Theorem n0eldmqseq 38651

Description: The empty set is not an element of a domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
n0eldmqseq	⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem n0eldmqseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0eldmqs 38650	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eleq2 2829	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → (∅ ∈ (dom 𝑅 / 𝑅) ↔ ∅ ∈ 𝐴))
3	1, 2	mtbii 326	1 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  dom cdm 5684   / cqs 8745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-cnv 5692  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ec 8748  df-qs 8752

This theorem is referenced by:  n0el3  38653  fences3  38832  mainer  38836