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Theorem xrlttr 13182
Description: Ordering on the extended reals is transitive. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlttr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrlttr
StepHypRef Expression
1 elxr 13158 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13158 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
3 elxr 13158 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
4 lttr 11337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
543expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
65an32s 652 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 pnfnlt 13170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐶)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝐶)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
11 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
1310, 12mtbird 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
1413pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
1514adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
1615adantld 490 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
17 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 nltmnf 13171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
21 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2320, 22mtbird 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
2423pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
2524adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
2625adantrd 491 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
276, 16, 263jaodan 1433 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
283, 27sylan2b 594 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2928an32s 652 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
30 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
32 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = +∞ → (𝐴 < 𝐶𝐴 < +∞))
3332adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < +∞))
3431, 33mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
3534adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
3635a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
37 nltmnf 13171 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ¬ 𝐵 < -∞)
39 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = -∞ → (𝐵 < 𝐶𝐵 < -∞))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < -∞))
4138, 40mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
4241pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
4342adantld 490 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4443adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4529, 36, 443jaodan 1433 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4645anasss 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
47 pnfnlt 13170 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
49 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
5148, 50mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
5251pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
5352adantrd 491 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5453adantrr 717 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
55 mnflt 13165 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → -∞ < 𝐶)
5655adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐶)
57 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶))
5857adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶))
5956, 58mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐶)
6059a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6160adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
62 mnfltpnf 13168 . . . . . . . . . 10 -∞ < +∞
63 breq12 5148 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < +∞))
6462, 63mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
6564a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6665adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6743adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6861, 66, 673jaodan 1433 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6968anasss 466 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7046, 54, 693jaoian 1432 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
71703impb 1115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
722, 71syl3an3b 1407 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
731, 72syl3an1b 1405 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300
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