Theorem xltnegi 13143

Description: Forward direction of xltneg 13144. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltnegi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13042	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13042	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		ltneg 11649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4		rexneg 13138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5		rexneg 13138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
6	4, 5	breqan12rd 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
7	3, 6	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
8	7	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9		xnegeq 13134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10		xnegpnf 13136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13		renegcl 11456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	5, 13	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15	14	mnfltd 13050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
17	12, 16	eqbrtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
18	17	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
19		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
20	19	breq2d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
21		rexr 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		nltmnf 13055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
26	20, 25	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
27	8, 18, 26	3jaodan 1434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
28	2, 27	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
29	28	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
30		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
31	30	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
32		pnfnlt 13054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
34	33	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
35	31, 34	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
36	35	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
37		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
38	37	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
39		renegcl 11456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ltpnfd 13047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
43	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
44		mnfltpnf 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < +∞
45	43, 44	eqbrtrdi 5139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
46		breq2 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
47		mnfxr 11201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
48		nltmnf 13055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ < -∞
50	49	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
51	46, 50	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
52	51	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
53	42, 45, 52	3jaoian 1433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
54	2, 53	sylanb 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
55		xnegeq 13134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
56		xnegmnf 13137	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
57	55, 56	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
58	57	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
59	54, 58	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
60	38, 59	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
61	29, 36, 60	3jaoi 1431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
62	1, 61	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
63	62	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  -cneg 11377  -_𝑒cxne 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-xneg 13038

This theorem is referenced by:  xltneg  13144  xrsdsreclblem  21379