Theorem n0el3 39045

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a class. (Contributed by Peter Mazsa, 27-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0el3	⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem n0el3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elim 39044	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)
2		n0eldmqseq 39043	. 2 ⊢ ((dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴 → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
3	1, 2	impbii 209	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4263   E cep 5519  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620   ↾ cres 5622   / cqs 8631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5075  df-opab 5137  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ec 8634  df-qs 8638

This theorem is referenced by:  cnvepresdmqss  39046  cnvepresdmqs  39047  eldisjn0elb  39154  eldisjn0el  39218