Theorem n0eldmqseq 39403

Description: The empty set is not an element of a domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
n0eldmqseq	⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem n0eldmqseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0eldmqs 39401	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (dom 𝑅 / 𝑅)
2		eleq2 2852	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → (∅ ∈ (dom 𝑅 / 𝑅) ↔ ∅ ∈ 𝐴))
3	1, 2	mtbii 329	1 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  dom cdm 5661   / cqs 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8692  df-qs 8696

This theorem is referenced by:  n0el3  39405  fences3  39613  mainer  39617