Theorem n0el3 39471

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a class. (Contributed by Peter Mazsa, 27-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0el3	⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem n0el3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elim 39470	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
2		n0eldmqseq 39469	. 2 ⊢ ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
3	1, 2	impbii 212	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282   E cep 5558  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   / cqs 8698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8701  df-qs 8705

This theorem is used by:  cnvepresdmqss  39472  cnvepresdmqs  39473  eldisjn0elb  39580  eldisjn0el  39644