Theorem n0eldmqseq 39233

Description: The empty set is not an element of a domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
n0eldmqseq	⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem n0eldmqseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0eldmqs 39231	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eleq2 2851	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → (∅ ∈ (dom 𝑅 / 𝑅) ↔ ∅ ∈ 𝐴))
3	1, 2	mtbii 328	1 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  dom cdm 5647   / cqs 8677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ec 8680  df-qs 8684

This theorem is referenced by:  n0el3  39235  fences3  39443  mainer  39447