Proof of Theorem xrlttr
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elxr 13158 | . 2
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
↔ (𝐴 ∈ ℝ
∨ 𝐴 = +∞ ∨
𝐴 =
-∞)) | 
| 2 |  | elxr 13158 | . . 3
⊢ (𝐶 ∈ ℝ*
↔ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 =
-∞)) | 
| 3 |  | elxr 13158 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
↔ (𝐵 ∈ ℝ
∨ 𝐵 = +∞ ∨
𝐵 =
-∞)) | 
| 4 |  | lttr 11337 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 5 | 4 | 3expa 1119 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 6 | 5 | an32s 652 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 7 |  | rexr 11307 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈
ℝ*) | 
| 8 |  | pnfnlt 13170 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐶 ∈ ℝ*
→ ¬ +∞ < 𝐶) | 
| 9 | 7, 8 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ¬
+∞ < 𝐶) | 
| 10 | 9 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬
+∞ < 𝐶) | 
| 11 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶)) | 
| 12 | 11 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶)) | 
| 13 | 10, 12 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐶) | 
| 14 | 13 | pm2.21d 121 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 15 | 14 | adantll 714 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 16 | 15 | adantld 490 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 17 |  | rexr 11307 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 18 |  | nltmnf 13171 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ ¬ 𝐴 <
-∞) | 
| 19 | 17, 18 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬
𝐴 <
-∞) | 
| 20 | 19 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞) | 
| 21 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞)) | 
| 22 | 21 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞)) | 
| 23 | 20, 22 | mtbird 325 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵) | 
| 24 | 23 | pm2.21d 121 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 25 | 24 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 26 | 25 | adantrd 491 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 27 | 6, 16, 26 | 3jaodan 1433 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 28 | 3, 27 | sylan2b 594 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 29 | 28 | an32s 652 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 30 |  | ltpnf 13162 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞) | 
| 31 | 30 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞) | 
| 32 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < +∞)) | 
| 33 | 32 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < +∞)) | 
| 34 | 31, 33 | mpbird 257 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶) | 
| 35 | 34 | adantlr 715 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = +∞) →
𝐴 < 𝐶) | 
| 36 | 35 | a1d 25 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = +∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 37 |  | nltmnf 13171 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ ¬ 𝐵 <
-∞) | 
| 38 | 37 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
¬ 𝐵 <
-∞) | 
| 39 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 = -∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ 𝐵 < -∞)) | 
| 40 | 39 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
(𝐵 < 𝐶 ↔ 𝐵 < -∞)) | 
| 41 | 38, 40 | mtbird 325 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
¬ 𝐵 < 𝐶) | 
| 42 | 41 | pm2.21d 121 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
(𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 43 | 42 | adantld 490 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 = -∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 44 | 43 | adantll 714 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = -∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 45 | 29, 36, 44 | 3jaodan 1433 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞)) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 46 | 45 | anasss 466 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 47 |  | pnfnlt 13170 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ ¬ +∞ < 𝐵) | 
| 48 | 47 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ¬ +∞ < 𝐵) | 
| 49 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵)) | 
| 50 | 49 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵)) | 
| 51 | 48, 50 | mtbird 325 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ¬ 𝐴 < 𝐵) | 
| 52 | 51 | pm2.21d 121 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 53 | 52 | adantrd 491 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 54 | 53 | adantrr 717 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 55 |  | mnflt 13165 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -∞
< 𝐶) | 
| 56 | 55 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -∞
< 𝐶) | 
| 57 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶)) | 
| 58 | 57 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ < 𝐶)) | 
| 59 | 56, 58 | mpbird 257 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝐶) | 
| 60 | 59 | a1d 25 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 61 | 60 | adantlr 715 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 62 |  | mnfltpnf 13168 | . . . . . . . . . 10
⊢ -∞
< +∞ | 
| 63 |  | breq12 5148 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -∞ <
+∞)) | 
| 64 | 62, 63 | mpbiri 258 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐶) | 
| 65 | 64 | a1d 25 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 66 | 65 | adantlr 715 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = +∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 67 | 43 | adantll 714 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ 𝐶 = -∞) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 68 | 61, 66, 67 | 3jaodan 1433 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞)) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 69 | 68 | anasss 466 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 70 | 46, 54, 69 | 3jaoian 1432 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞))) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 71 | 70 | 3impb 1115 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝐶 ∈ ℝ
∨ 𝐶 = +∞ ∨
𝐶 = -∞)) →
((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 72 | 2, 71 | syl3an3b 1407 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) | 
| 73 | 1, 72 | syl3an1b 1405 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) |