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Theorem xrlttr 13159
Description: Ordering on the extended reals is transitive. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlttr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrlttr
StepHypRef Expression
1 elxr 13136 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13136 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
3 elxr 13136 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
4 lttr 11328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
543expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
65an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7 rexr 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 pnfnlt 13148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐶)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝐶)
109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
11 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
1310, 12mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
1413pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
1514adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
1615adantld 489 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
17 rexr 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 nltmnf 13149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
21 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2320, 22mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
2423pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
2524adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
2625adantrd 490 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
276, 16, 263jaodan 1427 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
283, 27sylan2b 592 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2928an32s 650 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
30 ltpnf 13140 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
32 breq2 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = +∞ → (𝐴 < 𝐶𝐴 < +∞))
3332adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < +∞))
3431, 33mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
3534adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
3635a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
37 nltmnf 13149 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ¬ 𝐵 < -∞)
39 breq2 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = -∞ → (𝐵 < 𝐶𝐵 < -∞))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < -∞))
4138, 40mtbird 324 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
4241pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
4342adantld 489 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4443adantll 712 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4529, 36, 443jaodan 1427 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4645anasss 465 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
47 pnfnlt 13148 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
4847adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
49 breq1 5155 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
5148, 50mtbird 324 . . . . . . . 8 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
5251pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
5352adantrd 490 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5453adantrr 715 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
55 mnflt 13143 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → -∞ < 𝐶)
5655adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐶)
57 breq1 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶))
5857adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶))
5956, 58mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐶)
6059a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6160adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
62 mnfltpnf 13146 . . . . . . . . . 10 -∞ < +∞
63 breq12 5157 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < +∞))
6462, 63mpbiri 257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
6564a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6665adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6743adantll 712 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6861, 66, 673jaodan 1427 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
6968anasss 465 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7046, 54, 693jaoian 1426 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
71703impb 1112 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
722, 71syl3an3b 1402 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
731, 72syl3an1b 1400 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  cr 11145  +∞cpnf 11283  -∞cmnf 11284  *cxr 11285   < clt 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291
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