Theorem fences3 38948

Description: Implication of eqvrelqseqdisj2 38947 and n0eldmqseq 38767, see comment of fences 38962. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fences3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem fences3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj2 38947	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)
2		n0eldmqseq 38767	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
4	1, 3	jca 511	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  dom cdm 5619   / cqs 8627   EqvRel weqvrel 38259   ElDisj weldisj 38278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-eprel 5519  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8630  df-qs 8634  df-coss 38533  df-refrel 38624  df-cnvrefrel 38639  df-symrel 38656  df-trrel 38690  df-eqvrel 38701  df-funALTV 38800  df-disjALTV 38823  df-eldisj 38825

This theorem is referenced by: (None)