Theorem fences3 37695

Description: Implication of eqvrelqseqdisj2 37694 and n0eldmqseq 37514, see comment of fences 37709. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fences3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem fences3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj2 37694	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)
2		n0eldmqseq 37514	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
4	1, 3	jca 512	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4322  dom cdm 5676   / cqs 8701   EqvRel weqvrel 37055   ElDisj weldisj 37074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ec 8704  df-qs 8708  df-coss 37276  df-refrel 37377  df-cnvrefrel 37392  df-symrel 37409  df-trrel 37439  df-eqvrel 37450  df-funALTV 37547  df-disjALTV 37570  df-eldisj 37572

This theorem is referenced by: (None)