Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fences3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fences3 38811
Description: Implication of eqvrelqseqdisj2 38810 and n0eldmqseq 38630, see comment of fences 38825. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
fences3 (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem fences3
StepHypRef Expression
1 eqvrelqseqdisj2 38810 . 2 (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ElDisj 𝐴)
2 n0eldmqseq 38630 . . 3 ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
32adantl 481 . 2 (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
41, 3jca 511 1 (( EqvRel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  c0 4338  dom cdm 5688   / cqs 8742   EqvRel weqvrel 38178   ElDisj weldisj 38197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-eprel 5588  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ec 8745  df-qs 8749  df-coss 38392  df-refrel 38493  df-cnvrefrel 38508  df-symrel 38525  df-trrel 38555  df-eqvrel 38566  df-funALTV 38663  df-disjALTV 38686  df-eldisj 38688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator