Proof of Theorem xrlttr
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elxr 12851 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
↔ (𝐴 ∈ ℝ
∨ 𝐴 = +∞ ∨
𝐴 =
-∞)) |
2 | | elxr 12851 |
. . 3
⊢ (𝐶 ∈ ℝ*
↔ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 =
-∞)) |
3 | | elxr 12851 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
↔ (𝐵 ∈ ℝ
∨ 𝐵 = +∞ ∨
𝐵 =
-∞)) |
4 | | lttr 11052 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
5 | 4 | 3expa 1117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
6 | 5 | an32s 649 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
7 | | rexr 11022 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈
ℝ*) |
8 | | pnfnlt 12863 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐶 ∈ ℝ*
→ ¬ +∞ < 𝐶) |
9 | 7, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ¬
+∞ < 𝐶) |
10 | 9 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬
+∞ < 𝐶) |
11 | | breq1 5082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶)) |
12 | 11 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶)) |
13 | 10, 12 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶) |
14 | 13 | pm2.21d 121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)) |
15 | 14 | adantll 711 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)) |
16 | 15 | adantld 491 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
17 | | rexr 11022 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℝ*) |
18 | | nltmnf 12864 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ ¬ 𝐴 <
-∞) |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬
𝐴 <
-∞) |
20 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞) |
21 | | breq2 5083 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞)) |
22 | 21 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞)) |
23 | 20, 22 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵) |
24 | 23 | pm2.21d 121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)) |
25 | 24 | adantlr 712 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)) |
26 | 25 | adantrd 492 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
27 | 6, 16, 26 | 3jaodan 1429 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
28 | 3, 27 | sylan2b 594 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
29 | 28 | an32s 649 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
30 | | ltpnf 12855 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞) |
31 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞) |
32 | | breq2 5083 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < +∞)) |
33 | 32 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < +∞)) |
34 | 31, 33 | mpbird 256 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶) |
35 | 34 | adantlr 712 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = +∞) →
𝐴 < 𝐶) |
36 | 35 | a1d 25 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = +∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
37 | | nltmnf 12864 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ ¬ 𝐵 <
-∞) |
38 | 37 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
¬ 𝐵 <
-∞) |
39 | | breq2 5083 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 = -∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ 𝐵 < -∞)) |
40 | 39 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
(𝐵 < 𝐶 ↔ 𝐵 < -∞)) |
41 | 38, 40 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
¬ 𝐵 < 𝐶) |
42 | 41 | pm2.21d 121 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
(𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)) |
43 | 42 | adantld 491 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
44 | 43 | adantll 711 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = -∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
45 | 29, 36, 44 | 3jaodan 1429 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞)) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
46 | 45 | anasss 467 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
47 | | pnfnlt 12863 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ ¬ +∞ < 𝐵) |
48 | 47 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ¬ +∞ < 𝐵) |
49 | | breq1 5082 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵)) |
50 | 49 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵)) |
51 | 48, 50 | mtbird 325 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ¬ 𝐴 < 𝐵) |
52 | 51 | pm2.21d 121 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)) |
53 | 52 | adantrd 492 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
54 | 53 | adantrr 714 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
55 | | mnflt 12858 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -∞
< 𝐶) |
56 | 55 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞
< 𝐶) |
57 | | breq1 5082 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶)) |
58 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶)) |
59 | 56, 58 | mpbird 256 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐶) |
60 | 59 | a1d 25 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
61 | 60 | adantlr 712 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
62 | | mnfltpnf 12861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ -∞
< +∞ |
63 | | breq12 5084 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ <
+∞)) |
64 | 62, 63 | mpbiri 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶) |
65 | 64 | a1d 25 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
66 | 65 | adantlr 712 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = +∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
67 | 43 | adantll 711 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = -∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
68 | 61, 66, 67 | 3jaodan 1429 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞)) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
69 | 68 | anasss 467 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
70 | 46, 54, 69 | 3jaoian 1428 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
71 | 70 | 3impb 1114 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞)) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
72 | 2, 71 | syl3an3b 1404 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |
73 | 1, 72 | syl3an1b 1402 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |