Theorem n0el3 38636

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a class. (Contributed by Peter Mazsa, 27-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0el3	⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem n0el3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elim 38635	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
2		n0eldmqseq 38634	. 2 ⊢ ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
3	1, 2	impbii 209	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292   E cep 5530  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   / cqs 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8650  df-qs 8654

This theorem is referenced by:  cnvepresdmqss  38637  cnvepresdmqs  38638  eldisjn0elb  38730  eldisjn0el  38791