteel  34464  icorempo  37339  iooelexlt  37350  itg2gt0cn  37669  asindmre  37697  dvasin  37698  dvacos  37699  areacirclem4  37705  areacirclem5  37706  readvrec2  42349  readvrec  42350  rfcnpre4  45028  xrge0nemnfd  45328  supxrgere  45329  supxrgelem  45333  supxrge  45334  infrpge  45347  infxr  45363  infxrunb2  45364  infleinflem2  45367  infleinf  45368  xrralrecnnge  45386  supminfxr2  45465  xrpnf  45481  eliocre  45507  icoopn  45523  icomnfinre  45550  ressiocsup  45552  ressioosup  45553  preimaiocmnf  45558  limciccioolb  45619  limsupre  45639  limcresioolb  45641  limcleqr  45642  limsup0  45692  liminflbuz2  45813  liminfpnfuz  45814  liminflimsupxrre  45815  xlimmnfvlem2  45831  xlimliminflimsup  45860  icccncfext  45885  itgsubsticclem  45973  fourierdlem32  46137  fourierdlem46  46150  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem74  46178  fourierdlem87  46191  fourierdlem88  46192  fourierdlem95  46199  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem113  46217  fouriersw  46229  etransclem18  46250  etransclem46  46278  ioorrnopnxrlem  46304  gsumge0cl  46369  sge0pr  46392  sge0ssre  46395  hspdifhsp  46614  hspmbllem2  46625  pimltmnf2f  46695  pimiooltgt  46708  preimaicomnf  46709  pimdecfgtioc  46713  pimincfltioc  46714  pimdecfgtioo  46715  pimincfltioo  46716  incsmflem  46739  decsmflem  46764  smfres  46788  smfsuplem1  46809  smfsuplem2  46810