Theorem xltnegi 13159

Description: Forward direction of xltneg 13160. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltnegi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13058	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		ltneg 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4		rexneg 13154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5		rexneg 13154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
6	4, 5	breqan12rd 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
7	3, 6	bitr4d 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
8	7	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9		xnegeq 13150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10		xnegpnf 13152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
11	9, 10	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13		renegcl 11448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	5, 13	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15	14	mnfltd 13066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
17	12, 16	eqbrtrd 5094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
18	17	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
19		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
20	19	breq2d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
21		rexr 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		nltmnf 13071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
26	20, 25	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
27	8, 18, 26	3jaodan 1439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
28	2, 27	sylan2b 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
29	28	expimpd 454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
30		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
31	30	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
32		pnfnlt 13070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
34	33	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
35	31, 34	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
36	35	expimpd 454	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
37		breq1 5075	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
38	37	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
39		renegcl 11448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ltpnfd 13063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
43	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
44		mnfltpnf 13068	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < +∞
45	43, 44	eqbrtrdi 5111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
46		breq2 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
47		mnfxr 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
48		nltmnf 13071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ < -∞
50	49	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
51	46, 50	biimtrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
52	51	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
53	42, 45, 52	3jaoian 1438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
54	2, 53	sylanb 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
55		xnegeq 13150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
56		xnegmnf 13153	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
57	55, 56	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
58	57	breq2d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
59	54, 58	imbitrrid 247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
60	38, 59	sylbid 241	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
61	29, 36, 60	3jaoi 1436	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
62	1, 61	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
63	62	3impib 1122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  -cneg 11369  -_𝑒cxne 13051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-xneg 13054

This theorem is referenced by:  xltneg  13160  xrsdsreclblem  21388