Theorem mainer 38833

Description: The Main Theorem of Equivalences: every equivalence relation implies equivalent comembers. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mainer	⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → CoMembEr 𝐴)

Proof of Theorem mainer

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj2 38828	. . . 4 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)
2		eldisjim 38783	. . . 4 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → CoElEqvRel 𝐴)
4		n0eldmqseq 38648	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
6		eldisjn0el 38805	. . . . 5 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))
8	5, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)
9	3, 8	jca 511	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))
10		dferALTV2 38667	. 2 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
11		dfcomember3 38673	. 2 ⊢ ( CoMembEr 𝐴 ↔ ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → CoMembEr 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  ∪ cuni 4874  dom cdm 5641   / cqs 8673   ∼ ccoels 38177   EqvRel weqvrel 38193   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38195   ErALTV werALTV 38202   CoMembEr wcomember 38204   ElDisj weldisj 38212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-eprel 5541  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ec 8676  df-qs 8680  df-coss 38409  df-coels 38410  df-refrel 38510  df-cnvrefrel 38525  df-symrel 38542  df-trrel 38572  df-eqvrel 38583  df-coeleqvrel 38585  df-dmqs 38637  df-erALTV 38663  df-comember 38665  df-funALTV 38681  df-disjALTV 38704  df-eldisj 38706

This theorem is referenced by:  partimcomember  38834  fences  38843