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Theorem xrlttr 13060
Description: Ordering on the extended reals is transitive. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlttr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrlttr
StepHypRef Expression
1 elxr 13038 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13038 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
3 elxr 13038 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
4 lttr 11232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
543expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
65an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7 rexr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 pnfnlt 13050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐶)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝐶)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
11 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
1310, 12mtbird 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
1413pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
1514adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
1615adantld 492 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
17 rexr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 nltmnf 13051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
21 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2320, 22mtbird 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
2423pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
2625adantrd 493 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
276, 16, 263jaodan 1431 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
283, 27sylan2b 595 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2928an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
30 ltpnf 13042 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3130adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
32 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = +∞ → (𝐴 < 𝐶𝐴 < +∞))
3332adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < +∞))
3431, 33mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
3534adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
3635a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
37 nltmnf 13051 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ¬ 𝐵 < -∞)
39 breq2 5110 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = -∞ → (𝐵 < 𝐶𝐵 < -∞))
4039adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < -∞))
4138, 40mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
4241pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
4342adantld 492 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4443adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4529, 36, 443jaodan 1431 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4645anasss 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
47 pnfnlt 13050 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
4847adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
49 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
5148, 50mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
5251pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
5352adantrd 493 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5453adantrr 716 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
55 mnflt 13045 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → -∞ < 𝐶)
5655adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐶)
57 breq1 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶))
5857adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶))
5956, 58mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐶)
6059a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6160adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
62 mnfltpnf 13048 . . . . . . . . . 10 -∞ < +∞
63 breq12 5111 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < +∞))
6462, 63mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
6564a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6665adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6743adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6861, 66, 673jaodan 1431 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6968anasss 468 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7046, 54, 693jaoian 1430 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
71703impb 1116 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
722, 71syl3an3b 1406 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
731, 72syl3an1b 1404 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11051  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  *cxr 11189   < clt 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195
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