Theorem xltnegi 13232

Description: Forward direction of xltneg 13233. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltnegi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13132	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		ltneg 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4		rexneg 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5		rexneg 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
6	4, 5	breqan12rd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
7	3, 6	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
8	7	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9		xnegeq 13223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10		xnegpnf 13225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
11	9, 10	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13		renegcl 11546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	5, 13	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15	14	mnfltd 13140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
17	12, 16	eqbrtrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
18	17	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
19		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
20	19	breq2d 5131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
21		rexr 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		nltmnf 13145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
26	20, 25	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
27	8, 18, 26	3jaodan 1433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
28	2, 27	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
29	28	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
30		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
31	30	breq1d 5129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
32		pnfnlt 13144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
34	33	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
35	31, 34	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
36	35	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
37		breq1 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
38	37	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
39		renegcl 11546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ltpnfd 13137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
43	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
44		mnfltpnf 13142	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < +∞
45	43, 44	eqbrtrdi 5158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
46		breq2 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
47		mnfxr 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
48		nltmnf 13145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ < -∞
50	49	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
51	46, 50	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
52	51	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
53	42, 45, 52	3jaoian 1432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
54	2, 53	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
55		xnegeq 13223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
56		xnegmnf 13226	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
57	55, 56	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
58	57	breq2d 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
59	54, 58	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
60	38, 59	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
61	29, 36, 60	3jaoi 1430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
62	1, 61	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
63	62	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269  -cneg 11467  -_𝑒cxne 13125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-xneg 13128

This theorem is referenced by:  xltneg  13233  xrsdsreclblem  21380