Theorem xltnegi 13339

Description: Forward direction of xltneg 13340. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltnegi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		ltneg 11809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4		rexneg 13334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5		rexneg 13334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
6	4, 5	breqan12rd 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
7	3, 6	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
8	7	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9		xnegeq 13330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10		xnegpnf 13332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
11	9, 10	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13		renegcl 11614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	5, 13	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15	14	mnfltd 13246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
17	12, 16	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
18	17	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
19		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
20	19	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
21		rexr 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		nltmnf 13251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
25	24	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
26	20, 25	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
27	8, 18, 26	3jaodan 1458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
28	2, 27	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
29	28	expimpd 459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
30		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
31	30	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
32		pnfnlt 13250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
33	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
34	33	pm2.21d 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
35	31, 34	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
36	35	expimpd 459	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
37		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
38	37	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
39		renegcl 11614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ltpnfd 13243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
43	11	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
44		mnfltpnf 13248	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < +∞
45	43, 44	eqbrtrdi 5144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
46		breq2 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
47		mnfxr 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
48		nltmnf 13251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ < -∞
50	49	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
51	46, 50	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
52	51	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
53	42, 45, 52	3jaoian 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
54	2, 53	sylanb 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
55		xnegeq 13330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
56		xnegmnf 13333	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
57	55, 56	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
58	57	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
59	54, 58	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
60	38, 59	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
61	29, 36, 60	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
62	1, 61	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
63	62	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192  +∞cpnf 11333  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336  -cneg 11535  -_𝑒cxne 13231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-xneg 13234

This theorem is used by:  xltneg  13340  xrsdsreclblem  21712