MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xltnegi 13258
Description: Forward direction of xltneg 13259. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 13158 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13158 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 ltneg 11763 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4 rexneg 13253 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5 rexneg 13253 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
64, 5breqan12rd 5160 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
73, 6bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
87biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9 xnegeq 13249 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10 xnegpnf 13251 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
119, 10eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13 renegcl 11572 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
145, 13eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
1514mnfltd 13166 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
1712, 16eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
1817a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
19 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
2019breq2d 5155 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
21 rexr 11307 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 nltmnf 13171 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2524pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
2620, 25sylbid 240 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
278, 18, 263jaodan 1433 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
282, 27sylan2b 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
2928expimpd 453 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
30 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
3130breq1d 5153 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
32 pnfnlt 13170 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3433pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3531, 34sylbid 240 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3635expimpd 453 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
37 breq1 5146 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
3837anbi2d 630 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
39 renegcl 11572 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
404, 39eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
4241ltpnfd 13163 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
4311adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
44 mnfltpnf 13168 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
4543, 44eqbrtrdi 5182 . . . . . . . 8 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
46 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
47 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
48 nltmnf 13171 . . . . . . . . . . . 12 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ¬ -∞ < -∞
5049pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
5146, 50biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
5251imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
5342, 45, 523jaoian 1432 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
542, 53sylanb 581 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
55 xnegeq 13249 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
56 xnegmnf 13252 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
5755, 56eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
5857breq2d 5155 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
5954, 58imbitrrid 246 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6038, 59sylbid 240 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6129, 36, 603jaoi 1430 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
621, 61sylbi 217 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
63623impib 1117 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  -cneg 11493  -𝑒cxne 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-xneg 13154
This theorem is referenced by:  xltneg  13259  xrsdsreclblem  21430
  Copyright terms: Public domain W3C validator